انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

مشتقة الدالة العكسية والاشتقاق الضمني

ملخص

يبرهن هذا الدرس أن الدالة العكسية لدالة متصلة ورتيبة تمامًا على فترة قابلة للاشتقاق عند كل نقطة تكون فيها مشتقة الدالة غير منعدمة، وأن مشتقتها هي مقلوب مشتقة الدالة، محسوبةً عند النقطة المقابلة: عند أخذ مماثل التمثيل البياني بالنسبة إلى المستقيم y=xy = x، يتحول مماس ميله mm إلى مماس ميله 1m\frac{1}{m}. يستعمل البرهان اتصال الدالة العكسية، من الدرس الخاص بمبرهنة القيم الوسطى، وتوصيف كاراثيودوري؛ وحيث تنعدم مشتقة الدالة، لا تكون الدالة العكسية قابلة للاشتقاق. وبالمبرهنة تُشتق دوال قوس الجيب وقوس جيب التمام وقوس الظل، والدوال الزائدية العكسية، والجذور والقوى ذات الأسس النسبية. ويشتق الجزء الثاني من الدرس دوالَّ معرّفة بمعادلة، مثل فروع دائرة أو ورقة ديكارت، بافتراض أن الدالة موجودة وقابلة للاشتقاق، ويبيّن ما يحدث عندما لا يتحقق هذا الافتراض.

أهداف التعلم

  1. برهنة مبرهنة مشتقة الدالة العكسية، وتفسير سبب عدم قابلية الدالة العكسية للاشتقاق حيث تنعدم مشتقة الدالة.
  2. اشتقاق الدوال المثلثية العكسية والدوال الزائدية العكسية والجذور والقوى ذات الأسس النسبية، مع المجموعة التي توجد عليها كل مشتقة.
  3. الاشتقاق الضمني لدالة معرّفة بمعادلة، بافتراض أنها موجودة وقابلة للاشتقاق، وإيجاد مماسات منحنيات ليست تمثيلات بيانية لدوال بهذه الطريقة.
  4. التعرّف على الحالات التي لا يحسم فيها الاشتقاق الضمني شيئًا: معادلات لا تعرّف أي دالة قابلة للاشتقاق، ونقاط ينعدم فيها معامل المشتقة.

مشتقة الدالة العكسية

التمثيل البياني للدالة العكسية لدالة تباينية هو مماثل التمثيل البياني للدالة بالنسبة إلى المستقيم y=xy = x: النقطة (a,b)(a, b) من الأول تصير النقطة (b,a)(b, a) من الثاني. ويبادل التناظرُ التزايدَ الأفقي والتزايدَ الرأسي، بحيث يتحول قاطع ميله mm إلى قاطع ميله 1m\frac{1}{m}، ويُنتظر الأمر نفسه من المماسات. وقد لاحظ الدرس الخاص بـمشتقات الدوال الأولية ذلك في حالة واحدة: المماسات للتمثيلين البيانيين لـexe^x ولـln⁡x\ln x عند نقاط متناظرة بالنسبة إلى المستقيم y=xy = x لها ميول مقلوب أحدها للآخر، eae^a و1ea\frac{1}{e^a}.

حساب سريع يوحي بالصيغة العامة. لو كانت f−1f^{-1} قابلة للاشتقاق، لحصلنا باشتقاق المساواة f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y بقاعدة السلسلة على f′(f−1(y))(f−1)′(y)=1f'\left(f^{-1}(y)\right) \left(f^{-1}\right)'(y) = 1، ولكفت القسمة. لكن هذا الحساب يفترض ما يجب برهانه، أي أن الدالة العكسية قابلة للاشتقاق، ولا يقول ما يحدث إذا كان f′(f−1(y))=0f'\left(f^{-1}(y)\right) = 0. والحالة موجودة: الدالة x3x^3 قابلة للاشتقاق عند 00، بمشتقة منعدمة، ودالتها العكسية، الجذر التكعيبي، ليست قابلة للاشتقاق عند 00، بحسب قضية الاتصال دون قابلية الاشتقاق، من الدرس الخاص بـالمشتقة بوصفها نهاية. والمبرهنة الآتية تبرهن قابلية الاشتقاق دون افتراضها، بتوصيف كاراثيودوري، الذي يسمح بعزل تزايد الدالة العكسية دون القسمة على أي تزايد.

