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Topos Uranos
Deutsch

Ableitung der Umkehrfunktion und implizites Differenzieren

Zusammenfassung

Diese Lektion beweist, dass die Umkehrfunktion einer auf einem Intervall stetigen und streng monotonen Funktion an jeder Stelle differenzierbar ist, an der die Funktion eine von null verschiedene Ableitung hat, und dass ihre Ableitung der Kehrwert der Ableitung der Funktion ist, ausgewertet an der zugehörigen Stelle: Spiegelt man den Graphen an der Geraden y=xy = x, so wird eine Tangente mit der Steigung mm zu einer mit der Steigung 1m\frac{1}{m}. Der Beweis verwendet die Stetigkeit der Umkehrfunktion aus der Lektion über den Zwischenwertsatz und die Carathéodory-Charakterisierung; wo die Ableitung der Funktion verschwindet, ist die Umkehrfunktion nicht differenzierbar. Mit dem Satz werden der Arkussinus, der Arkuskosinus, der Arkustangens, die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen, die Wurzeln und die Potenzen mit rationalen Exponenten abgeleitet. Der zweite Teil der Lektion leitet Funktionen ab, die durch eine Gleichung definiert sind, etwa die Äste eines Kreises oder des kartesischen Blattes, unter der Annahme, dass die Funktion existiert und differenzierbar ist, und zeigt, was geschieht, wenn diese Annahme nicht zutrifft.

Lernziele

  1. Den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion beweisen und erklären, warum die Umkehrfunktion dort nicht differenzierbar ist, wo die Ableitung der Funktion verschwindet.
  2. Die Arkusfunktionen, die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen, die Wurzeln und die Potenzen mit rationalen Exponenten ableiten, jeweils mit der Menge, auf der die Ableitung existiert.
  3. Eine durch eine Gleichung definierte Funktion implizit differenzieren, unter der Annahme, dass sie existiert und differenzierbar ist, und so die Tangenten an Kurven bestimmen, die keine Funktionsgraphen sind.
  4. Erkennen, wann das implizite Differenzieren nichts entscheidet: Gleichungen, die keine differenzierbare Funktion definieren, und Stellen, an denen der Koeffizient der Ableitung verschwindet.

Die Ableitung der Umkehrfunktion

Der Graph der Umkehrfunktion einer injektiven Funktion ist das Spiegelbild des Graphen der Funktion an der Geraden y=xy = x: Der Punkt (a,b)(a, b) des ersten wird zum Punkt (b,a)(b, a) des zweiten. Die Spiegelung vertauscht den waagerechten und den vertikalen Zuwachs, sodass eine Sekante mit der Steigung mm zu einer Sekante mit der Steigung 1m\frac{1}{m} wird, und dasselbe ist von den Tangenten zu erwarten. Die Lektion über die Ableitungen der elementaren Funktionen hat es in einem Fall beobachtet: Die Tangenten an die Graphen von exe^x und von ln⁡x\ln x in bezüglich der Geraden y=xy = x symmetrischen Punkten haben zueinander reziproke Steigungen, eae^a und 1ea\frac{1}{e^a}.

Eine schnelle Rechnung legt die allgemeine Formel nahe. Wäre f−1f^{-1} differenzierbar, so ergäbe das Ableiten der Gleichung f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y mit der Kettenregel f′(f−1(y))(f−1)′(y)=1f'\left(f^{-1}(y)\right) \left(f^{-1}\right)'(y) = 1, und man müsste nur noch dividieren. Diese Rechnung setzt aber voraus, was zu beweisen ist, nämlich dass die Umkehrfunktion differenzierbar ist, und sagt nicht, was geschieht, wenn f′(f−1(y))=0f'\left(f^{-1}(y)\right) = 0 gilt. Der Fall kommt vor: x3x^3 ist an der Stelle 00 differenzierbar, mit verschwindender Ableitung, und ihre Umkehrfunktion, die Kubikwurzel, ist an der Stelle 00 nicht differenzierbar, nach der Proposition über die Stetigkeit ohne Ableitung aus der Lektion über die Ableitung als Grenzwert. Der folgende Satz beweist die Differenzierbarkeit, ohne sie vorauszusetzen, mit der Carathéodory-Charakterisierung, die es erlaubt, den Zuwachs der Umkehrfunktion freizustellen, ohne durch irgendeinen Zuwachs zu dividieren.

