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Topos Uranos
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प्रारंभिक फलनों के अवकलज

सारांश

यह पाठ उन प्रारंभिक फलनों के अवकलज निकालता है जिन तक पूर्ववर्ती पाठ नहीं पहुँचा: ज्या और कोज्या, इकाई 1 की त्रिकोणमितीय सीमाओं से; स्पर्शज्या, व्युस्पर्शज्या, व्युकोज्या और व्युज्या, भागफल और व्युत्क्रम नियमों से; प्राकृतिक चरघातांकी फलन और प्राकृतिक लघुगणक, उनकी महत्वपूर्ण सीमाओं से; और अतिपरवलयिक फलन, चरघातांकी फलन से। कोई भी प्रमाण शृंखला नियम या प्रतिलोम फलन के अवकलज के नियम का उपयोग नहीं करता, जो बाद में आते हैं: प्रत्येक स्थिति में, योग का एक सूत्र या चरघातांकी फलन अथवा लघुगणक का एक नियम अंतर-भागफल को एक ऐसे गुणक में, जो केवल बिंदु पर निर्भर है, और दूसरे ऐसे गुणक में बाँटता है जो पहले से ज्ञात सीमा है। इन अवकलजों और नियमों से यह पाठ अबीजीय वक्रों की स्पर्श रेखाएँ और उनके बीच के कोण ज्ञात करता है, और पूर्ववर्ती पाठ में की गई घोषणा पूरी करता है: फलन x2sin⁡1xx^2 \sin \frac{1}{x} का, जो 00 पर अवकलनीय है, अवकलज 00 पर सीमा-रहित है।

अधिगम उद्देश्य

  1. सिद्ध करना कि ज्या का अवकलज कोज्या है और कोज्या का अवकलज ज्या का योज्य प्रतिलोम है, और स्पष्ट करना कि चर को रेडियन में क्यों मापा जाता है।
  2. पूर्ववर्ती पाठ के नियमों से स्पर्शज्या, व्युस्पर्शज्या, व्युकोज्या और व्युज्या के अवकलज निकालना, और प्रत्येक अवकलज का प्रांत निर्धारित करना।
  3. सिद्ध करना कि प्राकृतिक चरघातांकी फलन स्वयं अपना अवकलज है और कि ln⁡∣x∣\ln \abs{x} का अवकलज 1x\frac{1}{x} है, और इससे अतिपरवलयिक फलनों के अवकलज प्राप्त करना।
  4. स्पर्श रेखाएँ और वक्रों के बीच के कोण ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक फलनों के अवकलजों को नियमों के साथ जोड़ना, और पहचानना कि किसी बिंदु पर, जहाँ फलन अवकलनीय है, अवकलज की सीमा का न होना संभव है।

ज्या और कोज्या

अवकलन के नियम वाले पाठ ने उन सभी फलनों के अवकलज निकाले जो तत्समक फलन और अचरों से चार संक्रियाओं द्वारा प्राप्त होते हैं: बहुपद और परिमेय फलन। ज्या इनमें से नहीं है, और उसका अवकलज उसके अंतर-भागफल से निकालना होगा। 00 पर यह भागफल sin⁡hh\frac{\sin h}{h} है, और सैंडविच प्रमेय वाले पाठ की आधारभूत त्रिकोणमितीय सीमा अवकलज 11 देती है। किसी भी बिंदु aa के लिए, योग की ज्या का सूत्र sin⁡(a+h)\sin(a + h) को एक ऐसे हिस्से में, जो केवल aa पर निर्भर है, और दूसरे ऐसे हिस्से में बाँटता है जो केवल hh पर निर्भर है; जो भागफल बचते हैं वे उसी पाठ के उपप्रमेय “व्युत्पन्न त्रिकोणमितीय सीमाएँ” की दो सीमाएँ हैं: sin⁡hh\frac{\sin h}{h}, 11 की ओर अग्रसर होता है, और 1−cos⁡hh\frac{1 - \cos h}{h}, 00 की ओर अग्रसर होता है।

प्रमेयज्या और कोज्या के अवकलज

ज्या और कोज्या पूरे R\mathbb{R} पर अवकलनीय हैं, और प्रत्येक वास्तविक xx के लिए:

ddx(sin⁡x)=cos⁡x,ddx(cos⁡x)=−sin⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x

