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Topos Uranos
Français

Règles de dérivation

Résumé

Cette leçon déduit de la caractérisation de Carathéodory les règles qui permettent de dériver sans revenir chaque fois au taux d’accroissement : la dérivée d’une combinaison linéaire, d’un produit, d’un inverse et d’un quotient. Chaque règle s’obtient de la même manière : l’accroissement de la nouvelle fonction s’écrit comme un produit par x−ax - a, avec un facteur continu en aa, et la valeur de ce facteur en aa est la dérivée. Avec les règles, on dérive les puissances à exposant entier, les polynômes et les fonctions rationnelles. La leçon se termine par les fonctions définies par morceaux : à l’intérieur de chaque morceau, c’est la formule du morceau qui compte, et aux points de raccordement ce sont la dérivée à gauche et la dérivée à droite qui décident, lesquelles ne sont pas toujours les dérivées des formules.

Objectifs d’apprentissage

  1. Démontrer avec la caractérisation de Carathéodory les règles de la combinaison linéaire, du produit, de l’inverse et du quotient.
  2. Dériver les puissances à exposant entier, les polynômes et les fonctions rationnelles, et préciser l’ensemble de définition de chaque dérivée.
  3. Décider si une fonction définie par morceaux est dérivable en un point de raccordement, à l’aide de la dérivée à gauche et de la dérivée à droite.
  4. Distinguer les hypothèses suffisantes des hypothèses nécessaires dans les règles, et reconnaître quand les dérivées des formules des morceaux ne donnent pas la dérivée de la fonction.

La dérivée ne dépend que de ce qui se passe près du point

La leçon sur la dérivée comme limite a calculé chaque dérivée avec son taux d’accroissement. Pour une fonction comme x3−2xx2+1\frac{x^3 - 2x}{x^2 + 1}, ce calcul est long ; il vaut mieux, en revanche, savoir comment la dérivée se comporte vis-à-vis des opérations. Toutes les règles de cette leçon s’appuient sur la caractérisation de Carathéodory, de la même leçon : ff est dérivable en aa, avec f′(a)=Lf'(a) = L, si et seulement s’il existe une fonction φ\varphi, continue en aa, avec φ(a)=L\varphi(a) = L, telle que f(x)−f(a)=φ(x)(x−a)f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a) pour tout xx de l’ensemble de définition. Par conséquent, pour démontrer qu’une fonction est dérivable en aa, il suffit d’écrire son accroissement comme un produit par x−ax - a avec un facteur continu en aa ; la valeur de ce facteur en aa est la dérivée. Le théorème des opérations sur les fonctions continues, de la leçon sur la limite et la continuité, se charge de la continuité du facteur.

Il convient d’abord de régler une question d’ensembles de définition. Deux fonctions peuvent avoir des ensembles de définition différents, et le quotient fg\frac{f}{g} n’est défini que là où gg ne s’annule pas. Le lemme ci-dessous dit que la dérivée ne change pas quand on réduit l’ensemble de définition, pourvu que le point reste un point d’accumulation, et qu’elle ne dépend que des valeurs voisines du point.

LemmeCaractère local de la dérivée

Soient ff une fonction définie sur AA, aa un élément de AA, BB une partie de AA qui contient aa, et FF la restriction de ff à BB.

  • Si aa est un point d’accumulation de BB et si ff est dérivable en aa, alors FF est dérivable en aa, et F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a).
  • Si aa est un point d’accumulation de AA et s’il existe un δ>0\delta > 0 tel que tout xx de AA vérifiant ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta appartienne à BB, alors ff est dérivable en aa si et seulement si FF l’est, et dans ce cas F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a).

La première assertion est le lemme de la restriction des opérations sur les limites ; la seconde traduit le fait que la définition de la limite ne regarde que les points voisins.

Démonstration

  1. x∈B∖{a}→F(x)−F(a)x−a=f(x)−f(a)x−ax \in B \setminus \{a\} \rightarrow \frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \resaltar{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}

    Le taux d’accroissement de FF est la restriction à B∖{a}B \setminus \{a\} de celui de ff. Si aa est un point d’accumulation de BB, le lemme de la limite d’une restriction, de la leçon consacrée aux opérations sur les limites, donne la même limite.

  2. x∈A∧0<∣x−a∣<min⁡{δ,δ′}→∣f(x)−f(a)x−a−L∣<εx \in A \wedge 0 < \abs{x - a} < \min\{\delta, \delta'\} \rightarrow \resaltar{\abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon}

    Dans le second cas, tout point de AA distinct de aa et à une distance inférieure à δ\delta est dans BB : comme aa est un point d’accumulation de AA, il l’est aussi de BB, et la première assertion donne une implication. Pour l’autre, si F′(a)=LF'(a) = L, soient ε>0\varepsilon > 0 et δ′\delta' une réponse pour le taux de FF ; le plus petit de δ\delta et δ′\delta' est une réponse pour le taux de ff, car les deux taux coïncident aux xx qu’il couvre.

De la seconde assertion, il résulte que deux fonctions définies sur AA qui coïncident aux points de AA voisins de aa sont toutes deux dérivables en aa, avec la même dérivée, ou qu’aucune ne l’est : les deux ont la même restriction à ces points. Et de la première, que si ff et gg ont des ensembles de définition différents, contenant tous deux le point aa, on peut travailler sur leur intersection, pourvu que aa en soit un point d’accumulation. C’est pourquoi, dans toute la suite, ff et gg sont supposées définies sur un même ensemble AA.