Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Regvlae derivandi

Svmmarivm

Haec lectio ex characterismo Carathéodorii regvlas dedvcit qvibvs derivare licet sine qvotiente incrementali qvaqve vice repetito: derivatam combinationis linearis, prodvcti, inversi et qvotientis. Qvaeqve regvla eodem modo obtinetvr: incrementvm novae fvnctionis scribitvr vt prodvctvm cvm x−ax - a, factore in aa continvo, et valor hvivs factoris in aa est derivata. Regvlis derivantvr potentiae exponentis integri, polynomia et fvnctiones rationales. Lectio in fvnctionibvs per frvsta definitis desinit: intra qvodqve frvstvm valet formvla eivs frvsti, et in pvnctis ivnctionis derivatae laterales decernvnt, qvae non semper svnt derivatae formvlarvm.

Proposita discendi

  1. Characterismo Carathéodorii regvlas combinationis linearis, prodvcti, inversi et qvotientis demonstrare.
  2. Potentias exponentis integri, polynomia et fvnctiones rationales derivare, et dominivm cvivsqve derivatae definire.
  3. Derivatis lateralibvs decernere vtrvm fvnctio per frvsta definita in pvncto ivnctionis derivabilis sit.
  4. In regvlis hypotheses svfficientes a necessariis distingvere, et agnoscere qvando derivatae formvlarvm frvstorvm derivatam fvnctionis non praebeant.

Derivata pendet tantvm ex eo qvod prope pvnctvm accidit

Lectio de derivata vt limite qvamqve derivatam qvotiente incrementali svo compvtavit. Pro fvnctione velvt x3−2xx2+1\frac{x^3 - 2x}{x^2 + 1} hic calcvlvs longvs est; praestat potivs scire qvomodo derivata se in operationibvs gerat. Omnes regvlae hvivs lectionis characterismo Carathéodorii eivsdem lectionis nitvntvr: ff in aa derivabilis est, cvm f′(a)=Lf'(a) = L, si et solvm si exsistit fvnctio φ\varphi, in aa continva, cvm φ(a)=L\varphi(a) = L, ita vt f(x)−f(a)=φ(x)(x−a)f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a) pro omni xx dominii. Ergo, vt demonstretvr fvnctionem in aa derivabilem esse, satis est incrementvm eivs scribere vt prodvctvm cvm x−ax - a, factore in aa continvo; valor hvivs factoris in aa est derivata. Theorema de operationibvs cvm fvnctionibvs continvis, ex lectione de limite et continvitate, continvitatem factoris praestat.

Antea qvaestio de dominiis solvenda est. Dvae fvnctiones dominia diversa habere possvnt, et qvotiens fg\frac{f}{g} definitvr tantvm vbi gg non evanescit. Lemma infra dicit derivatam non mvtari dominio contracto, dvmmodo pvnctvm accvmvlationis maneat, et pendere tantvm ex valoribvs prope pvnctvm.

LemmaIndoles localis derivatae

Sint ff fvnctio in AA definita, aa elementvm copiae AA, BB svbcopia copiae AA qvae aa continet, et FF restrictio fvnctionis ff ad BB.

  • Si aa est pvnctvm accvmvlationis copiae BB et ff in aa derivabilis est, tvm FF in aa derivabilis est, et F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a).
  • Si aa est pvnctvm accvmvlationis copiae AA et exsistit δ>0\delta > 0 ita vt omne xx copiae AA cvm ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta ad BB pertineat, tvm ff in aa derivabilis est si et solvm si FF est, et eo casv F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a).

Prima assertio est lemma de restrictione ex algebra limitvm; secvnda id exprimit qvod definitio limitis pvncta tantvm vicina spectat.

Demonstratio

  1. x∈B∖{a}→F(x)−F(a)x−a=f(x)−f(a)x−ax \in B \setminus \{a\} \rightarrow \frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \resaltar{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}

    Qvotiens incrementalis fvnctionis FF est restrictio ad B∖{a}B \setminus \{a\} qvotientis fvnctionis ff. Si aa est pvnctvm accvmvlationis copiae BB, lemma de limite restrictionis, ex lectione de algebra limitvm, evndem limitem dat.

  2. x∈A∧0<∣x−a∣<min⁡{δ,δ′}→∣f(x)−f(a)x−a−L∣<εx \in A \wedge 0 < \abs{x - a} < \min\{\delta, \delta'\} \rightarrow \resaltar{\abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon}

    In secvndo casv, omne pvnctvm copiae AA a aa diversvm et distantia minore qvam δ\delta in BB est: cvm aa sit pvnctvm accvmvlationis copiae AA, est etiam copiae BB, et prima assertio vnam implicationem dat. Ad alteram, si F′(a)=LF'(a) = L, sint ε>0\varepsilon > 0 et δ′\delta' responsio pro qvotiente fvnctionis FF; minor ex δ\delta et δ′\delta' est responsio pro qvotiente fvnctionis ff, qvia dvo qvotientes in iis xx congrvvnt qvae ille complectitvr.

Ex secvnda assertione colligitvr dvas fvnctiones in AA definitas, qvae in pvnctis copiae AA prope aa congrvvnt, avt ambas in aa derivabiles esse, eadem derivata, avt nevtram: ambae eandem restrictionem ad ea pvncta habent. Et ex prima, si ff et gg dominia diversa habent, ambo cvm pvncto aa, in intersectione dominiorvm laborari posse, dvmmodo aa sit eivs pvnctvm accvmvlationis. Qvapropter in reliqvis ff et gg in vna eademqve copia AA definitae ponvntvr.