La dérivée comme limite d’une fonction

Résumé

Cette leçon définit la dérivée d’une fonction en un point comme une limite : celle des pentes des sécantes, qui est la pente de la tangente, et celle des vitesses moyennes, qui est la vitesse instantanée. Elle précise en quels points la définition a un sens, introduit les dérivées à gauche et à droite, la tangente et la normale, la fonction dérivée et la notation de Leibniz, et démontre que la dérivée admet trois formulations équivalentes : la limite du taux d’accroissement, l’approximation par une droite avec une erreur négligeable et la factorisation de Carathéodory. De cette dernière il découle que toute fonction dérivable est continue ; la valeur absolue et la racine cubique montrent que l’implication dans l’autre sens est fausse.

Objectifs d’apprentissage

Définir la dérivée d’une fonction en un point comme la limite du taux d’accroissement, et l’interpréter comme la pente de la tangente et comme une vitesse instantanée.
Calculer des dérivées à gauche et à droite et décider grâce à elles si une fonction est dérivable en un point.
Démontrer l’équivalence entre le taux d’accroissement, l’approximation affine et la caractérisation de Carathéodory.
Démontrer que toute fonction dérivable en un point est continue en ce point, et reconnaître des fonctions continues qui ne sont pas dérivables.

La tangente et la vitesse

Dans la leçon sur les paraboles, une droite est tangente à la courbe en un point lorsqu’elle ne la touche qu’en ce point sans la traverser. Cette idée suffit pour les coniques, mais non pour une courbe quelconque. À l’origine, la courbe $y = x^3$ se trouve sous l’axe horizontal à gauche et au-dessus à droite : toute droite passant par l’origine la traverse, et les droites $y = mx$ avec $m < 0$ ne la touchent qu’en ce point, car $x^3 = mx$ exige $x = 0$ ou $x^2 = m$ . Aucune droite ne remplit la condition, et pourtant l’axe horizontal est, à vue d’œil, la droite qui accompagne le mieux la courbe près de l’origine. Il faut donc une autre définition, qui ne dépende pas de la forme globale de la courbe, mais seulement de ce qui se passe près du point.

L’idée est ancienne : la tangente est la position limite des sécantes. Considérons une fonction $f$ et un point $(a, f(a))$ de sa courbe. Pour $h \neq 0$ , la sécante qui passe par $(a, f(a))$ et par $(a + h, f(a + h))$ a pour pente

\frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Lorsque $h$ s’approche de $0$ , le second point s’approche du premier, et si les pentes ont une limite, la droite qui passe par $(a, f(a))$ avec cette pente est la candidate au titre de tangente.

ExempleLes sécantes d’une parabole

Soient $f(x) = x^2$ et $a = 1$ . Nous calculons les pentes de quelques sécantes passant par le point $(1, 1)$ , puis leur limite. La figure montre chaque sécante et, à la fin, la tangente.

Démonstration

$\frac{f(2) - f(1)}{1} = \frac{4 - 1}{1} = \resaltar{3}$
Avec $h = 1$ , la sécante passe par $(1, 1)$ et $(2, 4)$ .
$\frac{f\left(\frac{3}{2}\right) - f(1)}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{4} - 1}{\frac{1}{2}} = \resaltar{\frac{5}{2}}$
Avec $h = \frac{1}{2}$ , le second point est $\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ et la pente diminue.
$\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = \resaltar{2 + h}$
En général, pour tout $h \neq 0$ , positif ou négatif, la pente se simplifie ; avec $h = \frac{1}{4}$ elle vaut $\frac{9}{4}$ .
$\lim_{h \to 0} (2 + h) = 2, \qquad y = 1 + 2(x - 1) = \resaltar{2x - 1}$
Lorsque $h$ tend vers $0$ , la pente tend vers $2$ . La droite qui passe par $(1, 1)$ avec la pente $2$ est la tangente ; c’est celle que donnait le lemme de la tangente de la leçon sur les paraboles, avec $x^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} \, y$ .

La même limite apparaît dans l’étude d’un mouvement. Si $s(t)$ est la position, à l’instant $t$ , d’un point qui se déplace sur une droite, le quotient $\frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h}$ est sa vitesse moyenne entre les instants $t_0$ et $t_0 + h$ : le déplacement divisé par la durée écoulée. La vitesse à l’instant $t_0$ , celle qu’afficherait un compteur de vitesse, est la limite des vitesses moyennes lorsque $h$ tend vers $0$ . Par exemple, si $s(t) = t^2 - 4t$ , la vitesse moyenne entre $1$ et $1 + h$ est $\frac{(1 + h)^2 - 4(1 + h) + 3}{h} = h - 2$ , qui tend vers $-2$ : à l’instant $1$ , le point se déplace vers la gauche à raison de deux unités de longueur par unité de temps. Les deux questions, celle de la tangente et celle de la vitesse, conduisent à la même limite, et c’est cette limite que l’on définit maintenant.

