फलनों के संघटन के अवकलज के लिए शृंखला नियम

सारांश

यह पाठ शृंखला नियम सिद्ध करता है: यदि $g$ , $a$ पर अवकलनीय है और $f$ , $g(a)$ पर, तो संघटन $f \circ g$ , $a$ पर अवकलनीय है, और उसका अवकलज गुणनफल $f'(g(a)) \, g'(a)$ है। प्रमाण काराथेओडोरी अभिलक्षण का उपयोग करता है, जो किसी से भाग नहीं देता; पाठ समझाता है कि $g(x) - g(a)$ से भाग देने वाली युक्ति क्यों पर्याप्त नहीं है और किस स्थिति में वह काम करती है। इस नियम से घातों, मूलों, परिमेय फलनों और त्रिकोणमितीय फलनों के संघटनों का अवकलज कुछ ही पंक्तियों में निकल आता है, जिनके लिए पहले के नियमों से लंबी गणनाएँ चाहिए थीं या जो पहुँच से बाहर थे। पाठ संघटन के प्रांत पर भी ध्यान देता है, जिसे अवकलज का सूत्र नहीं दिखाता, और नियम को लाइबनिज़ संकेतन में प्रस्तुत करता है, जहाँ वह भिन्नों के सरलीकरण जैसा दिखता है, यद्यपि वह ऐसा है नहीं।

अधिगम उद्देश्य

काराथेओडोरी अभिलक्षण से शृंखला नियम सिद्ध करना, और यह समझाना कि $g(x) - g(a)$ से भाग देने वाला प्रमाण तब क्यों विफल होता है जब $g'(a) = 0$ ।
दो या अधिक ज्ञात फलनों के संघटनों का अवकलन करना, प्रत्येक अवकलज का मान उस बिंदु पर ज्ञात करते हुए जो उसके संगत है।
किसी संघटन का अवकलन करने से पहले उसका प्रांत निर्धारित करना, और यह पहचानना कि नियम की परिकल्पनाएँ पर्याप्त हैं, किंतु आवश्यक नहीं।
शृंखला नियम को लाइबनिज़ संकेतन में लिखना और पढ़ना।

संघटन का अवकलज

अवकलन के नियम वाले पाठ के नियमों और प्रारंभिक फलनों के अवकलज वाले पाठ के सूत्रों से $\left(2x^2 + 1\right)^{12}$ का अवकलज निकाला जा सकता है, पर केवल इस घात को ऐसे बहुपद में फैलाकर जिसकी घात $24$ है, या गुणनफल नियम को बार-बार लागू करके। और $\sin(\cos x)$ या $\sqrt{1 + x^2}$ का अवकलज अभी नहीं निकाला जा सकता: कोई नियम नहीं बताता कि किसी दूसरे फलन पर लागू किए गए फलन के साथ क्या करना है। दोनों व्यंजक संघटन हैं: $\left(2x^2 + 1\right)^{12}$ घात $t^{12}$ है, जिसका मान $t = 2x^2 + 1$ पर लिया गया है, और $\sin(\cos x)$ ज्या है, जिसका मान $t = \cos x$ पर लिया गया है।

दो विशेष स्थितियाँ पहले से ज्ञात हैं। प्रारंभिक फलनों वाले पाठ के हल किए गए प्रश्न 2 ने सिद्ध किया कि $f(cx + b)$ का $a$ पर अवकलज $c f'(ca + b)$ है: आंतरिक फलन रैखिक है, जिसकी प्रवणता $c$ है, और बाह्य फलन के अवकलज का मान बिंदु $ca + b$ पर ज्ञात किया जाता है, $a$ पर नहीं। और अवकलन के नियम वाले पाठ के अभ्यास प्रश्न 4 ने आगमन से प्राप्त किया कि $\left(f(x)\right)^n$ का $a$ पर अवकलज $n \left(f(a)\right)^{n - 1} f'(a)$ है। दोनों स्थितियों में अवकलज एक गुणनफल है: बाह्य फलन का अवकलज, आंतरिक फलन के मान पर लिया गया, गुणा आंतरिक फलन का अवकलज। विचार परिवर्तन की दरों का है: यदि $t = g(x)$ , $g'(a)$ गुना तेज़ी से बदलता है ( $x$ की तुलना में), और $f(t)$ , $f'(g(a))$ गुना तेज़ी से बदलता है ( $t$ की तुलना में), तो $f(g(x))$ , $f'(g(a)) \, g'(a)$ गुना तेज़ी से बदलता है ( $x$ की तुलना में)।

प्रमेयशृंखला नियम

मान लें $g$ , $A$ पर परिभाषित एक फलन है, जो एक बिंदु $a$ पर अवकलनीय है, जो $A$ का है और $A$ का संचय बिंदु है, और $f$ एक फलन है जो एक समुच्चय $B$ पर परिभाषित है (यह समुच्चय $g$ के सभी मानों को समाविष्ट करता है) और $b = g(a)$ पर अवकलनीय है। तब $f \circ g$ , $a$ पर अवकलनीय है, और

