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Topos Uranos
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Regole di derivazione

Riepilogo

Questa lezione deduce dalla caratterizzazione di Carathéodory le regole che permettono di derivare senza tornare ogni volta al rapporto incrementale: la derivata di una combinazione lineare, di un prodotto, di un reciproco e di un quoziente. Ogni regola si ottiene nello stesso modo: l’incremento della nuova funzione si scrive come un prodotto per x−ax - a, con un fattore continuo in aa, e il valore di quel fattore in aa è la derivata. Con le regole si derivano le potenze a esponente intero, i polinomi e le funzioni razionali. La lezione termina con le funzioni definite per casi: all’interno di ciascun intervallo vale la formula di quel caso, e nei punti di raccordo decidono le derivate unilaterali, che non sempre sono le derivate delle formule.

Obiettivi di apprendimento

  1. Dimostrare con la caratterizzazione di Carathéodory le regole della combinazione lineare, del prodotto, del reciproco e del quoziente.
  2. Derivare le potenze a esponente intero, i polinomi e le funzioni razionali, e precisare il dominio di ciascuna derivata.
  3. Decidere se una funzione definita per casi è derivabile in un punto di raccordo, con le derivate unilaterali.
  4. Distinguere le ipotesi sufficienti da quelle necessarie nelle regole, e riconoscere quando le derivate delle formule dei singoli casi non danno la derivata della funzione.

La derivata dipende solo da ciò che accade vicino al punto

La lezione su la derivata come limite ha calcolato ogni derivata con il suo rapporto incrementale. Per una funzione come x3−2xx2+1\frac{x^3 - 2x}{x^2 + 1}, quel calcolo è lungo; conviene invece sapere come si comporta la derivata rispetto alle operazioni. Tutte le regole di questa lezione si basano sulla caratterizzazione di Carathéodory, della stessa lezione: ff è derivabile in aa, con f′(a)=Lf'(a) = L, se e solo se esiste una funzione φ\varphi, continua in aa, con φ(a)=L\varphi(a) = L, tale che f(x)−f(a)=φ(x)(x−a)f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a) per ogni xx del dominio. Pertanto, per dimostrare che una funzione è derivabile in aa basta scrivere il suo incremento come un prodotto per x−ax - a con un fattore continuo in aa; il valore di quel fattore in aa è la derivata. Il teorema delle operazioni con funzioni continue, della lezione su limite e continuità, si occupa della continuità del fattore.

Prima conviene risolvere una questione di domini. Due funzioni possono avere domini diversi, e il quoziente fg\frac{f}{g} è definito solo dove gg non si annulla. Il lemma qui sotto dice che la derivata non cambia quando si riduce il dominio, purché il punto resti un punto di accumulazione, e che dipende solo dai valori vicini al punto.

LemmaCarattere locale della derivata

Siano ff una funzione definita in AA, aa un elemento di AA, BB un sottoinsieme di AA che contiene aa, e FF la restrizione di ff a BB.

  • Se aa è punto di accumulazione di BB e ff è derivabile in aa, allora FF è derivabile in aa, e F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a).
  • Se aa è punto di accumulazione di AA ed esiste un δ>0\delta > 0 tale che ogni xx di AA con ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta appartiene a BB, allora ff è derivabile in aa se e solo se lo è FF, e in tal caso F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a).

La prima affermazione è il lemma della restrizione dell’algebra dei limiti; la seconda esprime il fatto che la definizione del limite guarda solo i punti vicini.

Dimostrazione

  1. x∈B∖{a}→F(x)−F(a)x−a=f(x)−f(a)x−ax \in B \setminus \{a\} \rightarrow \frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \resaltar{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}

    Il rapporto incrementale di FF è la restrizione a B∖{a}B \setminus \{a\} di quello di ff. Se aa è punto di accumulazione di BB, il lemma del limite di una restrizione, della lezione sull’algebra dei limiti, dà lo stesso limite.

  2. x∈A∧0<∣x−a∣<min⁡{δ,δ′}→∣f(x)−f(a)x−a−L∣<εx \in A \wedge 0 < \abs{x - a} < \min\{\delta, \delta'\} \rightarrow \resaltar{\abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon}

    Nel secondo caso, ogni punto di AA diverso da aa e a distanza minore di δ\delta sta in BB: poiché aa è punto di accumulazione di AA, lo è anche di BB, e la prima affermazione dà un’implicazione. Per l’altra, se F′(a)=LF'(a) = L, siano ε>0\varepsilon > 0 e δ′\delta' una risposta per il rapporto di FF; il minore tra δ\delta e δ′\delta' è una risposta per il rapporto di ff, perché i due rapporti coincidono negli xx che esso copre.

Dalla seconda affermazione segue che due funzioni definite in AA che coincidono nei punti di AA vicini ad aa sono entrambe derivabili in aa, con la stessa derivata, oppure non lo è nessuna delle due: le due hanno la stessa restrizione a quei punti. E dalla prima, che se ff e gg hanno domini diversi, entrambi contenenti il punto aa, si può lavorare nell’intersezione dei domini, purché aa ne sia un punto di accumulazione. Per questo, in ciò che segue, ff e gg si suppongono definite in uno stesso insieme AA.