La dérivée en un point

Comme dans la leçon sur la limite d’une fonction, il faut d’abord préciser où la limite a un sens. Le quotient a besoin de la valeur $f(a)$ , de sorte que $a$ doit appartenir à l’ensemble de définition ; et la limite lorsque $x$ tend vers $a$ exige que $a$ soit un point d’accumulation de l’ensemble de définition.

DéfinitionDérivée d’une fonction en un point

Soient $f$ une fonction réelle définie sur un ensemble $A$ de nombres réels, et $a$ un élément de $A$ qui est point d’accumulation de $A$ . Le taux d’accroissement de $f$ en $a$ est la fonction $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ , définie pour les $x$ de $A$ distincts de $a$ . On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux d’accroissement a une limite réelle $L$ lorsque $x$ tend vers $a$ ; ce nombre est la dérivée de $f$ en $a$ , et on le note $f'(a)$ :

f'(a) = L \leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)

Le quotient est défini sur $A \setminus \{a\}$ , et $a$ est point d’accumulation de cet ensemble, car la définition de point d’accumulation ne regarde que les éléments distincts de $a$ . Par l’unicité de la limite, la dérivée, si elle existe, est unique. En un point isolé de l’ensemble de définition, la dérivée n’est pas définie, bien que toute fonction y soit continue. Et si le quotient tend vers $\infty$ ou vers $-\infty$ , la fonction n’est pas dérivable en $a$ : la dérivée est un nombre réel. On écrit souvent la définition avec l’accroissement $h = x - a$ au lieu du point $x$ , comme dans l’exemple.

PropositionForme incrémentale de la dérivée

Sous les hypothèses de la définition, et en ne considérant $f(a + h)$ que là où elle est définie :

f'(a) = L \Leftrightarrow \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L

C’est le changement de variable $x = a + h$ , que la proposition de translation et symétrie de la leçon sur les limites à gauche et à droite a fait pour un côté, maintenant pour les deux à la fois.

Démonstration

$Q(a + h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, \qquad h \neq 0 \rightarrow a + h \neq a$
Soit $Q(x)$ le taux d’accroissement. La fonction $g(h) = a + h$ , pour les $h \neq 0$ tels que $a + h$ soit dans $A$ , tend vers $a$ , ne prend pas la valeur $a$ , et ses valeurs sont dans l’ensemble de définition de $Q$ . Par le théorème de la composée de la leçon consacrée aux opérations sur les limites, si $Q$ tend vers $L$ en $a$ , alors $Q(a + h)$ tend aussi vers $L$ en $0$ .
$Q(x) = Q\left(a + (x - a)\right), \qquad x \neq a \rightarrow \resaltar{x - a \neq 0}$
Réciproquement, la fonction $x - a$ , pour les $x$ de $A$ distincts de $a$ , tend vers $0$ et ne prend pas la valeur $0$ ; composée avec $h \mapsto Q(a + h)$ , elle donne le quotient $Q(x)$ , qui tend vers la même limite.

Les premières dérivées se calculent directement. Si $f(x) = mx + b$ , le taux d’accroissement vaut $\frac{m(a + h) + b - (ma + b)}{h} = m$ pour tout $h \neq 0$ , et sa limite est $m$ : la dérivée d’une fonction affine est sa pente en tout point, et sa tangente est la droite elle-même. En particulier, la dérivée d’une constante est $0$ et celle de l’identité $f(x) = x$ est $1$ . Pour $f(x) = x^2$ , le calcul de l’exemple, avec $a$ au lieu de $1$ , donne $\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = 2a + h$ , et la dérivée est $2a$ .

Dérivées à gauche et à droite

Aux extrémités d’un intervalle, ou en un point où la fonction change de formule, il convient d’examiner le taux d’accroissement de chaque côté séparément.

DéfinitionDérivées à gauche et à droite

Soit $a$ un élément de $A$ qui est point d’accumulation de $A \cap \ioo{a}{\infty}$ . On dit que $f$ est dérivable à droite en $a$ si le taux d’accroissement a une limite réelle à droite en $a$ ; cette limite est la dérivée à droite, $f'_+(a)$ :

f'_+(a) = L \leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(a < x < a + \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)

De même, si $a$ est point d’accumulation de $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ , la dérivée à gauche, $f'_-(a)$ , est la limite à gauche du taux d’accroissement, avec la condition $a - \delta < x < a$ .

PropositionDérivée, dérivée à gauche et dérivée à droite

Soit $a$ un élément de $A$ .

Si $a$ est point d’accumulation de $A \cap \ioo{a}{\infty}$ et de $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ , alors $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si les dérivées à gauche et à droite existent et sont égales ; dans ce cas, $f'(a) = f'_+(a) = f'_-(a)$ .
Si $a$ est point d’accumulation des points de $A$ d’un seul côté, alors $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si elle est dérivable de ce côté, et la dérivée est la dérivée de ce côté.

