La derivata come limite di una funzione

Riepilogo

Questa lezione definisce la derivata di una funzione in un punto come un limite: quello dei coefficienti angolari delle rette secanti, che è il coefficiente angolare della retta tangente, e quello delle velocità medie, che è la velocità istantanea. Precisa in quali punti la definizione ha senso, introduce le derivate unilaterali, le rette tangente e normale, la funzione derivata e la notazione di Leibniz, e dimostra che la derivata ammette tre formulazioni equivalenti: il limite del rapporto incrementale, l’approssimazione mediante una retta con un errore trascurabile e la fattorizzazione di Carathéodory. Da quest’ultima segue che ogni funzione derivabile è continua; il valore assoluto e la radice cubica mostrano che il viceversa è falso.

Obiettivi di apprendimento

Definire la derivata di una funzione in un punto come il limite del rapporto incrementale, e interpretarla come il coefficiente angolare della retta tangente e come una velocità istantanea.
Calcolare derivate unilaterali e decidere con esse se una funzione è derivabile in un punto.
Dimostrare l’equivalenza tra il rapporto incrementale, l’approssimazione lineare e la caratterizzazione di Carathéodory.
Dimostrare che ogni funzione derivabile in un punto è continua in esso, e riconoscere funzioni continue che non sono derivabili.

La tangente e la velocità

Nella lezione sulle parabole, una retta è tangente alla curva in un punto quando la tocca solo in esso senza attraversarla. Questa idea basta per le coniche, ma non per una curva qualsiasi. Nell’origine, la curva $y = x^3$ sta sotto l’asse orizzontale a sinistra e sopra a destra: ogni retta passante per l’origine la attraversa, e le rette $y = mx$ con $m < 0$ la toccano solo in esso, perché $x^3 = mx$ richiede $x = 0$ oppure $x^2 = m$ . Nessuna retta soddisfa la condizione, eppure l’asse orizzontale è, a colpo d’occhio, la retta che meglio accompagna la curva vicino all’origine. Conviene, pertanto, un’altra definizione, che non dipenda dalla forma globale della curva ma solo da ciò che accade vicino al punto.

L’idea è antica: la tangente è la posizione limite delle rette secanti. Consideriamo una funzione $f$ e un punto $(a, f(a))$ del suo grafico. Per $h \neq 0$ , la retta secante passante per $(a, f(a))$ e per $(a + h, f(a + h))$ ha coefficiente angolare

\frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Quando $h$ si avvicina a $0$ , il secondo punto si avvicina al primo, e se i coefficienti angolari hanno un limite, la retta passante per $(a, f(a))$ con quel coefficiente angolare è la candidata a tangente.

EsempioLe secanti di una parabola

Siano $f(x) = x^2$ e $a = 1$ . Calcoliamo i coefficienti angolari di alcune secanti per il punto $(1, 1)$ e poi il loro limite. La figura mostra ciascuna secante e, alla fine, la tangente.

Dimostrazione

$\frac{f(2) - f(1)}{1} = \frac{4 - 1}{1} = \resaltar{3}$
Con $h = 1$ , la secante passa per $(1, 1)$ e $(2, 4)$ .
$\frac{f\left(\frac{3}{2}\right) - f(1)}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{4} - 1}{\frac{1}{2}} = \resaltar{\frac{5}{2}}$
Con $h = \frac{1}{2}$ , il secondo punto è $\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ e il coefficiente angolare diminuisce.
$\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = \resaltar{2 + h}$
In generale, per ogni $h \neq 0$ , positivo o negativo, il coefficiente angolare si semplifica; con $h = \frac{1}{4}$ vale $\frac{9}{4}$ .
$\lim_{h \to 0} (2 + h) = 2, \qquad y = 1 + 2(x - 1) = \resaltar{2x - 1}$
Quando $h$ tende a $0$ , il coefficiente angolare tende a $2$ . La retta passante per $(1, 1)$ con coefficiente angolare $2$ è la tangente; è la stessa data dal lemma della tangente della lezione sulle parabole, con $x^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} \, y$ .

