Théorème des valeurs intermédiaires

Résumé

Cette leçon démontre le premier grand théorème sur les fonctions continues sur un intervalle : une fonction continue ne peut pas passer d’une valeur à une autre sans prendre toutes les valeurs intermédiaires. On démontre d’abord le théorème de Bolzano, qui garantit un zéro lorsque la fonction change de signe, avec l’axiome de la borne supérieure ; on en déduit le théorème des valeurs intermédiaires, le fait que l’image d’un intervalle est un intervalle et le fait que la réciproque d’une fonction continue et strictement monotone est continue, résultat dont la dérivée de la réciproque a besoin. Le théorème ne dit pas où se trouve le zéro, mais la méthode de dichotomie le localise avec la précision que l’on veut. La leçon l’applique à l’existence de racines d’équations, aux polynômes de degré impair et aux points fixes.

Objectifs d’apprentissage

Démontrer le théorème de Bolzano avec l’axiome de la borne supérieure et en déduire le théorème des valeurs intermédiaires.
Démontrer que l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle, et en déduire la continuité de la réciproque d’une fonction continue et strictement monotone.
Utiliser le théorème pour prouver l’existence de solutions d’équations, et les localiser par la méthode de dichotomie.

Le théorème de Bolzano

Le graphe d’une fonction continue sur un intervalle se trace, dans l’image intuitive, sans lever le crayon ; s’il commence sous l’axe et finit au-dessus, il doit le traverser. Cette intuition demande une démonstration, car elle dépend des nombres réels : la fonction $x^2 - 2$ est strictement négative en $0$ et strictement positive en $2$ , mais si l’on ne considérait que les nombres rationnels, elle ne s’annulerait jamais, car $\sqrt{2}$ n’est pas rationnel. La démonstration utilise donc l’axiome de la borne supérieure, par l’intermédiaire de la borne supérieure.

ThéorèmeThéorème de Bolzano

Soit $f$ continue sur $\icc{a}{b}$ , avec $f(a) < 0 < f(b)$ . Alors il existe $c$ dans $\ioo{a}{b}$ tel que $f(c) = 0$ . Il en va de même si $f(a) > 0 > f(b)$ . On prend la borne supérieure des points où la fonction est strictement négative ; la conservation du signe de la leçon sur la limite et la continuité empêche que la fonction soit strictement négative ou strictement positive en ce point. La figure montre l’ensemble de ces points et sa borne supérieure, puis les deux cas impossibles.

Démonstration

$S = \left\{ x \in \icc{a}{b} : f(x) < 0 \right\}, \qquad c = \resaltar{\sup S}$
Soit $S$ l’ensemble des $x$ de $\icc{a}{b}$ en lesquels $f(x) < 0$ . Il n’est pas vide, car il contient $a$ , et $b$ en est un majorant ; d’après l’axiome de la borne supérieure, il a une borne supérieure $c$ , avec $a \leq c \leq b$ .
$f(c) < 0 \rightarrow c + \frac{\delta}{2} \in S, \qquad c + \frac{\delta}{2} > c$
Si $f(c) < 0$ , alors $c \neq b$ , car $f(b) > 0$ . D’après la conservation du signe, $f$ est strictement négative sur $\ico{c}{c + \delta}$ pour un certain $\delta > 0$ , que l’on peut prendre avec $c + \delta \leq b$ ; alors $S$ contient des points strictement supérieurs à $c$ , et $c$ ne serait pas un majorant.
$f(c) > 0 \rightarrow \sup S \leq c - \delta < c, \qquad \resaltar{f(c) = 0}$
Si $f(c) > 0$ , alors $c \neq a$ . D’après la conservation du signe, $f$ est strictement positive sur $\ioc{c - \delta}{c}$ pour un certain $\delta > 0$ , que l’on peut prendre avec $c - \delta \geq a$ , de sorte qu’aucun point de cet intervalle n’est dans $S$ ; comme il n’y en a pas non plus de strictement supérieurs à $c$ , le nombre $c - \delta$ serait un majorant strictement inférieur à la borne supérieure. Par conséquent, $f(c) = 0$ , et $c$ n’est ni $a$ ni $b$ . Le second cas se ramène au premier avec $-f$ .