इसमें सीमा के रूप में अवकलज वाले पाठ के अवकलज के वृद्धि-रूप का, और योग और अंतर के सूत्रों वाले पाठ के योग-सूत्रों का उपयोग होता है। आकृति ज्या के आलेख की स्पर्श रेखा का अनुसरण करती है: प्रत्येक बिंदु पर उसकी प्रवणता उसी बिंदु पर कोज्या की कोटि के बराबर है; अंत में, कोज्या के आलेख की स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्या का योज्य प्रतिलोम है।

प्रमाण

  1. sin⁡(a+h)−sin⁡a=sin⁡acos⁡h+cos⁡asin⁡h−sin⁡a=sin⁡a(cos⁡h−1)+cos⁡asin⁡h\sin(a + h) - \sin a = \sin a \cos h + \cos a \sin h - \sin a = \dato{s}{\sin a \left(\cos h - 1\right) + \cos a \sin h}

    मान लें aa एक वास्तविक संख्या है और h≠0h \neq 0। योग की ज्या के सूत्र से, ज्या की वृद्धि दो पदों में बँट जाती है: एक गुणक cos⁡h−1\cos h - 1 वाला और दूसरा गुणक sin⁡h\sin h वाला; गुणक sin⁡a\sin a और cos⁡a\cos a, hh पर निर्भर नहीं हैं।

  2. sin⁡(a+h)−sin⁡ah=−sin⁡a⋅1−cos⁡hh+cos⁡a⋅sin⁡hh→−sin⁡a⋅0+cos⁡a⋅1=cos⁡a\frac{\sin(a + h) - \sin a}{h} = -\sin a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} + \cos a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\sin a \cdot 0 + \cos a \cdot 1 = \resaltar{\cos a}

    hh से भाग दें। उपप्रमेय “व्युत्पन्न त्रिकोणमितीय सीमाएँ” से, दोनों भागफल 00 और 11 की ओर अग्रसर होते हैं; सीमाओं के बीजगणित की रैखिक संयोजन की सीमा की प्रमेय से अंतर-भागफल की सीमा है, और अवकलज का वृद्धि-रूप aa पर ज्या का अवकलज देता है।

  3. cos⁡(a+h)−cos⁡ah=−cos⁡a⋅1−cos⁡hh−sin⁡a⋅sin⁡hh→−cos⁡a⋅0−sin⁡a⋅1=−sin⁡a\frac{\cos(a + h) - \cos a}{h} = -\cos a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} - \sin a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\cos a \cdot 0 - \sin a \cdot 1 = \resaltar{-\sin a}

    योग की कोज्या के सूत्र cos⁡(a+h)=cos⁡acos⁡h−sin⁡asin⁡h\cos(a + h) = \cos a \cos h - \sin a \sin h से, वही विचार कोज्या का अवकलज देता है।

प्रमाण इस बात का उपयोग करता है कि चर रेडियन में मापा जाता है: आधारभूत सीमा ज्या की तुलना चाप की लंबाई से करती है। यदि कोण डिग्री में मापा जाता, तो xx डिग्री की ज्या sin⁡πx180\sin \frac{\pi x}{180} होती, और उसके अवकलज में गुणक π180\frac{\pi}{180} आता (अभ्यास प्रश्न 1)। अतः रेडियन ही वह मात्रक है जिसमें ज्या का अवकलज, बिना किसी गुणक के, कोज्या है। प्रमेय का ज्यामितीय अर्थ आकृति में दिखता है: जहाँ कोज्या धनात्मक है वहाँ ज्या वर्धमान है, और जहाँ कोज्या शून्य होती है वहाँ उसकी स्पर्श रेखा क्षैतिज है; मूल बिंदु पर ज्या की स्पर्श रेखा रेखा y=xy = x है, और इसीलिए 00 के निकट sin⁡x\sin x लगभग xx के बराबर है, जैसा तुल्यता sin⁡x∼x\sin x \sim x पहले ही कहती थी, जो तुल्य अनंतसूक्ष्मों वाले पाठ में है।