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Topos Uranos
Português

Derivada da função inversa e derivação implícita

Resumo

Esta aula demonstra que a inversa de uma função contínua e estritamente monótona em um intervalo é derivável em cada ponto em que a função tem derivada não nula, e que sua derivada é o inverso da derivada da função, avaliada no ponto que lhe corresponde: ao refletir o gráfico em relação à reta y=xy = x, uma tangente de coeficiente angular mm converte-se em uma de coeficiente angular 1m\frac{1}{m}. A demonstração usa a continuidade da inversa, da aula sobre o teorema do valor intermediário, e a caracterização de Carathéodory; onde a derivada da função se anula, a inversa não é derivável. Com o teorema derivam-se o arco-seno, o arco-cosseno, o arco-tangente, as inversas das funções hiperbólicas, as raízes e as potências de expoente racional. A segunda parte da aula deriva funções definidas por uma equação, como os ramos de uma circunferência ou do fólio de Descartes, supondo que a função existe e é derivável, e mostra o que ocorre quando essa suposição falha.

Objetivos de aprendizagem

  1. Demonstrar o teorema da derivada da função inversa, e explicar por que a inversa não é derivável onde a derivada da função se anula.
  2. Derivar as funções trigonométricas inversas, as inversas das hiperbólicas, as raízes e as potências de expoente racional, com o conjunto em que cada derivada existe.
  3. Derivar implicitamente uma função definida por uma equação, supondo que existe e é derivável, e achar assim as tangentes a curvas que não são gráficos de funções.
  4. Reconhecer quando a derivação implícita não decide nada: equações que não definem nenhuma função derivável e pontos em que o coeficiente da derivada se anula.

A derivada da função inversa

O gráfico da inversa de uma função injetora é o reflexo do gráfico da função em relação à reta y=xy = x: o ponto (a,b)(a, b) do primeiro converte-se no ponto (b,a)(b, a) do segundo. A reflexão troca o incremento horizontal e o vertical, de modo que uma secante de coeficiente angular mm se converte em uma secante de coeficiente angular 1m\frac{1}{m}, e cabe esperar o mesmo das tangentes. A aula sobre as derivadas das funções elementares observou-o em um caso: as tangentes aos gráficos de exe^x e de ln⁡x\ln x em pontos simétricos em relação à reta y=xy = x têm coeficientes angulares inversos um do outro, eae^a e 1ea\frac{1}{e^a}.

Um cálculo rápido sugere a fórmula geral. Se f−1f^{-1} fosse derivável, ao derivar a igualdade f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y com a regra da cadeia obter-se-ia f′(f−1(y))(f−1)′(y)=1f'\left(f^{-1}(y)\right) \left(f^{-1}\right)'(y) = 1, e bastaria dividir. Mas esse cálculo supõe o que é preciso demonstrar, que a inversa é derivável, e não diz o que ocorre se f′(f−1(y))=0f'\left(f^{-1}(y)\right) = 0. O caso existe: x3x^3 é derivável em 00, com derivada nula, e sua inversa, a raiz cúbica, não é derivável em 00, pela proposição da continuidade sem derivada, da aula sobre a derivada como limite. O teorema abaixo demonstra a derivabilidade sem supô-la, com a caracterização de Carathéodory, que permite isolar o incremento da inversa sem dividir por nenhum incremento.

TeoremaDerivada da função inversa

Seja ff uma função contínua e estritamente monótona em um intervalo II com mais de um ponto, e seja J=f(I)J = f(I). Se ff é derivável em um ponto aa de II e f′(a)≠0f'(a) \neq 0, então a inversa f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I é derivável em b=f(a)b = f(a), e

(f−1)′(b)=1f′(a)=1f′(f−1(b))\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}

A fatoração de Carathéodory de ff em aa lê-se ao contrário: a função φ\varphi não se anula, e seu inverso, avaliado em f−1(y)f^{-1}(y), fatora o incremento da inversa. A figura mostra, com f(x)=x3f(x) = x^3 e a=0,8a = 0{,}8, uma secante e a tangente de ff, e depois seus reflexos, que são uma secante e a tangente da raiz cúbica.

Demonstração

  1. f(x)−f(a)=φ(x)(x−a),x∈If(x) - f(a) = \dato{fi}{\varphi(x)(x - a)}, \qquad x \in I

    Como II é um intervalo com mais de um ponto, todos os seus pontos são de acumulação de II. Pelo teorema das caracterizações da derivada, da aula sobre a derivada como limite, existe φ ⁣:I→R\varphi \colon I \to \mathbb{R}, contínua em aa, com φ(a)=f′(a)\varphi(a) = f'(a), tal que:

  2. x≠a→φ(x)=f(x)−f(a)x−a≠0,φ(a)=f′(a)≠0x \neq a \rightarrow \varphi(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \neq 0, \qquad \resaltar{\varphi(a) = f'(a) \neq 0}

    A função φ\varphi não se anula em nenhum ponto de II. Em aa vale f′(a)f'(a), que não é zero; se x≠ax \neq a, a monotonia estrita dá f(x)≠f(a)f(x) \neq f(a), e φ(x)\varphi(x) é a razão incremental, que tampouco é zero.

