Dérivées : introduction

Avant de commencer l’unité, mesurez votre point de départ. C’est une autoévaluation brève : elle n’est pas notée et son résultat n’est conservé que dans votre navigateur.

1. Question 1La fonction $f(x) = \frac{1}{2x + 1}$ est définie en $0$. À partir de la définition de la dérivée, quelle est la tangente à sa courbe au point $(0, 1)$ ?

   $y = 1 - 2x$

   $y = 1 + \frac{x}{2}$

   $y = -2x$

   $y = 1 + 2x$

2. Question 2Calculer la dérivée de $f(x) = \frac{x^2 + 5}{x - 1}$ en $3$.

   $-\frac{1}{2}$

   $6$

   $\frac{1}{2}$

   $-1$

3. Question 3Calculer la dérivée de $f(x) = e^x \cos x$ en $\frac{\pi}{4}$.

   $0$

   $\sqrt{2} \, e^{\frac{\pi}{4}}$

   $-\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{4}}$

   $\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{4}}$

4. Question 4Calculer la dérivée de $f(x) = \cos^2(2x)$ en $\frac{\pi}{8}$.

   $-2$

   $-1$

   $2$

   $\sqrt{2}$

5. Question 5Sur lequel de ces intervalles le théorème de Bolzano assure-t-il que l’équation $x^3 + 2x = 5$ a une solution ?

   $\icc{1}{2}$

   $\icc{0}{1}$

   $\icc{2}{3}$

   Sur aucun, car le théorème ne traite que des équations de la forme $F(x) = 0$.

6. Question 6La fonction $f(x) = x^5 + x$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Que vaut $\left(f^{-1}\right)'(2)$ ?

   $\frac{1}{6}$

   $\frac{1}{81}$

   $6$

   $81$

7. Question 7Calculer la dérivée de $F(x) = \left(x^2 + 1\right)^x$ en $1$.

   $2 + 2\ln 2$

   $2$

   $2\ln 2$

   $1 + \ln 2$

8. Question 8Calculer la dérivée d’ordre $5$ de $f(x) = x e^{2x}$ en $0$.

   $80$

   $16$

   $0$

   $160$

9. Question 9Un rectangle conserve son aire de $6$ centimètres carrés tandis que sa base croît à raison de $3$ centimètres par seconde. À quelle vitesse sa hauteur varie-t-elle à l’instant où la base mesure $2$ centimètres ?

   Elle diminue à raison de $\frac{9}{2}$ centimètres par seconde.

   Elle ne varie pas : la hauteur vaut $3$ et sa dérivée est $0$.

   Elle augmente à raison de $\frac{9}{2}$ centimètres par seconde.

   Elle diminue à raison de $\frac{3}{2}$ centimètres par seconde.

10. Question 10Des unités précédentesCalculer $\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h}$.

    $0$

    $1$

    $-\frac{1}{2}$

    Elle n’existe pas, car le quotient est de la forme $\frac{0}{0}$.

11. Question 11Des unités précédentesCalculer $\lim_{h \to 0} \frac{e^{-2h} - 1}{h}$.

    $-2$

    $1$

    $2$

    $0$

12. Question 12Des unités précédentesLaquelle de ces fonctions est un $\operatorname{o}(h)$ quand $h \to 0$ ?

    $h \sin h$

    $\sin h$

    $\sqrt{\abs{h}}$

    $2h + h^2$

13. Question 13Des unités précédentesSi $f(x) = 2x^3 + 3$, que vaut $f^{-1}(19)$ ?

    $2$

    $8$

    $\frac{1}{13721}$

    $13721$

14. Question 14Des unités précédentesQue vaut $\cos\left(\arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$ ?

    $\frac{4}{5}$

    $-\frac{4}{5}$

    $\frac{16}{25}$

    $-\frac{3}{5}$