مبرهنةمشتقة الدالة العكسية

لتكن ff دالة متصلة ورتيبة تمامًا على فترة II تحوي أكثر من نقطة واحدة، ولتكن J=f(I)J = f(I). إذا كانت ff قابلة للاشتقاق عند نقطة aa من II وكان f′(a)≠0f'(a) \neq 0، فإن الدالة العكسية f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I قابلة للاشتقاق عند b=f(a)b = f(a)، و

(f−1)′(b)=1f′(a)=1f′(f−1(b))\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}

يُقرأ تحليل كاراثيودوري للدالة ff عند aa بالاتجاه المعاكس: الدالة φ\varphi لا تنعدم، ومقلوبها، محسوبًا عند f−1(y)f^{-1}(y)، يحلّل تزايد الدالة العكسية إلى جداء. ويبيّن الرسم، مع f(x)=x3f(x) = x^3 وa=0,8a = 0{,}8، قاطعًا ومماس ff، ثم مماثليهما، وهما قاطع ومماس الجذر التكعيبي.

البرهان

  1. f(x)−f(a)=φ(x)(x−a),x∈If(x) - f(a) = \dato{fi}{\varphi(x)(x - a)}, \qquad x \in I

    بما أن II فترة تحوي أكثر من نقطة واحدة، فكل نقاطها نقاط تراكم لـII. وبمبرهنة توصيفات المشتقة، من الدرس الخاص بالمشتقة بوصفها نهاية، توجد φ ⁣:I→R\varphi \colon I \to \mathbb{R}، متصلة عند aa، مع φ(a)=f′(a)\varphi(a) = f'(a)، بحيث:

  2. x≠a→φ(x)=f(x)−f(a)x−a≠0,φ(a)=f′(a)≠0x \neq a \rightarrow \varphi(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \neq 0, \qquad \resaltar{\varphi(a) = f'(a) \neq 0}

    الدالة φ\varphi لا تنعدم عند أي نقطة من II. فعند aa تساوي f′(a)f'(a)، وهي ليست صفرًا؛ وإذا كان x≠ax \neq a، فإن الرتابة التامة تعطي f(x)≠f(a)f(x) \neq f(a)، وتكون φ(x)\varphi(x) نسبة التزايد، وهي ليست صفرًا كذلك.

  3. f−1(y)−f−1(b)=1φ(f−1(y))(y−b),y∈Jf^{-1}(y) - f^{-1}(b) = \dato{psi}{\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}}(y - b), \qquad y \in J

    لتكن yy من JJ، ولتكن x=f−1(y)x = f^{-1}(y)، بحيث f(x)=yf(x) = y وx−a=f−1(y)−f−1(b)x - a = f^{-1}(y) - f^{-1}(b). نقسم التحليل على φ(x)\varphi(x)، وهي ليست صفرًا: فيتحلل تزايد الدالة العكسية إلى جداء، ولم تجرِ القسمة على أي تزايد.

  4. ψ(b)=1φ(a)=1f′(a)\psi(b) = \frac{1}{\varphi(a)} = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    بالنتيجتين الخاصتين بصورة فترة وباتصال الدالة العكسية، من الدرس الخاص بـمبرهنة القيم الوسطى، تكون JJ فترة، تحوي أكثر من نقطة واحدة لأن ff تباينية، وتكون f−1f^{-1} متصلة عند bb. وبما أن φ\varphi متصلة عند a=f−1(b)a = f^{-1}(b)، فبمبرهنتي تركيب الدوال المتصلة والعمليات على الدوال المتصلة، من الدرس الخاص بـالنهاية والاتصال، يكون العامل ψ=1φ∘f−1\psi = \frac{1}{\varphi \circ f^{-1}} متصلًا عند bb. وبما أن bb نقطة تراكم لـJJ، فإن توصيف كاراثيودوري يعطي المشتقة.

