अवकलन के नियम

सारांश

यह पाठ काराथेओडोरी अभिलक्षण से वे नियम निकालता है जिनसे हर बार अंतर-भागफल पर लौटे बिना अवकलन किया जा सकता है: रैखिक संयोजन, गुणनफल, व्युत्क्रम और भागफल का अवकलज। प्रत्येक नियम एक ही ढंग से प्राप्त होता है: नए फलन की वृद्धि को $x - a$ के साथ एक गुणनफल के रूप में लिखा जाता है, जिसका गुणक $a$ पर संतत है, और उस गुणक का $a$ पर मान ही अवकलज है। इन नियमों से पूर्णांक घातांक वाली घातों, बहुपदों और परिमेय फलनों का अवकलन किया जाता है। पाठ टुकड़ों में परिभाषित फलनों के साथ समाप्त होता है: प्रत्येक टुकड़े के भीतर उस टुकड़े का सूत्र निर्णायक है, और संधि बिंदुओं पर एकपक्षीय अवकलज निर्णय करते हैं, जो सदा सूत्रों के अवकलज नहीं होते।

अधिगम उद्देश्य

काराथेओडोरी अभिलक्षण से रैखिक संयोजन, गुणनफल, व्युत्क्रम और भागफल के नियम सिद्ध करना।
पूर्णांक घातांक वाली घातों, बहुपदों और परिमेय फलनों का अवकलन करना, और प्रत्येक अवकलज का प्रांत निर्धारित करना।
एकपक्षीय अवकलजों की सहायता से यह निर्णय करना कि टुकड़ों में परिभाषित कोई फलन संधि बिंदु पर अवकलनीय है या नहीं।
नियमों में पर्याप्त परिकल्पनाओं को आवश्यक परिकल्पनाओं से अलग पहचानना, और यह पहचानना कि कब टुकड़ों के सूत्रों के अवकलज फलन का अवकलज नहीं देते।

अवकलज केवल इस पर निर्भर है कि बिंदु के निकट क्या होता है

सीमा के रूप में अवकलज वाले पाठ ने प्रत्येक अवकलज उसके अंतर-भागफल से निकाला। $\frac{x^3 - 2x}{x^2 + 1}$ जैसे फलन के लिए यह गणना लंबी है; इसके बजाय यह जानना उपयोगी है कि संक्रियाओं के साथ अवकलज कैसा व्यवहार करता है। इस पाठ के सभी नियम उसी पाठ के काराथेओडोरी अभिलक्षण पर आधारित हैं: $f$ , $a$ पर अवकलनीय है, $f'(a) = L$ के साथ, यदि और केवल यदि एक फलन $\varphi$ विद्यमान हो, जो $a$ पर संतत हो, $\varphi(a) = L$ के साथ, ऐसा कि $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ प्रांत के प्रत्येक $x$ के लिए। अतः, यह सिद्ध करने के लिए कि कोई फलन $a$ पर अवकलनीय है, उसकी वृद्धि को $x - a$ के साथ एक गुणनफल के रूप में लिखना पर्याप्त है, जिसका गुणक $a$ पर संतत हो; उस गुणक का $a$ पर मान ही अवकलज है। सीमा और सांतत्य वाले पाठ का संतत फलनों पर संक्रियाओं वाला प्रमेय गुणक के सांतत्य का ध्यान रखता है।

पहले प्रांतों का एक प्रश्न सुलझा लेना उचित है। दो फलनों के प्रांत अलग हो सकते हैं, और भागफल $\frac{f}{g}$ केवल वहीं परिभाषित है जहाँ $g$ शून्य नहीं होता। आगे की प्रमेयिका कहती है कि प्रांत को छोटा करने पर अवकलज नहीं बदलता, बशर्ते बिंदु संचय बिंदु बना रहे, और कि वह केवल बिंदु के निकट के मानों पर निर्भर है।

