Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Derivata fvnctionis inversae et derivatio implicita

Svmmarivm

Haec lectio ostendit inversam fvnctionis in intervallo continvae et stricte monotonae derivabilem esse in omni pvncto in qvo fvnctio derivatam non nvllam habet, et derivatam eivs esse inversvm derivatae fvnctionis, in pvncto respondenti aestimatae: delineatione circa rectam y=xy = x reflexa, recta tangens declivitatis mm in rectam declivitatis 1m\frac{1}{m} convertitvr. Demonstratio continvitate inversae vtitvr, ex lectione de theoremate valoris intermedii, et characterismo Carathéodorii; vbi derivata fvnctionis evanescit, inversa derivabilis non est. Theoremate derivantvr arcvs sinvs, arcvs cosinvs, arcvs tangentis, inversae fvnctionvm hyperbolicarvm, radices et potentiae exponentis rationalis. Altera lectionis portio fvnctiones aeqvatione definitas derivat, vt ramos circvmferentiae vel folii Cartesii, posito fvnctionem exsistere et derivabilem esse, et ostendit qvid accidat cvm ea positio deficit.

Proposita discendi

  1. Theorema de derivata fvnctionis inversae demonstrare, et explicare cvr inversa derivabilis non sit vbi derivata fvnctionis evanescit.
  2. Fvnctiones trigonometricas inversas, inversas fvnctionvm hyperbolicarvm, radices et potentias exponentis rationalis derivare, cvm copia in qva qvaeqve derivata exsistit.
  3. Fvnctionem aeqvatione definitam implicite derivare, posito eam exsistere et derivabilem esse, et sic rectas tangentes cvrvarvm invenire qvae delineationes fvnctionvm non svnt.
  4. Agnoscere qvando derivatio implicita nihil decernat: aeqvationes qvae nvllam fvnctionem derivabilem definivnt et pvncta in qvibvs coefficiens derivatae evanescit.

Derivata fvnctionis inversae

Delineatio inversae fvnctionis iniectivae est reflexio delineationis fvnctionis circa rectam y=xy = x: pvnctvm (a,b)(a, b) illivs fit pvnctvm (b,a)(b, a) hvivs. Reflexio incrementvm horizontale et verticale permvtat, ita vt secans declivitatis mm in secantem declivitatis 1m\frac{1}{m} convertatvr, et idem de rectis tangentibvs exspectandvm est. Lectio de derivatis fvnctionvm elementarivm id in vno casv animadvertit: rectae tangentes delineationvm fvnctionvm exe^x et ln⁡x\ln x in pvnctis respectv rectae y=xy = x symmetricis declivitates inter se inversas habent, eae^a et 1ea\frac{1}{e^a}.

Compvtatio celeris formvlam generalem svggerit. Si f−1f^{-1} derivabilis esset, aeqvalitate f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y per regvlam catenae derivata, obtineretvr f′(f−1(y))(f−1)′(y)=1f'\left(f^{-1}(y)\right) \left(f^{-1}\right)'(y) = 1, et dividere svfficeret. Sed ea compvtatio svmit id qvod demonstrandvm est, inversam derivabilem esse, nec dicit qvid accidat si f′(f−1(y))=0f'\left(f^{-1}(y)\right) = 0. Casvs exsistit: x3x^3 in 00 derivabilis est, derivata nvlla, et inversa eivs, radix cvbica, in 00 derivabilis non est, per propositionem «Continvitas sine derivata» lectionis de derivata vt limite. Theorema infra scriptvm derivabilitatem demonstrat neqve eam svmit, characterismo Carathéodorii, qvi incrementvm inversae separare sinit nec per vllvm incrementvm dividere.

TheoremaDerivata fvnctionis inversae

Sit ff fvnctio continva et stricte monotona in intervallo II plvs qvam vnvm pvnctvm continenti, et sit J=f(I)J = f(I). Si ff in pvncto aa copiae II derivabilis est et f′(a)≠0f'(a) \neq 0, tvm inversa f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I in b=f(a)b = f(a) derivabilis est, et

(f−1)′(b)=1f′(a)=1f′(f−1(b))\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}

Factorizatio Carathéodorii fvnctionis ff in aa retro legitvr: fvnctio φ\varphi non evanescit, et eivs inversvm, in f−1(y)f^{-1}(y) aestimatvm, incrementvm inversae factorizat. Figvra ostendit, cvm f(x)=x3f(x) = x^3 et a=0,8a = 0{,}8, secantem et rectam tangentem fvnctionis ff, deinde earvm reflexiones, qvae svnt secans et recta tangens radicis cvbicae.

