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Topos Uranos
Français

Règle de dérivation en chaîne pour la composition de fonctions

Résumé

Cette leçon démontre la règle de dérivation en chaîne : si gg est dérivable en aa et ff l’est en g(a)g(a), la composée f∘gf \circ g est dérivable en aa, et sa dérivée est le produit f′(g(a)) g′(a)f'(g(a)) \, g'(a). La démonstration utilise la caractérisation de Carathéodory, qui ne divise par rien ; la leçon explique pourquoi l’argument qui divise par g(x)−g(a)g(x) - g(a) ne suffit pas et dans quel cas il fonctionne. Avec la règle, on dérive en quelques lignes les composées de puissances, de racines, de fonctions rationnelles et trigonométriques, qui avec les règles déjà vues exigeaient de longs développements ou n’étaient pas à portée. La leçon prend soin aussi de l’ensemble de définition de la composée, que la formule de la dérivée ne montre pas, et présente la règle en notation de Leibniz, où elle ressemble à une simplification de fractions sans en être une.

Objectifs d’apprentissage

  1. Démontrer la règle de dérivation en chaîne avec la caractérisation de Carathéodory, et expliquer pourquoi la démonstration qui divise par g(x)−g(a)g(x) - g(a) échoue lorsque g′(a)=0g'(a) = 0.
  2. Dériver des composées de deux fonctions connues ou plus, en évaluant chaque dérivée au point qui lui correspond.
  3. Déterminer l’ensemble de définition d’une composée avant de la dériver, et reconnaître que les hypothèses de la règle sont suffisantes, mais non nécessaires.
  4. Écrire et lire la règle de dérivation en chaîne en notation de Leibniz.

La dérivée d’une composée

Avec les règles de la leçon sur les règles de dérivation et les formules de la leçon sur les dérivées des fonctions élémentaires, on peut dériver (2x2+1)12\left(2x^2 + 1\right)^{12}, mais seulement en développant la puissance en un polynôme de degré 2424, ou en appliquant encore et encore la règle du produit. Et on ne peut pas encore dériver sin⁡(cos⁡x)\sin(\cos x) ni 1+x2\sqrt{1 + x^2} : aucune règle ne dit que faire d’une fonction appliquée à une autre. Les deux expressions sont des composées : (2x2+1)12\left(2x^2 + 1\right)^{12} est la puissance t12t^{12} évaluée en t=2x2+1t = 2x^2 + 1, et sin⁡(cos⁡x)\sin(\cos x) est le sinus évalué en t=cos⁡xt = \cos x.

Deux cas particuliers sont déjà connus. Le problème résolu 2 de la leçon sur les fonctions élémentaires a démontré que f(cx+b)f(cx + b) a en aa la dérivée cf′(ca+b)c f'(ca + b) : la fonction intérieure est affine, de pente cc, et la dérivée de la fonction extérieure est évaluée au point ca+bca + b, non en aa. Et le problème proposé 4 de la leçon sur les règles de dérivation a obtenu, par récurrence, que (f(x))n\left(f(x)\right)^n a en aa la dérivée n(f(a))n−1f′(a)n \left(f(a)\right)^{n - 1} f'(a). Dans les deux cas, la dérivée est un produit : la dérivée de la fonction extérieure, évaluée en la valeur de l’intérieure, multipliée par la dérivée de l’intérieure. L’idée est celle des taux de variation : si t=g(x)t = g(x) varie g′(a)g'(a) fois plus vite que xx, et f(t)f(t) varie f′(g(a))f'(g(a)) fois plus vite que tt, alors f(g(x))f(g(x)) varie f′(g(a)) g′(a)f'(g(a)) \, g'(a) fois plus vite que xx.

ThéorèmeRègle de dérivation en chaîne

Soient gg une fonction définie sur AA, dérivable en un point aa de AA qui est point d’accumulation de AA, et ff une fonction définie sur un ensemble BB qui contient les valeurs de gg, dérivable en b=g(a)b = g(a). Alors f∘gf \circ g est dérivable en aa, et

(f∘g)′(a)=f′(g(a)) g′(a)(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)

On factorise les deux accroissements avec la caractérisation de Carathéodory et on les combine : l’accroissement de ff est évalué en t=g(x)t = g(x), et celui de gg remplace t−bt - b. La figure montre, avec g(x)=x2g(x) = x^2, f(t)=sin⁡tf(t) = \sin t et a=1a = 1, la sécante et la tangente de gg, celles de ff en b=1b = 1 et, à la fin, celles de sin⁡(x2)\sin\left(x^2\right), dont la pente en 11 est le produit cos⁡1⋅2\cos 1 \cdot 2.

Démonstration

  1. g(x)−g(a)=ψ(x)(x−a),x∈A,f(t)−f(b)=φ(t)(t−b),t∈Bg(x) - g(a) = \dato{psi}{\psi(x)(x - a)}, \quad x \in A, \qquad f(t) - f(b) = \dato{fi}{\varphi(t)(t - b)}, \quad t \in B

    D’après le théorème des caractérisations de la dérivée, de la leçon sur la dérivée comme limite, il existe ψ ⁣:A→R\psi \colon A \to \mathbb{R}, continue en aa avec ψ(a)=g′(a)\psi(a) = g'(a), et φ ⁣:B→R\varphi \colon B \to \mathbb{R}, continue en bb avec φ(b)=f′(b)\varphi(b) = f'(b), telles que :

  2. f(g(x))−f(g(a))=φ(g(x))(g(x)−g(a))=φ(g(x)) ψ(x)(x−a)f(g(x)) - f(g(a)) = \varphi(g(x)) \left(g(x) - g(a)\right) = \resaltar{\varphi(g(x)) \, \psi(x)}(x - a)

    Soit xx un élément de AA. Le nombre t=g(x)t = g(x) appartient à BB, et la seconde égalité vaut pour lui, qu’il soit égal ou non à bb ; ensuite, on remplace t−b=g(x)−g(a)t - b = g(x) - g(a) par la première factorisation.

  3. γ(a)=φ(g(a)) ψ(a)=φ(b) ψ(a)=f′(g(a)) g′(a)\gamma(a) = \varphi(g(a)) \, \psi(a) = \varphi(b) \, \psi(a) = \resaltar{f'(g(a)) \, g'(a)}

    Comme gg est dérivable en aa, elle est continue en aa, d’après le théorème selon lequel dérivable implique continue ; et φ\varphi est continue en b=g(a)b = g(a). D’après le théorème de la composée de fonctions continues, de la leçon sur la limite et la continuité, φ∘g\varphi \circ g est continue en aa, et le facteur γ=(φ∘g) ψ\gamma = (\varphi \circ g) \, \psi l’est aussi, d’après la règle du produit des opérations sur les fonctions continues. Comme aa est point d’accumulation de AA, qui est l’ensemble de définition de f∘gf \circ g, la caractérisation de Carathéodory donne la dérivée.

Si gg est dérivable en tout point de AA et ff en tout point de BB, la règle vaut en chaque point d’accumulation de AA, et elle s’écrit comme une égalité entre fonctions : (f∘g)′=(f′∘g) g′(f \circ g)' = (f' \circ g) \, g'. La dérivée de la fonction extérieure est évaluée en g(x)g(x), non en xx ; c’est l’erreur la plus fréquente quand on applique la règle. L’avantage de la démonstration tient à son deuxième temps : la factorisation de ff vaut aussi en t=bt = b, où ses deux membres sont nuls, de sorte qu’il importe peu que gg reprenne sa valeur g(a)g(a) près de aa.