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Topos Uranos
Français

Dérivées des fonctions élémentaires

Résumé

Cette leçon dérive les fonctions élémentaires que la leçon qui précède n’a pas atteintes : le sinus et le cosinus, à partir des limites trigonométriques de l’unité 1 ; la tangente, la cotangente, la sécante et la cosécante, avec les règles du quotient et de l’inverse ; la fonction exponentielle et le logarithme népérien, à partir de leurs limites remarquables ; et les fonctions hyperboliques, à partir de l’exponentielle. Aucune démonstration n’utilise la règle de dérivation en chaîne ni la règle de dérivation de la fonction réciproque, qui viennent plus tard : dans chaque cas, une formule d’addition ou une règle de calcul de l’exponentielle ou du logarithme sépare le taux d’accroissement en un facteur qui ne dépend que du point et un autre qui est une limite déjà connue. Avec ces dérivées et les règles, la leçon calcule des tangentes et des angles entre courbes transcendantes, et tient ce qu’annonçait la leçon qui précède : la fonction x2sin⁡1xx^2 \sin \frac{1}{x}, dérivable en 00, a une dérivée sans limite en 00.

Objectifs d’apprentissage

  1. Démontrer que la dérivée du sinus est le cosinus et que celle du cosinus est l’opposé du sinus, et expliquer pourquoi la variable se mesure en radians.
  2. Dériver la tangente, la cotangente, la sécante et la cosécante avec les règles de la leçon qui précède, et préciser l’ensemble de définition de chaque dérivée.
  3. Démontrer que la fonction exponentielle est sa propre dérivée et que la dérivée de ln⁡∣x∣\ln \abs{x} est 1x\frac{1}{x}, et en déduire les dérivées des fonctions hyperboliques.
  4. Combiner les dérivées élémentaires avec les règles pour trouver des tangentes et des angles entre courbes, et reconnaître qu’une dérivée peut ne pas avoir de limite en un point où la fonction est dérivable.

Le sinus et le cosinus

La leçon sur les règles de dérivation a dérivé toutes les fonctions qu’on obtient de l’identité et des constantes par les quatre opérations : les polynômes et les fonctions rationnelles. Le sinus n’en fait pas partie, et sa dérivée doit sortir de son taux d’accroissement. En 00 ce taux est sin⁡hh\frac{\sin h}{h}, et la limite trigonométrique fondamentale, de la leçon sur le théorème des gendarmes, donne la dérivée 11. Pour un point aa quelconque, la formule du sinus d’une somme sépare sin⁡(a+h)\sin(a + h) en un terme qui ne dépend que de aa et un autre qui ne dépend que de hh ; les quotients qui restent sont deux limites du corollaire des limites trigonométriques qui s’en déduisent, de la même leçon : sin⁡hh\frac{\sin h}{h} tend vers 11, et 1−cos⁡hh\frac{1 - \cos h}{h} tend vers 00.

ThéorèmeDérivées du sinus et du cosinus

Le sinus et le cosinus sont dérivables sur tout R\mathbb{R}, et pour tout réel xx :

ddx(sin⁡x)=cos⁡x,ddx(cos⁡x)=−sin⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x

On utilise la forme incrémentale de la dérivée, de la leçon sur la dérivée comme limite, et les formules d’addition de la leçon sur les formules d’addition. La figure suit la tangente à la courbe du sinus : sa pente en chaque point est l’ordonnée du cosinus au même point ; à la fin, la tangente à la courbe du cosinus a pour pente l’opposé du sinus.

Démonstration

  1. sin⁡(a+h)−sin⁡a=sin⁡acos⁡h+cos⁡asin⁡h−sin⁡a=sin⁡a(cos⁡h−1)+cos⁡asin⁡h\sin(a + h) - \sin a = \sin a \cos h + \cos a \sin h - \sin a = \dato{s}{\sin a \left(\cos h - 1\right) + \cos a \sin h}

    Soient aa un nombre réel et h≠0h \neq 0. Par la formule du sinus d’une somme, l’accroissement du sinus se sépare en deux termes : l’un avec le facteur cos⁡h−1\cos h - 1 et l’autre avec le facteur sin⁡h\sin h ; les facteurs sin⁡a\sin a et cos⁡a\cos a ne dépendent pas de hh.

  2. sin⁡(a+h)−sin⁡ah=−sin⁡a⋅1−cos⁡hh+cos⁡a⋅sin⁡hh→−sin⁡a⋅0+cos⁡a⋅1=cos⁡a\frac{\sin(a + h) - \sin a}{h} = -\sin a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} + \cos a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\sin a \cdot 0 + \cos a \cdot 1 = \resaltar{\cos a}

    On divise par hh. Par le corollaire des limites trigonométriques déduites de la limite fondamentale, les deux quotients tendent vers 00 et vers 11 ; par le théorème de la limite d’une combinaison linéaire, des opérations sur les limites, le taux d’accroissement a une limite, et la forme incrémentale donne la dérivée du sinus en aa.

  3. cos⁡(a+h)−cos⁡ah=−cos⁡a⋅1−cos⁡hh−sin⁡a⋅sin⁡hh→−cos⁡a⋅0−sin⁡a⋅1=−sin⁡a\frac{\cos(a + h) - \cos a}{h} = -\cos a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} - \sin a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\cos a \cdot 0 - \sin a \cdot 1 = \resaltar{-\sin a}

    Avec la formule du cosinus d’une somme, cos⁡(a+h)=cos⁡acos⁡h−sin⁡asin⁡h\cos(a + h) = \cos a \cos h - \sin a \sin h, le même raisonnement donne la dérivée du cosinus.

La démonstration utilise le fait que la variable se mesure en radians : la limite fondamentale compare le sinus à la longueur de l’arc. Si l’angle se mesurait en degrés, le sinus de xx degrés serait sin⁡πx180\sin \frac{\pi x}{180}, et sa dérivée porterait le facteur π180\frac{\pi}{180} (problème proposé 1). Les radians sont donc l’unité dans laquelle le sinus a pour dérivée le cosinus, sans facteur. La lecture géométrique du théorème est celle de la figure : le sinus croît là où le cosinus est strictement positif et a une tangente horizontale là où le cosinus s’annule ; la tangente au sinus à l’origine est la droite y=xy = x, et c’est pourquoi, près de 00, sin⁡x\sin x ressemble à xx, comme le disait déjà l’équivalence sin⁡x∼x\sin x \sim x de la leçon sur les infiniment petits équivalents.