Aucun argument nouveau n’est nécessaire : les dérivées à gauche et à droite sont les limites à gauche et à droite du taux d’accroissement, et la leçon sur les limites à gauche et à droite les a déjà reliées à la limite.

Démonstration

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = L \Leftrightarrow f'_+(a) = L = \resaltar{f'_-(a)}$
Dans le premier cas, le théorème de la limite, de la limite à gauche et de la limite à droite, appliqué au taux d’accroissement, donne l’équivalence.
$\left(\forall x \in A\right)\left(0 < \abs{x - a} < r \rightarrow x > a\right) \rightarrow f'(a) = \resaltar{f'_+(a)}$
Dans le second, la même leçon a observé que, lorsque $a$ est point d’accumulation des points de l’ensemble de définition d’un seul côté, la limite et la limite de ce côté coïncident : il existe un $r > 0$ tel que tous les $x$ de $A$ avec $0 < \abs{x - a} < r$ soient de ce côté.

Par exemple, la valeur absolue a en $0$ le taux d’accroissement $\frac{\abs{x}}{x}$ , qui vaut $1$ si $x > 0$ et $-1$ si $x < 0$ : ses dérivées à droite et à gauche sont $f'_+(0) = 1$ et $f'_-(0) = -1$ , distinctes, et $\abs{x}$ n’est pas dérivable en $0$ . En revanche, si une fonction est définie sur $\icc{0}{1}$ , sa dérivée en $0$ est sa dérivée à droite, et en $1$ , sa dérivée à gauche : la définition traite déjà les extrémités de l’ensemble de définition comme des côtés uniques. Par exemple, $f(x) = x$ restreinte à $\icc{0}{1}$ est dérivable en $0$ , avec $f'(0) = 1$ .

Tangente et normale

Avec la dérivée, la tangente cesse d’être une figure que l’on reconnaît à vue d’œil et devient une droite que l’on calcule.

DéfinitionTangente et normale

Soit $f$ dérivable en $a$ . La tangente à la courbe de $f$ au point $(a, f(a))$ est la droite qui passe par ce point avec la pente $f'(a)$ :

y = f(a) + f'(a)(x - a)

La normale au même point est la perpendiculaire à la tangente qui passe par ce point : si $f'(a) \neq 0$ , c’est la droite $y = f(a) - \frac{1}{f'(a)}(x - a)$ , et si $f'(a) = 0$ , c’est la droite verticale $x = a$ .

La pente de la normale découle du théorème des droites perpendiculaires de la leçon sur l’équation de la droite : deux droites non verticales sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs pentes vaut $-1$ . Pour revenir à la courbe $y = x^3$ , son taux d’accroissement en $0$ est $x^2$ , qui tend vers $0$ : la tangente à l’origine est l’axe horizontal, bien qu’elle traverse la courbe. Lorsque $f$ est continue en $a$ et que le taux d’accroissement tend vers $\infty$ ou vers $-\infty$ , les sécantes se rapprochent de la verticale ; on dit alors que la courbe a en $(a, f(a))$ une tangente verticale, la droite $x = a$ , bien que $f$ ne soit pas dérivable en $a$ .

De même, si $s(t)$ est la position d’un point qui se déplace sur une droite, sa vitesse à l’instant $t_0$ est $s'(t_0)$ , si elle existe. Son signe indique le sens du mouvement, et sa valeur absolue, la norme de la vitesse. La leçon sur les taux de variation développera cette lecture.

La fonction dérivée et la notation de Leibniz

Chaque point où $f$ est dérivable fournit un nombre, sa dérivée en ce point. Avec tous ces nombres, on forme une nouvelle fonction.

DéfinitionFonction dérivée

Soit $f$ une fonction définie sur $A$ . La fonction dérivée de $f$ est la fonction $f'$ qui associe à chaque point $x$ de $A$ où $f$ est dérivable le nombre $f'(x)$ ; son ensemble de définition est l’ensemble de ces points. Si $f$ est dérivable en tous les points d’un ensemble $S$ contenu dans $A$ , on dit qu’elle est dérivable sur $S$ ; et si elle l’est sur tout son ensemble de définition, on dit simplement qu’elle est dérivable.