Lo stesso limite compare nello studio di un moto. Se $s(t)$ è la posizione, all’istante $t$ , di un punto che si muove su una retta, il quoziente $\frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h}$ è la sua velocità media tra gli istanti $t_0$ e $t_0 + h$ : lo spostamento diviso per il tempo impiegato. La velocità all’istante $t_0$ , quella che segnerebbe un tachimetro, è il limite delle velocità medie quando $h$ tende a $0$ . Per esempio, se $s(t) = t^2 - 4t$ , la velocità media tra $1$ e $1 + h$ è $\frac{(1 + h)^2 - 4(1 + h) + 3}{h} = h - 2$ , che tende a $-2$ : all’istante $1$ , il punto si muove verso sinistra al ritmo di due unità di lunghezza per unità di tempo. Le due domande, quella della tangente e quella della velocità, conducono allo stesso limite, ed è questo limite che si definisce ora.

La derivata in un punto

Come nella lezione sul limite di una funzione, occorre precisare anzitutto dove il limite ha senso. Il quoziente ha bisogno del valore $f(a)$ , sicché $a$ deve appartenere al dominio; e il limite quando $x$ tende ad $a$ esige che $a$ sia punto di accumulazione del dominio.

DefinizioneDerivata di una funzione in un punto

Siano $f$ una funzione reale definita in un insieme $A$ di numeri reali, e $a$ un elemento di $A$ che è punto di accumulazione di $A$ . Il rapporto incrementale di $f$ in $a$ è la funzione $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ , definita per gli $x$ di $A$ diversi da $a$ . Si dice che $f$ è derivabile in $a$ se il rapporto incrementale ha un limite reale $L$ quando $x$ tende ad $a$ ; quel numero è la derivata di $f$ in $a$ , e si scrive $f'(a)$ :

f'(a) = L \leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)

Il quoziente è definito in $A \setminus \{a\}$ , e $a$ è punto di accumulazione di tale insieme, perché la definizione di punto di accumulazione guarda solo gli elementi diversi da $a$ . Per l’unicità del limite, la derivata, se esiste, è unica. In un punto isolato del dominio la derivata non si definisce, benché ogni funzione vi sia continua. E se il quoziente tende a $\infty$ o a $-\infty$ , la funzione non è derivabile in $a$ : la derivata è un numero reale. La definizione si scrive spesso con l’incremento $h = x - a$ al posto del punto $x$ , come nell’esempio.

ProposizioneForma incrementale della derivata

Con le ipotesi della definizione, e considerando $f(a + h)$ solo dove è definita:

f'(a) = L \Leftrightarrow \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L

È il cambio di variabile $x = a + h$ , che la proposizione di traslazione e simmetria della lezione sui limiti unilaterali ha fatto per un lato, ora per entrambi i lati insieme.

Dimostrazione

$Q(a + h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, \qquad h \neq 0 \rightarrow a + h \neq a$
Sia $Q(x)$ il rapporto incrementale. La funzione $g(h) = a + h$ , per gli $h \neq 0$ con $a + h$ in $A$ , tende ad $a$ , non assume il valore $a$ , e i suoi valori stanno nel dominio di $Q$ . Per il teorema della composizione della lezione sull’algebra dei limiti, se $Q$ tende ad $L$ in $a$ , anche $Q(a + h)$ tende a $L$ in $0$ .
$Q(x) = Q\left(a + (x - a)\right), \qquad x \neq a \rightarrow \resaltar{x - a \neq 0}$
Viceversa, la funzione $x - a$ , per gli $x$ di $A$ diversi da $a$ , tende a $0$ e non assume il valore $0$ ; composta con $h \mapsto Q(a + h)$ , dà il quoziente $Q(x)$ , che tende allo stesso limite.

Le prime derivate si calcolano direttamente. Se $f(x) = mx + b$ , il rapporto incrementale vale $\frac{m(a + h) + b - (ma + b)}{h} = m$ per ogni $h \neq 0$ , e il suo limite è $m$ : la derivata di una funzione affine è il suo coefficiente angolare in ogni punto, e la sua retta tangente è la retta stessa. In particolare, la derivata di una costante è $0$ e quella dell’identità $f(x) = x$ è $1$ . Per $f(x) = x^2$ , il calcolo dell’esempio, con $a$ al posto di $1$ , dà $\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = 2a + h$ , e la derivata è $2a$ .