(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)

दोनों वृद्धियों का काराथेओडोरी अभिलक्षण से गुणनखंडन किया जाता है और फिर उन्हें क्रमशः जोड़ा जाता है: $f$ की वृद्धि का मान $t = g(x)$ पर लिया जाता है, और $g$ की वृद्धि $t - b$ का स्थान लेती है। चित्र, $g(x) = x^2$ , $f(t) = \sin t$ और $a = 1$ के साथ, $g$ की छेदक रेखा और स्पर्श रेखा, $f$ की $b = 1$ पर छेदक रेखा और स्पर्श रेखा, और अंत में $\sin\left(x^2\right)$ की छेदक रेखा और स्पर्श रेखा दिखाता है, जिसकी प्रवणता $1$ पर गुणनफल $\cos 1 \cdot 2$ है।

प्रमाण

$g(x) - g(a) = \dato{psi}{\psi(x)(x - a)}, \quad x \in A, \qquad f(t) - f(b) = \dato{fi}{\varphi(t)(t - b)}, \quad t \in B$
सीमा के रूप में अवकलज वाले पाठ की अवकलज के अभिलक्षणों वाली प्रमेय से, ऐसे $\psi \colon A \to \mathbb{R}$ , जो $a$ पर संतत है और जिसके लिए $\psi(a) = g'(a)$ , तथा ऐसे $\varphi \colon B \to \mathbb{R}$ , जो $b$ पर संतत है और जिसके लिए $\varphi(b) = f'(b)$ , विद्यमान हैं कि:
$f(g(x)) - f(g(a)) = \varphi(g(x)) \left(g(x) - g(a)\right) = \resaltar{\varphi(g(x)) \, \psi(x)}(x - a)$
मान लें $x$ , $A$ का है। संख्या $t = g(x)$ , $B$ की है, और दूसरी समानता उसके लिए लागू होती है, चाहे वह $b$ के बराबर हो या नहीं; फिर $t - b = g(x) - g(a)$ के स्थान पर पहला गुणनखंडन रखा जाता है।
$\gamma(a) = \varphi(g(a)) \, \psi(a) = \varphi(b) \, \psi(a) = \resaltar{f'(g(a)) \, g'(a)}$
चूँकि $g$ , $a$ पर अवकलनीय है, वह $a$ पर संतत है, इस प्रमेय से कि अवकलनीयता से सांतत्य आता है; और $\varphi$ , $b = g(a)$ पर संतत है। सीमा और सांतत्य वाले पाठ की संतत फलनों के संघटन वाली प्रमेय से, $\varphi \circ g$ , $a$ पर संतत है, और गुणक $\gamma = (\varphi \circ g) \, \psi$ भी संतत है, संतत फलनों पर संक्रियाओं के गुणनफल नियम से। चूँकि $a$ , $A$ का संचय बिंदु है, जो $f \circ g$ का प्रांत है, काराथेओडोरी अभिलक्षण अवकलज देता है।

यदि $g$ पूरे $A$ पर अवकलनीय है और $f$ पूरे $B$ पर, तो नियम $A$ के प्रत्येक संचय बिंदु पर लागू होता है, और फलनों के बीच एक समानता के रूप में लिखा जाता है: $(f \circ g)' = (f' \circ g) \, g'$ । बाह्य फलन के अवकलज का मान $g(x)$ पर ज्ञात किया जाता है, $x$ पर नहीं; नियम लागू करते समय यही सबसे आम भूल है। प्रमाण का लाभ उसके दूसरे हिस्से में है: $f$ का गुणनखंडन $t = b$ पर भी लागू होता है, जहाँ उसके दोनों पक्ष शून्य हैं, इसलिए इससे फ़र्क नहीं पड़ता कि $g$ अपना मान $g(a)$ , $a$ के निकट दोहराता है या नहीं।

इस पाठ के शेष भाग में

संघटन का प्रांत
केवल भाग देना क्यों पर्याप्त नहीं है
ज्ञात फलनों के संघटन
लाइबनिज़ संकेतन में शृंखला नियम
हल किए गए प्रश्न
एक त्रिक संघटन की क्षैतिज स्पर्श रेखाएँ
मानों की सारणी से अवकलन
पर्याप्त, किंतु आवश्यक नहीं, परिकल्पनाएँ
अपरिबद्ध अवकलज वाला एक परिबद्ध फलन
स्वयं से संघटित एक फलन
अभ्यास प्रश्न
एक सम फलन का अवकलज
एक सर्वसमिका का अवकलन
शून्यकों के बाहर निरपेक्ष मान
शृंखला नियम से एक जोड़
एक बाह्य फलन जो अवकलनीय नहीं है

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