Par exemple, la dérivée de $x^2$ est la fonction $2x$ , définie sur tout $\mathbb{R}$ ; celle de la valeur absolue vaut $1$ sur $\ioo{0}{\infty}$ et $-1$ sur $\ioo{-\infty}{0}$ , et son ensemble de définition ne contient pas $0$ . La notation $f'$ , avec le prime, est due à Lagrange. L’autre notation usuelle est due à Leibniz : si $y = f(x)$ , la dérivée s’écrit $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ , ou $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ , et l’opération de dériver par rapport à $x$ s’écrit $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ devant l’expression que l’on dérive :

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2\right) = 2x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(mx + b\right) = m

La notation rappelle d’où vient la dérivée. Si $\Delta x$ est l’accroissement de la variable et $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ l’accroissement correspondant de la fonction, le taux d’accroissement est $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ , et la dérivée est sa limite :

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

Il faut insister sur le fait que, pour l’instant, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ est un seul symbole et non un quotient : $\mathrm{d}y$ et $\mathrm{d}x$ n’ont pas encore de sens séparément ; ils en auront un dans la leçon sur les dérivées successives et la différentielle. La notation rend explicite la variable par rapport à laquelle on dérive : si la position dépend du temps, la vitesse s’écrit $s'(t)$ ou $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ .

Trois caractérisations de la dérivée

La définition dit que le taux d’accroissement tend vers $f'(a)$ . Il y a deux autres façons de dire la même chose, chacune utile à une fin différente : la deuxième compare la fonction à sa tangente ; la troisième évite de diviser.

ThéorèmeCaractérisations de la dérivée

Soient $f$ une fonction définie sur $A$ , $a$ un élément de $A$ qui est point d’accumulation de $A$ , et $L$ un nombre réel. Les trois affirmations ci-dessous sont équivalentes :

Taux d’accroissement. $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = L$ .
Approximation affine. $f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h)$ lorsque $h$ tend vers $0$ ; autrement dit, le reste $R(h) = f(a + h) - f(a) - Lh$ vérifie $\lim_{h \to 0} \frac{R(h)}{h} = 0$ .
Carathéodory. Il existe une fonction $\varphi \colon A \to \mathbb{R}$ , continue en $a$ , avec $\varphi(a) = L$ , telle que $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ pour tout $x$ de $A$ .

Le petit $\operatorname{o}$ est celui de la leçon sur les infiniment petits et infiniment grands équivalents, avec $f(a + h)$ considérée seulement là où elle est définie. La fonction $\varphi$ est la pente de la sécante, complétée en $a$ par la dérivée. La figure montre, avec $f(x) = \frac{x^2 + 1}{2}$ et $a = 1$ , le reste entre la courbe et la tangente, une sécante et, à la fin, la courbe de $\varphi$ , qui est ici la droite $\varphi(x) = \frac{x + 1}{2}$ .

Démonstration

$\frac{R(h)}{h} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - L \to 0 \Leftrightarrow \resaltar{\frac{f(a + h) - f(a)}{h} \to L}$
Première et deuxième : le quotient du reste par $h$ est le taux d’accroissement moins $L$ . Par le lemme de la limite comme distance qui tend vers zéro, de la leçon consacrée aux opérations sur les limites, il tend vers $0$ si et seulement si le taux d’accroissement tend vers $L$ , et par la forme incrémentale, cela équivaut à $f'(a) = L$ .
$\varphi(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} & x \neq a \\ L & x = a \end{cases}, \qquad \lim_{x \to a} \varphi(x) = L = \resaltar{\varphi(a)}$
De la première à la troisième : on définit $\varphi$ comme le taux d’accroissement hors de $a$ et comme $L$ en $a$ . L’égalité est vraie en tout $x \neq a$ par la définition, et en $x = a$ parce que ses deux membres valent $0$ . Comme $a$ est point d’accumulation de $A$ et que la limite de $\varphi$ en $a$ est $L = \varphi(a)$ , la proposition sur la continuité et la limite de la leçon sur la limite et la continuité donne la continuité de $\varphi$ en $a$ .
$x \neq a \rightarrow \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \varphi(x) \to \varphi(a) = \resaltar{L}$
De la troisième à la première : si $x \neq a$ , on divise par $x - a$ , et le taux d’accroissement est la restriction de $\varphi$ à $A \setminus \{a\}$ . Comme $\varphi$ est continue en $a$ , par la même proposition elle tend vers $\varphi(a) = L$ , et par le lemme de la restriction, de la leçon consacrée aux opérations sur les limites, le quotient aussi.

La fonction $\varphi$ de la troisième caractérisation, lorsqu’elle existe, est unique : hors de $a$ , c’est le taux d’accroissement, et en $a$ sa valeur est la limite de ce quotient. La deuxième caractérisation explique en quel sens la tangente est la droite qui accompagne le mieux la courbe. Si l’on remplace $f(a + h)$ par $f(a) + mh$ , avec une pente $m$ distincte de $f'(a)$ , l’erreur est $(f'(a) - m)h + \operatorname{o}(h)$ , dont le quotient par $h$ tend vers $f'(a) - m \neq 0$ : elle est du même ordre que $h$ . Ce n’est qu’avec la pente $f'(a)$ que l’erreur est négligeable devant $h$ . La troisième caractérisation a un avantage technique : c’est une égalité entre produits, sans divisions. Les leçons sur les règles de dérivation et sur la règle de dérivation en chaîne l’utiliseront pour ne pas diviser par des quantités qui peuvent s’annuler. La première conséquence est immédiate.