SatzAbleitung der Umkehrfunktion

Sei ff eine auf einem Intervall II mit mehr als einem Punkt stetige und streng monotone Funktion, und sei J=f(I)J = f(I). Ist ff an einer Stelle aa von II differenzierbar und gilt f′(a)≠0f'(a) \neq 0, so ist die Umkehrfunktion f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I an der Stelle b=f(a)b = f(a) differenzierbar, und

(f−1)′(b)=1f′(a)=1f′(f−1(b))\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}

Die Carathéodory-Faktorisierung von ff an der Stelle aa wird rückwärts gelesen: Die Funktion φ\varphi verschwindet nicht, und ihr Kehrwert, ausgewertet an der Stelle f−1(y)f^{-1}(y), faktorisiert den Zuwachs der Umkehrfunktion. Die Abbildung zeigt mit f(x)=x3f(x) = x^3 und a=0,8a = 0{,}8 eine Sekante und die Tangente von ff und danach ihre Spiegelbilder, die eine Sekante und die Tangente der Kubikwurzel sind.

Beweis

  1. f(x)−f(a)=φ(x)(x−a),x∈If(x) - f(a) = \dato{fi}{\varphi(x)(x - a)}, \qquad x \in I

    Da II ein Intervall mit mehr als einem Punkt ist, sind alle seine Punkte Häufungspunkte von II. Nach dem Satz über die Charakterisierungen der Ableitung aus der Lektion über die Ableitung als Grenzwert gibt es φ ⁣:I→R\varphi \colon I \to \mathbb{R}, stetig an der Stelle aa, mit φ(a)=f′(a)\varphi(a) = f'(a), sodass gilt:

  2. x≠a→φ(x)=f(x)−f(a)x−a≠0,φ(a)=f′(a)≠0x \neq a \rightarrow \varphi(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \neq 0, \qquad \resaltar{\varphi(a) = f'(a) \neq 0}

    Die Funktion φ\varphi verschwindet in keinem Punkt von II. An der Stelle aa hat sie den Wert f′(a)f'(a), der nicht null ist; ist x≠ax \neq a, so liefert die strenge Monotonie f(x)≠f(a)f(x) \neq f(a), und φ(x)\varphi(x) ist der Differenzenquotient, der ebenfalls nicht null ist.

  3. f−1(y)−f−1(b)=1φ(f−1(y))(y−b),y∈Jf^{-1}(y) - f^{-1}(b) = \dato{psi}{\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}}(y - b), \qquad y \in J

    Sei yy aus JJ, und sei x=f−1(y)x = f^{-1}(y), sodass f(x)=yf(x) = y und x−a=f−1(y)−f−1(b)x - a = f^{-1}(y) - f^{-1}(b) gilt. Man dividiert die Faktorisierung durch φ(x)\varphi(x), das nicht null ist: Der Zuwachs der Umkehrfunktion ist faktorisiert, und es wurde durch keinen Zuwachs dividiert.

  4. ψ(b)=1φ(a)=1f′(a)\psi(b) = \frac{1}{\varphi(a)} = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    Nach den Korollaren über das Bild eines Intervalls und über die Stetigkeit der Umkehrfunktion aus der Lektion über den Zwischenwertsatz ist JJ ein Intervall, mit mehr als einem Punkt, weil ff injektiv ist, und f−1f^{-1} ist stetig an der Stelle bb. Da φ\varphi an der Stelle a=f−1(b)a = f^{-1}(b) stetig ist, ist nach den Sätzen über die Verkettung stetiger Funktionen und über Operationen mit stetigen Funktionen aus der Lektion über Grenzwert und Stetigkeit der Faktor ψ=1φ∘f−1\psi = \frac{1}{\varphi \circ f^{-1}} an der Stelle bb stetig. Da bb ein Häufungspunkt von JJ ist, liefert die Carathéodory-Charakterisierung die Ableitung.

