قواعد الاشتقاق

المشتقة لا تتعلق إلا بما يحدث قرب النقطة

حسب الدرس الخاص بـالمشتقة بوصفها نهاية كل مشتقة بنسبة تزايدها. ولدالة مثل $\frac{x^3 - 2x}{x^2 + 1}$ يطول هذا الحساب؛ والأجدى أن نعرف كيف تسلك المشتقة مع العمليات. وتستند كل قواعد هذا الدرس إلى توصيف كاراثيودوري، من الدرس نفسه: تكون $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$، مع $f'(a) = L$، إذا وفقط إذا وُجدت دالة $\varphi$، متصلة عند $a$، مع $\varphi(a) = L$، بحيث $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ من أجل كل $x$ من مجال التعريف. ولذلك، لبرهان أن دالة قابلة للاشتقاق عند $a$ يكفي أن يُكتب تزايدها جداءً في $x - a$ بعامل متصل عند $a$؛ وقيمة هذا العامل عند $a$ هي المشتقة. وتتكفل مبرهنة العمليات على الدوال المتصلة، من الدرس الخاص بـالنهاية والاتصال، باتصال العامل.

ويحسن أولًا حسم مسألة تتعلق بمجالات التعريف. فقد يكون لدالتين مجالا تعريف مختلفان، وخارج القسمة $\frac{f}{g}$ لا يُعرَّف إلا حيث لا تنعدم $g$. وتقول التوطئة الآتية إن المشتقة لا تتغير عند تقليص مجال التعريف، ما دامت النقطة تبقى نقطة تراكم، وإنها لا تتعلق إلا بالقيم القريبة من النقطة.

ويُستنتج من العبارة الثانية أن دالتين معرّفتين على $A$ تتطابقان عند نقاط $A$ القريبة من $a$ تكونان كلتاهما قابلتين للاشتقاق عند $a$، بالمشتقة نفسها، أو لا تكون أي منهما كذلك: فلهما المقصور نفسه على تلك النقاط. ومن العبارة الأولى أنه إذا كان لـ$f$ و$g$ مجالا تعريف مختلفان، يحوي كلاهما النقطة $a$، أمكن العمل في تقاطع مجالي التعريف، شرط أن تكون $a$ نقطة تراكم له. ولذلك نفترض في ما يأتي أن $f$ و$g$ معرّفتان على مجموعة واحدة $A$.