ThéorèmeDérivable implique continue

Si $f$ est dérivable en $a$ , alors $f$ est continue en $a$ . La factorisation de Carathéodory écrit $f$ au moyen d’opérations entre fonctions continues en $a$ .

Démonstration

$f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a)$
Par le théorème des caractérisations, il existe $\varphi$ , continue en $a$ , telle que $f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a)$ pour tout $x$ de $A$ .
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) + \varphi(a) \cdot 0 = \resaltar{f(a)}$
La constante $f(a)$ et le polynôme $x - a$ sont continus en $a$ , et $\varphi$ aussi. Par le théorème des opérations sur les fonctions continues, de la leçon sur la limite et la continuité, la somme de la constante et du produit est continue en $a$ .

L’implication dans l’autre sens est fausse. La continuité demande que $f(x) - f(a)$ tende vers $0$ ; la dérivabilité demande davantage : que son quotient par $x - a$ ait une limite, c’est-à-dire qu’il tende vers $0$ au moins aussi vite que $x - a$ et sans osciller entre des pentes différentes.

PropositionContinuité sans dérivée

La valeur absolue et la racine cubique sont continues en $0$ et ne sont pas dérivables en $0$ : la première a des dérivées à gauche et à droite distinctes, et le taux d’accroissement de la seconde tend vers $\infty$ , de sorte que sa courbe a à l’origine une tangente verticale. Les deux sont continues par le corollaire des fonctions continues usuelles, de la leçon sur la limite et la continuité. La figure montre, pour la valeur absolue, les deux pentes à gauche et à droite et, pour la racine cubique, des sécantes de plus en plus raides.

Démonstration

$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\abs{x}}{x} = 1 \neq -1 = \lim_{x \to 0^-} \frac{\abs{x}}{x} = \resaltar{f'_-(0)}$
Le taux d’accroissement de la valeur absolue en $0$ vaut $1$ à droite et $-1$ à gauche. Les dérivées à droite et à gauche sont distinctes et, par la proposition sur la dérivée, la dérivée à gauche et la dérivée à droite, $\abs{x}$ n’est pas dérivable en $0$ .
$\frac{\sqrt[3]{x} - 0}{x - 0} = \frac{1}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2} \to \resaltar{\infty}$
Le taux d’accroissement de la racine cubique en $0$ est l’inverse de $\left(\sqrt[3]{x}\right)^2$ , qui est strictement positif si $x \neq 0$ et tend vers $0$ par la continuité de la racine. Par le lemme de l’inverse, de la leçon sur les limites infinies, le quotient tend vers $\infty$ , et il n’a pas de limite réelle.

Les deux fonctions sont en défaut en un seul point, mais il existe des fonctions continues sur toute la droite qui ne sont dérivables en aucun point ; Weierstrass a présenté en 1872 l’exemple le plus célèbre, dont la construction dépasse ce cours.

Problèmes résolus

Les problèmes sont de difficulté croissante : le premier calcule une dérivée qui cesse d’exister au bord de l’ensemble de définition ; le deuxième utilise la tangente pour découvrir une propriété de l’hyperbole ; le troisième montre que les dérivées à gauche et à droite peuvent ne pas exister ; le quatrième, qu’une fonction peut être dérivable en un seul point ; et le dernier combine la factorisation de Carathéodory avec les dérivées à gauche et à droite.

Problème résolu 1La racine carrée au bord de son ensemble de définition

Étudier la dérivabilité de $f(x) = \sqrt{x}$ , définie sur $\ico{0}{\infty}$ , et trouver la tangente au point d’abscisse $4$ .

Solution

$\frac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h} = \frac{(a + h) - a}{\left(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\right) h} = \frac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}}$
Si $a > 0$ , le taux d’accroissement est de la forme $\frac{0}{0}$ ; on multiplie et on divise par l’expression conjuguée.
$f'(a) = \resaltar{\frac{1}{2\sqrt{a}}}, \qquad y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$
Par la continuité de la racine, le dénominateur tend vers $2\sqrt{a} \neq 0$ , et par le théorème de la limite de l’inverse, de la leçon consacrée aux opérations sur les limites, le quotient tend vers $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ . En $a = 4$ , la dérivée est $\frac{1}{4}$ et la tangente passe par $(4, 2)$ .
$\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = \resaltar{\infty}$
En $a = 0$ , il n’y a de points de l’ensemble de définition qu’à droite, et par la proposition sur la dérivée, la dérivée à gauche et la dérivée à droite, la dérivée est la dérivée à droite. Le quotient est $\frac{1}{\sqrt{h}}$ , et comme $\sqrt{h}$ est strictement positif et tend vers $0$ , le lemme de l’inverse donne $\infty$ .
$f \colon \ico{0}{\infty} \to \mathbb{R}, \qquad f' \colon \resaltar{\ioo{0}{\infty}} \to \mathbb{R}$
Par conséquent, $\sqrt{x}$ est dérivable sur $\ioo{0}{\infty}$ et ne l’est pas en $0$ , où elle est continue et où sa courbe a la tangente verticale $x = 0$ . La fonction dérivée a un ensemble de définition plus petit que celui de la fonction.

