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Derivate delle funzioni elementari

Riepilogo

Questa lezione deriva le funzioni elementari che la lezione che precede non ha raggiunto: il seno e il coseno, a partire dai limiti trigonometrici dell’unità 1; la tangente, la cotangente, la secante e la cosecante, con le regole del quoziente e del reciproco; l’esponenziale naturale e il logaritmo naturale, a partire dai loro limiti notevoli; e le funzioni iperboliche, a partire dall’esponenziale. Nessuna dimostrazione usa la regola della catena né la regola della funzione inversa, che vengono dopo: in ciascun caso, una formula di addizione o una proprietà dell’esponenziale o del logaritmo separa il rapporto incrementale in un fattore che dipende solo dal punto e in un altro che è un limite già noto. Con queste derivate e le regole, la lezione calcola tangenti e angoli tra curve trascendenti, e mantiene quanto annunciato nella lezione che precede: la funzione x2sin⁡1xx^2 \sin \frac{1}{x}, derivabile in 00, ha una derivata senza limite in 00.

Obiettivi di apprendimento

  1. Dimostrare che la derivata del seno è il coseno e quella del coseno è l’opposto del seno, e spiegare perché la variabile si misura in radianti.
  2. Derivare la tangente, la cotangente, la secante e la cosecante con le regole della lezione che precede, e precisare il dominio di ciascuna derivata.
  3. Dimostrare che l’esponenziale naturale è la propria derivata e che la derivata di ln⁡∣x∣\ln \abs{x} è 1x\frac{1}{x}, e ricavarne le derivate delle funzioni iperboliche.
  4. Combinare le derivate elementari con le regole per trovare tangenti e angoli tra curve, e riconoscere che una derivata può non avere limite in un punto in cui la funzione è derivabile.

Il seno e il coseno

La lezione sulle regole di derivazione ha derivato tutte le funzioni che si ottengono dall’identità e dalle costanti con le quattro operazioni: i polinomi e le funzioni razionali. Il seno non è una di esse, e la sua derivata deve venire dal suo rapporto incrementale. In 00 quel rapporto è sin⁡hh\frac{\sin h}{h}, e il limite fondamentale della trigonometria, della lezione sul teorema del confronto, dà la derivata 11. Per un punto aa qualsiasi, la formula del seno della somma separa sin⁡(a+h)\sin(a + h) in una componente che dipende solo da aa e in un’altra che dipende solo da hh; i rapporti che restano sono due limiti del corollario dei limiti trigonometrici dedotti, della stessa lezione: sin⁡hh\frac{\sin h}{h} tende a 11, e 1−cos⁡hh\frac{1 - \cos h}{h} tende a 00.

TeoremaDerivate del seno e del coseno

Il seno e il coseno sono derivabili in tutto R\mathbb{R}, e per ogni reale xx:

ddx(sin⁡x)=cos⁡x,ddx(cos⁡x)=−sin⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x

Si usano la forma incrementale della derivata, della lezione su la derivata come limite, e le formule di addizione della lezione sulle formule di addizione e sottrazione. La figura segue la tangente al grafico del seno: il suo coefficiente angolare in ogni punto è l’ordinata del coseno nello stesso punto; alla fine, la tangente al grafico del coseno ha per coefficiente angolare l’opposto del seno.

Dimostrazione

  1. sin⁡(a+h)−sin⁡a=sin⁡acos⁡h+cos⁡asin⁡h−sin⁡a=sin⁡a(cos⁡h−1)+cos⁡asin⁡h\sin(a + h) - \sin a = \sin a \cos h + \cos a \sin h - \sin a = \dato{s}{\sin a \left(\cos h - 1\right) + \cos a \sin h}

    Siano aa un numero reale e h≠0h \neq 0. Per la formula del seno della somma, l’incremento del seno si separa in due termini: uno con il fattore cos⁡h−1\cos h - 1 e un altro con il fattore sin⁡h\sin h; i fattori sin⁡a\sin a e cos⁡a\cos a non dipendono da hh.

  2. sin⁡(a+h)−sin⁡ah=−sin⁡a⋅1−cos⁡hh+cos⁡a⋅sin⁡hh→−sin⁡a⋅0+cos⁡a⋅1=cos⁡a\frac{\sin(a + h) - \sin a}{h} = -\sin a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} + \cos a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\sin a \cdot 0 + \cos a \cdot 1 = \resaltar{\cos a}

    Si divide per hh. Per il corollario dei limiti trigonometrici dedotti, i due rapporti tendono a 00 e a 11; per il teorema del limite di una combinazione lineare, dell’algebra dei limiti, il rapporto incrementale ha limite, e la forma incrementale dà la derivata del seno in aa.

  3. cos⁡(a+h)−cos⁡ah=−cos⁡a⋅1−cos⁡hh−sin⁡a⋅sin⁡hh→−cos⁡a⋅0−sin⁡a⋅1=−sin⁡a\frac{\cos(a + h) - \cos a}{h} = -\cos a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} - \sin a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\cos a \cdot 0 - \sin a \cdot 1 = \resaltar{-\sin a}

    Con la formula del coseno della somma, cos⁡(a+h)=cos⁡acos⁡h−sin⁡asin⁡h\cos(a + h) = \cos a \cos h - \sin a \sin h, lo stesso ragionamento dà la derivata del coseno.

La dimostrazione usa il fatto che la variabile si misura in radianti: il limite fondamentale confronta il seno con la lunghezza dell’arco. Se l’angolo si misurasse in gradi, il seno di xx gradi sarebbe sin⁡πx180\sin \frac{\pi x}{180}, e la sua derivata porterebbe il fattore π180\frac{\pi}{180} (problema proposto 1). I radianti sono, dunque, l’unità in cui il seno ha per derivata il coseno, senza fattori. La lettura geometrica del teorema è quella della figura: il seno cresce dove il coseno è positivo e ha tangente orizzontale dove il coseno si annulla; la tangente al seno nell’origine è la retta y=xy = x, e per questo, vicino a 00, sin⁡x\sin x somiglia a xx, come diceva già l’equivalenza sin⁡x∼x\sin x \sim x della lezione sugli infinitesimi equivalenti.