يُشترط اتصال ff على كل II لكي تكون الدالة العكسية متصلة عند bb، وهذا ما يسمح بالانتقال إلى النهاية في المرحلة الأخيرة من البرهان. وإذا كانت ff قابلة للاشتقاق على كل II ولم تنعدم مشتقتها، فإن الدالة العكسية قابلة للاشتقاق على كل JJ، وتُكتب المساواة بين دوال: (f−1)′=1f′∘f−1\left(f^{-1}\right)' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}. وتُحسب مشتقة ff عند f−1(y)f^{-1}(y)، لا عند yy. وبترميز لايبنتس، إذا كان y=f(x)y = f(x) وx=f−1(y)x = f^{-1}(y)، فإن المبرهنة تقول إن dxdy=1dydx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}، مع حساب مشتقة المقام عند x=f−1(y)x = f^{-1}(y). وكما في قاعدة السلسلة، تبدو الصيغة قاعدة من قواعد الكسور وليست كذلك. وبعد برهان قابلية الاشتقاق، يكون الحساب السريع الذي بدأنا به، والذي يشتق المساواة f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y بقاعدة السلسلة، طريقة مشروعة لتذكّر الصيغة.

قضيةالدالة العكسية حيث تنعدم المشتقة

لتكن ff دالة متصلة ورتيبة تمامًا على فترة II تحوي أكثر من نقطة واحدة. إذا كانت ff قابلة للاشتقاق عند نقطة aa من II وكان f′(a)=0f'(a) = 0، فإن f−1f^{-1} ليست قابلة للاشتقاق عند b=f(a)b = f(a). لو كانت كذلك، لأعطت قاعدة السلسلة، مطبقةً على المتطابقة f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x، المساواة 1=01 = 0.

البرهان

  1. (f−1∘f)′(a)=(f−1)′(b) f′(a)=0\left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \left(f^{-1}\right)'(b) \, f'(a) = \resaltar{0}

    لنفترض أن f−1f^{-1} قابلة للاشتقاق عند bb. الدالة ff معرّفة على II وقابلة للاشتقاق عند aa، وهي نقطة تراكم لـII، وقيمها تقع في J=f(I)J = f(I)، حيث تُعرَّف f−1f^{-1}. وبقاعدة السلسلة، من الدرس الخاص بـقاعدة السلسلة:

  2. f−1(f(x))=x→(f−1∘f)′(a)=1≠0f^{-1}(f(x)) = x \rightarrow \left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \resaltar{1 \neq 0}

    لكن f−1∘ff^{-1} \circ f هي الدالة المطابقة لـII، ومشتقتها عند كل نقطة هي 11، كما رأينا في الدرس الخاص بالمشتقة بوصفها نهاية. والتناقض يبيّن أن f−1f^{-1} ليست قابلة للاشتقاق عند bb.

يمكن قول المزيد. إذا كان y≠by \neq b، فإن المرحلة الثالثة من برهان المبرهنة لا تستعمل إلا أن φ\varphi لا تنعدم خارج aa، وتبقى صحيحة حتى لو كان f′(a)=0f'(a) = 0: نسبة تزايد الدالة العكسية هي 1φ(f−1(y))\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}، والمقام يؤول إلى φ(a)=0\varphi(a) = 0، باتصال التركيب. إذا كانت ff متزايدة، فالمقام موجب، والنسبة تؤول إلى ∞\infty؛ وإذا كانت متناقصة، فإنها تؤول إلى −∞-\infty. وللتمثيل البياني للدالة العكسية عند (b,a)(b, a) مماس رأسي، هو مماثل المماس الأفقي لـff عند (a,b)(a, b)، كالجذر التكعيبي عند الأصل.