Problème résolu 2La tangente à l’hyperbole

Démontrer que la tangente à $y = \frac{1}{x}$ en un point $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ , avec $a > 0$ , forme avec les axes un triangle d’aire $2$ , quel que soit $a$ , et que le point de contact est le milieu du segment que les axes découpent sur elle.

Solution

$\frac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h} = \frac{-h}{a(a + h) \, h} = -\frac{1}{a(a + h)} \to \resaltar{-\frac{1}{a^2}}$
Le taux d’accroissement se simplifie en soustrayant les fractions ; par le théorème de la limite de l’inverse, sa limite est $-\frac{1}{a^2}$ .
$y = \frac{1}{a} - \frac{1}{a^2}(x - a) = \resaltar{\frac{2}{a} - \frac{x}{a^2}}$
La tangente passe par $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ avec cette pente.
$\dato{c}{(2a, 0), \quad \left(0, \frac{2}{a}\right)}, \qquad \left(\frac{2a + 0}{2}, \frac{0 + \frac{2}{a}}{2}\right) = \resaltar{\left(a, \frac{1}{a}\right)}$
Avec $y = 0$ on obtient l’intersection avec l’axe horizontal, et avec $x = 0$ , l’intersection avec l’axe vertical. Le milieu de ces deux points est le point de contact.
$\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{2}{a} = \resaltar{2}$
Le triangle a pour côtés de l’angle droit $2a$ et $\frac{2}{a}$ , portés par les axes. Son aire ne dépend pas de $a$ : la figure montre deux de ces triangles, de formes différentes et de même aire.

Problème résolu 3Continue et sans dérivées à gauche ni à droite

Soient $f(x) = x \sin \frac{1}{x}$ et $g(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$ pour $x \neq 0$ , et $f(0) = g(0) = 0$ . Démontrer que $f$ est continue en $0$ et n’a en $0$ ni dérivée, ni dérivée à gauche, ni dérivée à droite, et que $g$ est dérivable en $0$ , avec $g'(0) = 0$ .

Solution

$\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x \sin \frac{1}{x}}{x} = \resaltar{\sin \frac{1}{x}}$
Par le problème résolu 3 de la leçon sur la limite et la continuité, $f$ est continue en $0$ . Son taux d’accroissement en $0$ est $\sin \frac{1}{x}$ .
$\sin \frac{1}{x_n} = 1, \quad \sin \frac{1}{y_n} = -1, \qquad x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}, \quad y_n = \frac{1}{\frac{3\pi}{2} + 2n\pi}$
Le problème proposé 3 de la leçon sur la limite a démontré que $\sin \frac{1}{x}$ n’a pas de limite en $0$ au moyen de deux familles de points strictement positifs, où elle vaut $1$ et $-1$ . Le même argument exclut la limite à droite ; avec les points opposés, où elle vaut $-1$ et $1$ , on exclut celle à gauche.
$\frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = x \sin \frac{1}{x} \to 0, \qquad g'(0) = \resaltar{0}$
En revanche, le taux d’accroissement de $g$ est $x \sin \frac{1}{x}$ , produit d’une fonction bornée par une autre qui tend vers $0$ ; par le théorème de la leçon sur le théorème des gendarmes, il tend vers $0$ .
$\abs{g(x)} \leq x^2 = \resaltar{\operatorname{o}(x)}$
Les deux fonctions oscillent une infinité de fois près de $0$ . L’oscillation de $f$ est majorée en valeur absolue par $\abs{x}$ , qui est du même ordre que le dénominateur $x - 0$ , et le quotient continue d’osciller ; celle de $g$ est majorée en valeur absolue par $x^2$ , qui est négligeable devant $x$ , et le quotient s’éteint.

Problème résolu 4Dérivable en un seul point

Soit $f$ la fonction qui vaut $x^2$ si $x$ est rationnel et $0$ si $x$ est irrationnel. Démontrer que $f$ est dérivable en $0$ , avec $f'(0) = 0$ , et qu’elle n’est dérivable en aucun autre point.