Demonstratio

  1. f(x)−f(a)=φ(x)(x−a),x∈If(x) - f(a) = \dato{fi}{\varphi(x)(x - a)}, \qquad x \in I

    Cvm II intervallvm plvs qvam vnvm pvnctvm continens sit, omnia eivs pvncta svnt pvncta accvmvlationis copiae II. Per theorema de characterismis derivatae, ex lectione de derivata vt limite, exsistit φ ⁣:I→R\varphi \colon I \to \mathbb{R}, in aa continva, cvm φ(a)=f′(a)\varphi(a) = f'(a), ita vt:

  2. x≠a→φ(x)=f(x)−f(a)x−a≠0,φ(a)=f′(a)≠0x \neq a \rightarrow \varphi(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \neq 0, \qquad \resaltar{\varphi(a) = f'(a) \neq 0}

    Fvnctio φ\varphi in nvllo pvncto copiae II evanescit. In aa valet f′(a)f'(a), qvod nihilvm non est; si x≠ax \neq a, monotonia stricta dat f(x)≠f(a)f(x) \neq f(a), et φ(x)\varphi(x) est qvotiens incrementalis, qvi ne ipse qvidem nihilvm est.

  3. f−1(y)−f−1(b)=1φ(f−1(y))(y−b),y∈Jf^{-1}(y) - f^{-1}(b) = \dato{psi}{\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}}(y - b), \qquad y \in J

    Sit yy ex JJ, et sit x=f−1(y)x = f^{-1}(y), ita vt f(x)=yf(x) = y et x−a=f−1(y)−f−1(b)x - a = f^{-1}(y) - f^{-1}(b). Factorizatio per φ(x)\varphi(x) dividitvr, qvod nihilvm non est: incrementvm inversae factorizatvm manet, nec per vllvm incrementvm divisvm est.

  4. ψ(b)=1φ(a)=1f′(a)\psi(b) = \frac{1}{\varphi(a)} = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    Per corollaria de imagine intervalli et de continvitate inversae, ex lectione de theoremate valoris intermedii, JJ est intervallvm, plvs qvam vnvm pvnctvm continens qvia ff iniectiva est, et f−1f^{-1} in bb continva est. Cvm φ\varphi in a=f−1(b)a = f^{-1}(b) continva sit, per theoremata de compositione fvnctionvm continvarvm et de operationibvs cvm fvnctionibvs continvis, ex lectione de limite et continvitate, factor ψ=1φ∘f−1\psi = \frac{1}{\varphi \circ f^{-1}} in bb continvvs est. Cvm bb pvnctvm accvmvlationis copiae JJ sit, characterismvs Carathéodorii derivatam praebet.

Continvitas fvnctionis ff in toto II postvlatvr vt inversa in bb continva sit, qvod transitvm ad limitem in vltimo articvlo demonstrationis permittit. Si ff in toto II derivabilis est et derivata eivs non evanescit, inversa in toto JJ derivabilis est, et aeqvalitas inter fvnctiones scribitvr: (f−1)′=1f′∘f−1\left(f^{-1}\right)' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}. Derivata fvnctionis ff in f−1(y)f^{-1}(y) aestimatvr, non in yy. In notatione Leibnitiana, si y=f(x)y = f(x) et x=f−1(y)x = f^{-1}(y), theorema dicit valere dxdy=1dydx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}, derivata denominatoris in x=f−1(y)x = f^{-1}(y) aestimata. Vt in regvla catenae, formvla regvla fractionvm esse videtvr nec est. Derivabilitate semel demonstrata, compvtatio celeris initii, qvae f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y per regvlam catenae derivat, legitimvs modvs est formvlae memoria tenendae.

PropositioInversa vbi derivata evanescit

Sit ff fvnctio continva et stricte monotona in intervallo II plvs qvam vnvm pvnctvm continenti. Si ff in pvncto aa copiae II derivabilis est et f′(a)=0f'(a) = 0, tvm f−1f^{-1} in b=f(a)b = f(a) derivabilis non est. Si esset, regvla catenae, ad identitatem f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x adhibita, daret 1=01 = 0.

Demonstratio

  1. (f−1∘f)′(a)=(f−1)′(b) f′(a)=0\left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \left(f^{-1}\right)'(b) \, f'(a) = \resaltar{0}

    Ponamvs f−1f^{-1} in bb derivabilem esse. Fvnctio ff in II definita est et in aa derivabilis, qvod pvnctvm accvmvlationis copiae II est, et eivs valores in J=f(I)J = f(I) iacent, vbi f−1f^{-1} definita est. Per regvlam catenae, ex lectione de regvla catenae:

  2. f−1(f(x))=x→(f−1∘f)′(a)=1≠0f^{-1}(f(x)) = x \rightarrow \left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \resaltar{1 \neq 0}

    Sed f−1∘ff^{-1} \circ f est identitas copiae II, cvivs derivata in omni pvncto est 11, vt in lectione de derivata vt limite visvm est. Contradictio ostendit f−1f^{-1} in bb derivabilem non esse.

Plvs dici potest. Si y≠by \neq b, tertivs articvlvs demonstrationis theorematis tantvm vtitvr eo qvod φ\varphi extra aa non evanescit, et valet etiam si f′(a)=0f'(a) = 0: qvotiens incrementalis inversae est 1φ(f−1(y))\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}, et denominator ad φ(a)=0\varphi(a) = 0 tendit, per continvitatem compositionis. Si ff crescens est, denominator positivvs est, et qvotiens ad ∞\infty tendit; si decrescens est, ad −∞-\infty tendit. Delineatio inversae in (b,a)(b, a) rectam tangentem verticalem habet, reflexionem rectae tangentis horizontalis fvnctionis ff in (a,b)(a, b), vt radix cvbica in origine.