Derivate unilaterali

Agli estremi di un intervallo, o in un punto dove la funzione cambia formula, conviene guardare il rapporto incrementale da ciascun lato separatamente.

DefinizioneDerivate unilaterali

Sia $a$ un elemento di $A$ che è punto di accumulazione di $A \cap \ioo{a}{\infty}$ . Si dice che $f$ è derivabile a destra in $a$ se il rapporto incrementale ha limite reale da destra in $a$ ; tale limite è la derivata destra, $f'_+(a)$ :

f'_+(a) = L \leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(a < x < a + \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)

Allo stesso modo, se $a$ è punto di accumulazione di $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ , la derivata sinistra, $f'_-(a)$ , è il limite da sinistra del rapporto incrementale, con la condizione $a - \delta < x < a$ .

ProposizioneDerivata e derivate unilaterali

Sia $a$ un elemento di $A$ .

Se $a$ è punto di accumulazione di $A \cap \ioo{a}{\infty}$ e di $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ , allora $f$ è derivabile in $a$ se e solo se le due derivate unilaterali esistono e sono uguali; in tal caso, $f'(a) = f'_+(a) = f'_-(a)$ .
Se $a$ è punto di accumulazione dei punti di $A$ di un solo lato, allora $f$ è derivabile in $a$ se e solo se è derivabile da quel lato, e la derivata è la derivata unilaterale.

Non occorre alcun argomento nuovo: le derivate unilaterali sono i limiti unilaterali del rapporto incrementale, e la lezione sui limiti unilaterali li ha già messi in relazione con il limite.

Dimostrazione

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = L \Leftrightarrow f'_+(a) = L = \resaltar{f'_-(a)}$
Nel primo caso, il teorema del limite e dei limiti unilaterali, applicato al rapporto incrementale, dà l’equivalenza.
$\left(\forall x \in A\right)\left(0 < \abs{x - a} < r \rightarrow x > a\right) \rightarrow f'(a) = \resaltar{f'_+(a)}$
Nel secondo, la stessa lezione ha osservato che, quando $a$ è punto di accumulazione dei punti del dominio di un solo lato, il limite e il limite unilaterale da quel lato coincidono: esiste un $r > 0$ tale che tutti gli $x$ di $A$ con $0 < \abs{x - a} < r$ stanno da quel lato.

Per esempio, il valore assoluto ha in $0$ il rapporto incrementale $\frac{\abs{x}}{x}$ , che vale $1$ se $x > 0$ e $-1$ se $x < 0$ : le sue derivate unilaterali sono $f'_+(0) = 1$ e $f'_-(0) = -1$ , diverse, e $\abs{x}$ non è derivabile in $0$ . Invece, se una funzione è definita in $\icc{0}{1}$ , la sua derivata in $0$ è la sua derivata destra, e in $1$ , la sua derivata sinistra: la definizione tratta già gli estremi del dominio come lati unici. Per esempio, $f(x) = x$ ristretta a $\icc{0}{1}$ è derivabile in $0$ , con $f'(0) = 1$ .

Rette tangente e normale

Con la derivata, la tangente smette di essere una figura che si riconosce a vista e diventa una retta che si calcola.

DefinizioneRetta tangente e retta normale

Sia $f$ derivabile in $a$ . La retta tangente al grafico di $f$ nel punto $(a, f(a))$ è la retta che passa per esso con coefficiente angolare $f'(a)$ :

y = f(a) + f'(a)(x - a)

La retta normale nello stesso punto è la perpendicolare alla tangente che passa per esso: se $f'(a) \neq 0$ , è la retta $y = f(a) - \frac{1}{f'(a)}(x - a)$ , e se $f'(a) = 0$ , è la retta verticale $x = a$ .

Il coefficiente angolare della normale discende dal teorema delle rette perpendicolari della lezione sull’equazione della retta: due rette non verticali sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è $-1$ . Tornando alla curva $y = x^3$ , il suo rapporto incrementale in $0$ è $x^2$ , che tende a $0$ : la tangente nell’origine è l’asse orizzontale, benché attraversi la curva. Quando $f$ è continua in $a$ e il rapporto incrementale tende a $\infty$ o a $-\infty$ , le secanti si avvicinano alla verticale; si dice allora che il grafico ha in $(a, f(a))$ una tangente verticale, la retta $x = a$ , benché $f$ non sia derivabile in $a$ .