Solution

$x \in \mathbb{Q} \rightarrow x \, g(x) = x^2, \qquad x \notin \mathbb{Q} \rightarrow x \, g(x) = 0$
Soit $g$ la fonction du problème résolu 5 de la leçon sur la limite et la continuité, qui vaut $x$ sur les rationnels et $0$ sur les irrationnels. Alors $f(x) = x \, g(x)$ pour tout $x$ , dans les deux cas.
$\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x \, g(x)}{x} = g(x) \to g(0) = 0, \qquad f'(0) = \resaltar{0}$
En $0$ , le taux d’accroissement est $g(x)$ , qui tend vers $g(0) = 0$ parce que ce problème a démontré que $g$ est continue en $0$ .
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \rightarrow \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x} = \frac{f(a)}{a} = \resaltar{g(a)}$
Soit $a \neq 0$ . Si $f$ était continue en $a$ , $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ le serait aussi, par la règle du quotient des opérations sur les fonctions continues, avec un dénominateur non nul en $a$ ; mais le même problème a démontré que $g$ est discontinue en $a$ . Par conséquent, $f$ est discontinue en $a$ , et par le théorème selon lequel dérivable implique continue, elle n’est pas dérivable en $a$ .

Problème résolu 5La valeur absolue d’une fonction dérivable

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$ , dérivable en $a$ et telle que $f(a) = 0$ . Démontrer que $F = \abs{f}$ a en $a$ des dérivées à droite et à gauche égales à $\abs{f'(a)}$ et $-\abs{f'(a)}$ , de sorte qu’elle est dérivable en $a$ si et seulement si $f'(a) = 0$ . L’appliquer à $\abs{\sin x}$ et à $\abs{x^3}$ en $0$ .

Solution

$\frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \frac{\abs{f(x)} - \abs{f(a)}}{x - a} = \frac{\abs{\varphi(x)}\abs{x - a}}{x - a} = \begin{cases} \abs{\varphi(x)} & x > a \\ -\abs{\varphi(x)} & x < a \end{cases}$
Par la caractérisation de Carathéodory, $f(x) = \varphi(x)(x - a)$ , avec $\varphi$ continue en $a$ et $\varphi(a) = f'(a)$ . En passant aux valeurs absolues, le facteur $\abs{x - a}$ vaut $x - a$ à droite et $a - x$ à gauche.
$F'_+(a) = \abs{f'(a)}, \qquad F'_-(a) = -\abs{f'(a)}, \qquad \abs{f'(a)} = -\abs{f'(a)} \Leftrightarrow \resaltar{f'(a) = 0}$
La fonction $\abs{\varphi}$ est continue en $a$ , par la composée de fonctions continues, et tend vers $\abs{f'(a)}$ . Par la proposition sur la dérivée, la dérivée à gauche et la dérivée à droite, $F$ est dérivable en $a$ si et seulement si ses dérivées à droite et à gauche coïncident, c’est-à-dire si $\abs{f'(a)} = -\abs{f'(a)}$ .
$\frac{\sin x}{x} \to 1 \neq 0, \qquad \frac{x^3}{x} = x^2 \to \resaltar{0}$
Le sinus vérifie $\sin 0 = 0$ , et son taux d’accroissement en $0$ est $\frac{\sin x}{x}$ , qui tend vers $1$ par la limite trigonométrique fondamentale : $\abs{\sin x}$ a en $0$ les dérivées à droite et à gauche $1$ et $-1$ , et n’est pas dérivable. Le cube a en $0$ le quotient $x^2$ , qui tend vers $0$ : $\abs{x^3}$ est dérivable en $0$ , de dérivée $0$ .

Problèmes proposés

Les problèmes sont de difficulté croissante : le premier lit une dérivée dans la géométrie du disque et de la boule ; le deuxième cherche des normales passant par un point donné ; le troisième montre qu’une dérivée à droite peut exister là où la fonction fait un saut ; le quatrième compare la tangente de la dérivée avec celle du cercle ; et le dernier étudie un quotient qui ressemble à la dérivée sans l’être. Chacun a une indication, qu’il vaut mieux n’ouvrir qu’après avoir cherché le problème.

Problème proposé 1L’aire du disque et le volume de la boule

Soient $A(r) = \pi r^2$ l’aire du disque de rayon $r$ et $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$ le volume de la boule de rayon $r$ . Calculer, à l’aide de la définition, $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r}$ et $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}$ , et reconnaître chaque résultat.

Indice

Développez $(r + h)^2$ et $(r + h)^3$ et simplifiez le taux d’accroissement avant de passer à la limite. L’accroissement de l’aire est l’aire d’une couronne de largeur $h$ .

Réponse

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r, \qquad \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2

Ce sont le périmètre du cercle et l’aire de la sphère.

Problème proposé 2Normales passant par un point

Trouver tous les points de la parabole $y = x^2$ dont la normale passe par le point $(0, 1)$ , et écrire ces normales.

Indice

La normale en $(a, a^2)$ a pour pente $-\frac{1}{2a}$ si $a \neq 0$ ; imposez qu’elle passe par $(0, 1)$ . N’oubliez pas le cas $a = 0$ , où la dérivée s’annule et où la normale est verticale.

Réponse

Trois points : $(0, 0)$ , de normale $x = 0$ , et $\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ , de normales $y = 1 \mp \frac{x}{\sqrt{2}}$ .

