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Topos Uranos
Français

Dérivée de la fonction réciproque et dérivation implicite

Résumé

Cette leçon démontre que la réciproque d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est dérivable en tout point où la fonction a une dérivée non nulle, et que sa dérivée est l’inverse de la dérivée de la fonction, évaluée au point qui lui correspond : en réfléchissant la courbe par rapport à la droite y=xy = x, une tangente de pente mm devient une tangente de pente 1m\frac{1}{m}. La démonstration utilise la continuité de la réciproque, de la leçon sur le théorème des valeurs intermédiaires, et la caractérisation de Carathéodory ; là où la dérivée de la fonction s’annule, la réciproque n’est pas dérivable. Le théorème permet de dériver l’arc sinus, l’arc cosinus, l’arc tangente, les réciproques des fonctions hyperboliques, les racines et les puissances à exposant rationnel. La deuxième partie de la leçon dérive des fonctions définies par une équation, comme les branches d’un cercle ou du folium de Descartes, en supposant que la fonction existe et est dérivable, et montre ce qui se passe quand cette hypothèse est en défaut.

Objectifs d’apprentissage

  1. Démontrer le théorème de la dérivée de la fonction réciproque, et expliquer pourquoi la réciproque n’est pas dérivable là où la dérivée de la fonction s’annule.
  2. Dériver les fonctions trigonométriques réciproques, les réciproques des fonctions hyperboliques, les racines et les puissances à exposant rationnel, avec l’ensemble où chaque dérivée existe.
  3. Dériver implicitement une fonction définie par une équation, en supposant qu’elle existe et est dérivable, et trouver ainsi les tangentes à des courbes qui ne sont pas des courbes représentatives de fonctions.
  4. Reconnaître quand la dérivation implicite ne décide rien : des équations qui ne définissent aucune fonction dérivable et des points où le coefficient de la dérivée s’annule.

La dérivée de la fonction réciproque

La courbe de la réciproque d’une fonction injective est le reflet de la courbe de la fonction par rapport à la droite y=xy = x : le point (a,b)(a, b) de la première devient le point (b,a)(b, a) de la seconde. La réflexion échange l’accroissement horizontal et l’accroissement vertical, de sorte qu’une sécante de pente mm devient une sécante de pente 1m\frac{1}{m}, et l’on peut attendre la même chose des tangentes. La leçon sur les dérivées des fonctions élémentaires l’a observé dans un cas : les tangentes aux courbes de exe^x et de ln⁡x\ln x en des points symétriques par rapport à la droite y=xy = x ont des pentes inverses l’une de l’autre, eae^a et 1ea\frac{1}{e^a}.

Un calcul rapide suggère la formule générale. Si f−1f^{-1} était dérivable, en dérivant l’égalité f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y avec la règle de dérivation en chaîne on obtiendrait f′(f−1(y))(f−1)′(y)=1f'\left(f^{-1}(y)\right) \left(f^{-1}\right)'(y) = 1, et il suffirait de diviser. Mais ce calcul suppose ce qu’il faut démontrer, à savoir que la réciproque est dérivable, et ne dit pas ce qui se passe si f′(f−1(y))=0f'\left(f^{-1}(y)\right) = 0. Le cas existe : x3x^3 est dérivable en 00, de dérivée nulle, et sa réciproque, la racine cubique, n’est pas dérivable en 00, par la proposition de la continuité sans dérivée, de la leçon sur la dérivée comme limite. Le théorème ci-dessous démontre la dérivabilité sans la supposer, avec la caractérisation de Carathéodory, qui permet d’isoler l’accroissement de la réciproque sans diviser par aucun accroissement.

ThéorèmeDérivée de la fonction réciproque

Soit ff une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle II contenant plus d’un point, et soit J=f(I)J = f(I). Si ff est dérivable en un point aa de II et f′(a)≠0f'(a) \neq 0, alors la réciproque f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I est dérivable en b=f(a)b = f(a), et

(f−1)′(b)=1f′(a)=1f′(f−1(b))\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}

La factorisation de Carathéodory de ff en aa se lit à l’envers : la fonction φ\varphi ne s’annule pas, et son inverse, évalué en f−1(y)f^{-1}(y), factorise l’accroissement de la réciproque. La figure montre, avec f(x)=x3f(x) = x^3 et a=0,8a = 0{,}8, une sécante et la tangente de ff, puis leurs reflets, qui sont une sécante et la tangente de la racine cubique.

Démonstration

  1. f(x)−f(a)=φ(x)(x−a),x∈If(x) - f(a) = \dato{fi}{\varphi(x)(x - a)}, \qquad x \in I

    Comme II est un intervalle contenant plus d’un point, tous ses points sont des points d’accumulation de II. Par le théorème des caractérisations de la dérivée, de la leçon sur la dérivée comme limite, il existe φ ⁣:I→R\varphi \colon I \to \mathbb{R}, continue en aa, avec φ(a)=f′(a)\varphi(a) = f'(a), telle que :

  2. x≠a→φ(x)=f(x)−f(a)x−a≠0,φ(a)=f′(a)≠0x \neq a \rightarrow \varphi(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \neq 0, \qquad \resaltar{\varphi(a) = f'(a) \neq 0}

    La fonction φ\varphi ne s’annule en aucun point de II. En aa elle vaut f′(a)f'(a), qui n’est pas nul ; si x≠ax \neq a, la stricte monotonie donne f(x)≠f(a)f(x) \neq f(a), et φ(x)\varphi(x) est le taux d’accroissement, qui n’est pas nul non plus.