Die Stetigkeit von ff auf ganz II wird verlangt, damit die Umkehrfunktion an der Stelle bb stetig ist, was den Grenzübergang im letzten Teil des Beweises erlaubt. Ist ff auf ganz II differenzierbar und verschwindet ihre Ableitung nicht, so ist die Umkehrfunktion auf ganz JJ differenzierbar, und die Gleichung schreibt sich zwischen Funktionen: (f−1)′=1f′∘f−1\left(f^{-1}\right)' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}. Die Ableitung von ff wird an der Stelle f−1(y)f^{-1}(y) ausgewertet, nicht an der Stelle yy. Ist y=f(x)y = f(x) und x=f−1(y)x = f^{-1}(y), so besagt der Satz in Leibniz-Notation, dass dxdy=1dydx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}, wobei die Ableitung im Nenner an der Stelle x=f−1(y)x = f^{-1}(y) ausgewertet wird. Wie bei der Kettenregel sieht die Formel wie eine Regel der Bruchrechnung aus und ist keine. Ist die Differenzierbarkeit einmal bewiesen, so ist die schnelle Rechnung vom Anfang, die f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y mit der Kettenregel ableitet, eine legitime Art, sich die Formel zu merken.

PropositionDie Umkehrfunktion, wo die Ableitung verschwindet

Sei ff eine auf einem Intervall II mit mehr als einem Punkt stetige und streng monotone Funktion. Ist ff an einer Stelle aa von II differenzierbar und gilt f′(a)=0f'(a) = 0, so ist f−1f^{-1} an der Stelle b=f(a)b = f(a) nicht differenzierbar. Wäre sie es, so ergäbe die Kettenregel, angewandt auf die Identität f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x, die Gleichung 1=01 = 0.

Beweis

  1. (f−1∘f)′(a)=(f−1)′(b) f′(a)=0\left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \left(f^{-1}\right)'(b) \, f'(a) = \resaltar{0}

    Angenommen, f−1f^{-1} ist an der Stelle bb differenzierbar. Die Funktion ff ist auf II definiert und an der Stelle aa differenzierbar, die ein Häufungspunkt von II ist, und ihre Werte liegen in J=f(I)J = f(I), wo f−1f^{-1} definiert ist. Nach der Kettenregel aus der Lektion über die Kettenregel gilt:

  2. f−1(f(x))=x→(f−1∘f)′(a)=1≠0f^{-1}(f(x)) = x \rightarrow \left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \resaltar{1 \neq 0}

    Aber f−1∘ff^{-1} \circ f ist die Identität auf II, deren Ableitung in jedem Punkt 11 ist, wie in der Lektion über die Ableitung als Grenzwert gezeigt wurde. Der Widerspruch zeigt, dass f−1f^{-1} an der Stelle bb nicht differenzierbar ist.

Man kann mehr sagen. Ist y≠by \neq b, so verwendet der dritte Teil des Beweises des Satzes nur, dass φ\varphi außerhalb von aa nicht verschwindet, und er gilt auch dann, wenn f′(a)=0f'(a) = 0 ist: Der Differenzenquotient der Umkehrfunktion ist 1φ(f−1(y))\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}, und der Nenner strebt wegen der Stetigkeit der Verkettung gegen φ(a)=0\varphi(a) = 0. Ist ff monoton wachsend, so ist der Nenner positiv, und der Quotient strebt gegen ∞\infty; ist sie monoton fallend, so strebt er gegen −∞-\infty. Der Graph der Umkehrfunktion hat in (b,a)(b, a) eine vertikale Tangente, das Spiegelbild der waagerechten Tangente von ff in (a,b)(a, b), wie die Kubikwurzel im Ursprung.