Problème proposé 3Les dérivées à gauche et à droite de la partie entière

Démontrer que la partie entière, $E(x) = \lfloor x \rfloor$ , est dérivable en tout réel non entier, de dérivée $0$ , et qu’en chaque entier $n$ elle a une dérivée à droite, $0$ , mais pas de dérivée à gauche. Cela contredit-il le théorème selon lequel dérivable implique continue ?

Indice

En un entier $n$ , la fonction vaut à droite $n$ , et à gauche, $n - 1$ : le taux d’accroissement vaut $0$ à droite et $\frac{-1}{x - n}$ à gauche. Pour la dernière question, comparez l’hypothèse du théorème avec ce qui se passe en $n$ .

Réponse

E'(x) = 0 \quad (x \notin \mathbb{Z}), \qquad E'_+(n) = 0, \qquad \lim_{x \to n^-} \frac{E(x) - E(n)}{x - n} = \infty

Il n’y a pas de contradiction : la fonction n’est pas dérivable en $n$ ; la dérivée à droite ne donne que la continuité à droite (le théorème, appliqué à la restriction de $E$ à $\ico{n}{\infty}$ ), qui est vérifiée.

Problème proposé 4La tangente au cercle

Soit $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ , le demi-cercle supérieur de centre $(0, 0)$ et de rayon $1$ . Calculer $f'(a)$ pour $-1 < a < 1$ , démontrer que la tangente est perpendiculaire au rayon qui joint l’origine à $(a, f(a))$ , comme dans la leçon sur le cercle, et étudier ce qui se passe en $a = \pm 1$ .

Indice

Multipliez et divisez le taux d’accroissement par $\sqrt{1 - (a + h)^2} + \sqrt{1 - a^2}$ . Si $a \neq 0$ , le rayon a pour pente $\frac{f(a)}{a}$ ; si $a = 0$ , il est vertical. En $a = 1$ , il n’y a de points de l’ensemble de définition qu’à gauche.

Réponse

f'(a) = -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}, \qquad -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}} \cdot \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a} = -1 \quad (a \neq 0)

En $a = 0$ , la tangente est horizontale et le rayon vertical. En $a = 1$ le quotient tend vers $-\infty$ , et en $a = -1$ , vers $\infty$ : $f$ n’est pas dérivable en $\pm 1$ , et sa courbe y a des tangentes verticales.

Problème proposé 5Le taux d’accroissement symétrique

Soit $f$ définie sur un intervalle ouvert contenant $a$ . Démontrer que, si $f$ est dérivable en $a$ , alors $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a)$ . Démontrer avec $f(x) = \abs{x}$ en $a = 0$ que cette limite peut exister sans que $f$ soit dérivable.

Indice

Écrivez l’approximation affine pour $h$ et pour $-h$ et soustrayez-les : les restes donnent $\operatorname{o}(h)$ . Pour la valeur absolue, le numérateur est $\abs{h} - \abs{-h}$ .

Réponse

\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a) + \frac{R(h) - R(-h)}{2h} \to f'(a), \qquad \frac{\abs{h} - \abs{-h}}{2h} = 0

La valeur absolue a un taux d’accroissement symétrique égal à $0$ en $0$ , et n’y est pas dérivable.

Solution détaillée

Solution

$f(a + h) = f(a) + f'(a)h + R(h), \qquad f(a - h) = f(a) - f'(a)h + R(-h)$
Par l’approximation affine, avec $L = f'(a)$ , le reste $R$ vérifie $\frac{R(h)}{h} \to 0$ . En changeant $h$ en $-h$ , par le théorème de la composée, on a aussi $\frac{R(-h)}{-h} \to 0$ .
$\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a) + \frac{1}{2} \cdot \frac{R(h)}{h} + \frac{1}{2} \cdot \frac{R(-h)}{-h} \to \resaltar{f'(a)}$
On soustrait les deux égalités et on divise par $2h$ ; par le théorème de la limite d’une combinaison linéaire, les deux quotients des restes donnent $0$ .
$\frac{\abs{h} - \abs{-h}}{2h} = \resaltar{0}, \qquad f'_+(0) = 1 \neq -1 = f'_-(0)$
Pour la valeur absolue en $0$ , le numérateur est nul pour tout $h$ , et le taux d’accroissement symétrique tend vers $0$ ; pourtant, les dérivées à droite et à gauche sont $1$ et $-1$ . Le taux d’accroissement symétrique fait la moyenne des deux pentes à gauche et à droite et masque le point anguleux.

La dérivée comme limite d’une fonction

Résumé

Objectifs d’apprentissage

La tangente et la vitesse

La dérivée en un point

Dérivées à gauche et à droite

Tangente et normale

La fonction dérivée et la notation de Leibniz

Trois caractérisations de la dérivée

Problèmes résolus

Problèmes proposés

Votre question sur cette leçon

Questions sur cette leçon