  3. f−1(y)−f−1(b)=1φ(f−1(y))(y−b),y∈Jf^{-1}(y) - f^{-1}(b) = \dato{psi}{\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}}(y - b), \qquad y \in J

    Soit yy dans JJ, et soit x=f−1(y)x = f^{-1}(y), de sorte que f(x)=yf(x) = y et x−a=f−1(y)−f−1(b)x - a = f^{-1}(y) - f^{-1}(b). On divise la factorisation par φ(x)\varphi(x), qui n’est pas nul : l’accroissement de la réciproque se trouve factorisé, et l’on n’a divisé par aucun accroissement.

  4. ψ(b)=1φ(a)=1f′(a)\psi(b) = \frac{1}{\varphi(a)} = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    Par les corollaires de l’image d’un intervalle et de la continuité de la réciproque, de la leçon sur le théorème des valeurs intermédiaires, JJ est un intervalle, contenant plus d’un point parce que ff est injective, et f−1f^{-1} est continue en bb. Comme φ\varphi est continue en a=f−1(b)a = f^{-1}(b), par les théorèmes de la composée de fonctions continues et des opérations sur les fonctions continues, de la leçon sur la limite et la continuité, le facteur ψ=1φ∘f−1\psi = \frac{1}{\varphi \circ f^{-1}} est continu en bb. Comme bb est un point d’accumulation de JJ, la caractérisation de Carathéodory donne la dérivée.

La continuité de ff sur tout II est demandée pour que la réciproque soit continue en bb, ce qui permet de passer à la limite dans le dernier temps de la démonstration. Si ff est dérivable sur tout II et si sa dérivée ne s’annule pas, la réciproque est dérivable sur tout JJ, et l’égalité s’écrit entre fonctions : (f−1)′=1f′∘f−1\left(f^{-1}\right)' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}. La dérivée de ff s’évalue en f−1(y)f^{-1}(y), non en yy. En notation de Leibniz, si y=f(x)y = f(x) et x=f−1(y)x = f^{-1}(y), le théorème dit que dxdy=1dydx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}, la dérivée du dénominateur étant évaluée en x=f−1(y)x = f^{-1}(y). Comme pour la règle de dérivation en chaîne, la formule ressemble à une règle de calcul sur les fractions et n’en est pas une. Une fois la dérivabilité démontrée, le calcul rapide du début, qui dérive f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y avec la règle de dérivation en chaîne, est une manière légitime de retenir la formule.

PropositionLa réciproque là où la dérivée s’annule

Soit ff une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle II contenant plus d’un point. Si ff est dérivable en un point aa de II et f′(a)=0f'(a) = 0, alors f−1f^{-1} n’est pas dérivable en b=f(a)b = f(a). Si elle l’était, la règle de dérivation en chaîne, appliquée à l’identité f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x, donnerait 1=01 = 0.

Démonstration

  1. (f−1∘f)′(a)=(f−1)′(b) f′(a)=0\left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \left(f^{-1}\right)'(b) \, f'(a) = \resaltar{0}

    Supposons que f−1f^{-1} soit dérivable en bb. La fonction ff est définie sur II et dérivable en aa, qui est un point d’accumulation de II, et ses valeurs sont dans J=f(I)J = f(I), où f−1f^{-1} est définie. Par la règle de dérivation en chaîne, de la leçon sur la règle de dérivation en chaîne :

  2. f−1(f(x))=x→(f−1∘f)′(a)=1≠0f^{-1}(f(x)) = x \rightarrow \left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \resaltar{1 \neq 0}

    Mais f−1∘ff^{-1} \circ f est l’identité de II, dont la dérivée en tout point vaut 11, comme on l’a vu dans la leçon sur la dérivée comme limite. La contradiction montre que f−1f^{-1} n’est pas dérivable en bb.

On peut dire davantage. Si y≠by \neq b, le troisième temps de la démonstration du théorème utilise seulement que φ\varphi ne s’annule pas en dehors de aa, et il reste valable même si f′(a)=0f'(a) = 0 : le taux d’accroissement de la réciproque est 1φ(f−1(y))\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}, et le dénominateur tend vers φ(a)=0\varphi(a) = 0, par la continuité de la composée. Si ff est croissante, le dénominateur est strictement positif, et le quotient tend vers ∞\infty ; si elle est décroissante, il tend vers −∞-\infty. La courbe de la réciproque a en (b,a)(b, a) une tangente verticale, reflet de la tangente horizontale de ff en (a,b)(a, b), comme la racine cubique à l’origine.