उपप्रमेयअवकलज की स्थानीय प्रकृति

मान लें $f$ , $A$ पर परिभाषित एक फलन है, $a$ , $A$ का एक अवयव है, $B$ , $A$ का एक उपसमुच्चय है जिसमें $a$ है, और $F$ , $f$ का $B$ तक प्रतिबंध है।

यदि $a$ , $B$ का संचय बिंदु है और $f$ , $a$ पर अवकलनीय है, तो $F$ , $a$ पर अवकलनीय है, और $F'(a) = f'(a)$ ।
यदि $a$ , $A$ का संचय बिंदु है और कोई $\delta > 0$ विद्यमान है ऐसा कि प्रत्येक $x$ , जो $A$ में है और जिसके लिए $\abs{x - a} < \delta$ , $B$ में है, तो $f$ , $a$ पर अवकलनीय है यदि और केवल यदि $F$ है, और उस स्थिति में $F'(a) = f'(a)$ ।

पहला कथन सीमाओं के बीजगणित की प्रतिबंध की सीमा वाली प्रमेयिका है; दूसरा कथन यह है कि सीमा की परिभाषा केवल निकट के बिंदुओं को देखती है।

प्रमाण

$x \in B \setminus \{a\} \rightarrow \frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \resaltar{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}$
$F$ का अंतर-भागफल, $B \setminus \{a\}$ तक लिया गया, $f$ के अंतर-भागफल का प्रतिबंध है। यदि $a$ , $B$ का संचय बिंदु है, तो सीमाओं के बीजगणित वाले पाठ की प्रतिबंध की सीमा वाली प्रमेयिका वही सीमा देती है।
$x \in A \wedge 0 < \abs{x - a} < \min\{\delta, \delta'\} \rightarrow \resaltar{\abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon}$
दूसरी स्थिति में, $A$ का प्रत्येक बिंदु जो $a$ से अलग है और जिसकी दूरी $\delta$ से कम है, $B$ में है: चूँकि $a$ , $A$ का संचय बिंदु है, वह $B$ का भी है, और पहला कथन एक दिशा का निहितार्थ देता है। दूसरी दिशा के लिए, यदि $F'(a) = L$ , तो मान लें $\varepsilon > 0$ और $\delta'$ , $F$ के भागफल के लिए एक प्रत्युत्तर है; $\delta$ और $\delta'$ में से छोटा, $f$ के भागफल के लिए एक प्रत्युत्तर है, क्योंकि दोनों भागफल उन $x$ पर संपाती हैं जिन्हें वह ढकता है।

दूसरे कथन से यह निकलता है कि $A$ पर परिभाषित दो फलन, जो $A$ के उन बिंदुओं पर संपाती हैं जो $a$ के निकट हैं, या तो दोनों $a$ पर अवकलनीय हैं, एक ही अवकलज के साथ, या कोई भी नहीं: दोनों का उन बिंदुओं तक प्रतिबंध एक ही है। और पहले कथन से यह कि यदि $f$ और $g$ के प्रांत अलग हैं, दोनों में बिंदु $a$ है, तो प्रांतों के सर्वनिष्ठ में काम किया जा सकता है, बशर्ते $a$ उसका संचय बिंदु हो। इसलिए आगे $f$ और $g$ को एक ही समुच्चय $A$ पर परिभाषित माना जाता है।

इस पाठ के शेष भाग में

रैखिक संयोजन और गुणनफल
व्युत्क्रम और भागफल
घातें, बहुपद और परिमेय फलन
टुकड़ों में परिभाषित फलन
हल किए गए प्रश्न
एक परिमेय फलन की क्षैतिज स्पर्श रेखाएँ
एक ही अवकलज वाले दो टुकड़े
एक अवकलनीय गुणनफल जिसका एक गुणक अवकलनीय नहीं है
एक अवकलनीय जोड़
बहुपद के द्विक मूल
अभ्यास प्रश्न
एक परिमेय फलन जो बहुपद जैसा दिखता है
दो परवलयों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ
बहुपद और उनके अवकलज
एक फलन की घात
काराथेओडोरी से घातें

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