  3. f−1(y)−f−1(b)=1φ(f−1(y))(y−b),y∈Jf^{-1}(y) - f^{-1}(b) = \dato{psi}{\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}}(y - b), \qquad y \in J

    Seja yy de JJ, e seja x=f−1(y)x = f^{-1}(y), de modo que f(x)=yf(x) = y e x−a=f−1(y)−f−1(b)x - a = f^{-1}(y) - f^{-1}(b). Divide-se a fatoração por φ(x)\varphi(x), que não é zero: o incremento da inversa fica fatorado, e não se dividiu por nenhum incremento.

  4. ψ(b)=1φ(a)=1f′(a)\psi(b) = \frac{1}{\varphi(a)} = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    Pelos corolários da imagem de um intervalo e da continuidade da inversa, da aula sobre o teorema do valor intermediário, JJ é um intervalo, com mais de um ponto porque ff é injetora, e f−1f^{-1} é contínua em bb. Como φ\varphi é contínua em a=f−1(b)a = f^{-1}(b), pelos teoremas da composição de funções contínuas e das operações com funções contínuas, da aula sobre limite e continuidade, o fator ψ=1φ∘f−1\psi = \frac{1}{\varphi \circ f^{-1}} é contínuo em bb. Como bb é ponto de acumulação de JJ, a caracterização de Carathéodory dá a derivada.

A continuidade de ff em todo II exige-se para que a inversa seja contínua em bb, que é o que permite passar ao limite no último momento da demonstração. Se ff é derivável em todo II e sua derivada não se anula, a inversa é derivável em todo JJ, e a igualdade escreve-se entre funções: (f−1)′=1f′∘f−1\left(f^{-1}\right)' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}. A derivada de ff avalia-se em f−1(y)f^{-1}(y), não em yy. Na notação de Leibniz, se y=f(x)y = f(x) e x=f−1(y)x = f^{-1}(y), o teorema diz que dxdy=1dydx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}, com a derivada do denominador avaliada em x=f−1(y)x = f^{-1}(y). Como na regra da cadeia, a fórmula parece uma regra das frações e não o é. Uma vez demonstrada a derivabilidade, o cálculo rápido do começo, que deriva f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y com a regra da cadeia, é uma maneira legítima de recordar a fórmula.

ProposiçãoA inversa onde a derivada se anula

Seja ff uma função contínua e estritamente monótona em um intervalo II com mais de um ponto. Se ff é derivável em um ponto aa de II e f′(a)=0f'(a) = 0, então f−1f^{-1} não é derivável em b=f(a)b = f(a). Se o fosse, a regra da cadeia, aplicada à identidade f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x, daria 1=01 = 0.

Demonstração

  1. (f−1∘f)′(a)=(f−1)′(b) f′(a)=0\left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \left(f^{-1}\right)'(b) \, f'(a) = \resaltar{0}

    Suponhamos que f−1f^{-1} é derivável em bb. A função ff está definida em II e é derivável em aa, que é ponto de acumulação de II, e seus valores estão em J=f(I)J = f(I), onde está definida f−1f^{-1}. Pela regra da cadeia, da aula sobre a regra da cadeia:

  2. f−1(f(x))=x→(f−1∘f)′(a)=1≠0f^{-1}(f(x)) = x \rightarrow \left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \resaltar{1 \neq 0}

    Mas f−1∘ff^{-1} \circ f é a identidade de II, cuja derivada em todo ponto é 11, como se viu na aula sobre a derivada como limite. A contradição mostra que f−1f^{-1} não é derivável em bb.

Pode-se dizer mais. Se y≠by \neq b, o terceiro momento da demonstração do teorema só usa que φ\varphi não se anula fora de aa, e vale ainda que f′(a)=0f'(a) = 0: a razão incremental da inversa é 1φ(f−1(y))\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}, e o denominador tende a φ(a)=0\varphi(a) = 0, pela continuidade da composição. Se ff é crescente, o denominador é positivo, e a razão tende a ∞\infty; se é decrescente, tende a −∞-\infty. O gráfico da inversa tem em (b,a)(b, a) uma tangente vertical, reflexo da tangente horizontal de ff em (a,b)(a, b), como a raiz cúbica na origem.