Allo stesso modo, se $s(t)$ è la posizione di un punto che si muove su una retta, la sua velocità all’istante $t_0$ è $s'(t_0)$ , se esiste. Il suo segno indica il verso del moto, e il suo valore assoluto, il modulo della velocità. La lezione sui tassi di variazione svilupperà questa lettura.

La funzione derivata e la notazione di Leibniz

Ogni punto in cui $f$ è derivabile fornisce un numero, la sua derivata in esso. Con tutti questi numeri si forma una nuova funzione.

DefinizioneFunzione derivata

Sia $f$ una funzione definita in $A$ . La funzione derivata di $f$ è la funzione $f'$ che associa a ogni punto $x$ di $A$ in cui $f$ è derivabile il numero $f'(x)$ ; il suo dominio è l’insieme di tali punti. Se $f$ è derivabile in tutti i punti di un insieme $S$ contenuto in $A$ , si dice che è derivabile in $S$ ; e se lo è in tutto il suo dominio, semplicemente che è derivabile.

Per esempio, la derivata di $x^2$ è la funzione $2x$ , definita in tutto $\mathbb{R}$ ; quella del valore assoluto vale $1$ in $\ioo{0}{\infty}$ e $-1$ in $\ioo{-\infty}{0}$ , e il suo dominio non contiene lo $0$ . La notazione $f'$ , con l’apice, si deve a Lagrange. L’altra notazione abituale si deve a Leibniz: se $y = f(x)$ , la derivata si scrive $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ , o $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ , e l’operazione di derivare rispetto a $x$ si scrive $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ davanti all’espressione che si deriva:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2\right) = 2x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(mx + b\right) = m

La notazione ricorda da dove viene la derivata. Se $\Delta x$ è l’incremento della variabile e $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ l’incremento corrispondente della funzione, il rapporto incrementale è $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ , e la derivata è il suo limite:

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

Conviene insistere sul fatto che, per ora, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ è un unico simbolo e non un quoziente: $\mathrm{d}y$ e $\mathrm{d}x$ non hanno ancora senso separatamente; lo avranno nella lezione sulle derivate di ordine superiore e il differenziale. La notazione rende esplicita la variabile rispetto alla quale si deriva: se la posizione dipende dal tempo, la velocità si scrive $s'(t)$ o $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ .

Tre caratterizzazioni della derivata

La definizione dice che il rapporto incrementale tende a $f'(a)$ . Ci sono altri due modi di dire la stessa cosa, ciascuno utile per uno scopo diverso: il secondo confronta la funzione con la sua retta tangente; il terzo evita di dividere.

TeoremaCaratterizzazioni della derivata

Siano $f$ una funzione definita in $A$ , $a$ un elemento di $A$ che è punto di accumulazione di $A$ , e $L$ un numero reale. Le tre affermazioni seguenti sono equivalenti:

Rapporto incrementale. $f$ è derivabile in $a$ e $f'(a) = L$ .
Approssimazione lineare. $f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h)$ quando $h$ tende a $0$ ; cioè il resto $R(h) = f(a + h) - f(a) - Lh$ soddisfa $\lim_{h \to 0} \frac{R(h)}{h} = 0$ .
Carathéodory. Esiste una funzione $\varphi \colon A \to \mathbb{R}$ , continua in $a$ , con $\varphi(a) = L$ , tale che $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ per ogni $x$ di $A$ .

L’ $\operatorname{o}$ piccolo è quello della lezione sugli infinitesimi e infiniti equivalenti, con $f(a + h)$ considerata solo dove è definita. La funzione $\varphi$ è il coefficiente angolare della secante, completato in $a$ con la derivata. La figura mostra, con $f(x) = \frac{x^2 + 1}{2}$ e $a = 1$ , il resto tra la curva e la tangente, una secante e, alla fine, il grafico di $\varphi$ , che in questo caso è la retta $\varphi(x) = \frac{x + 1}{2}$ .

Dimostrazione

$\frac{R(h)}{h} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - L \to 0 \Leftrightarrow \resaltar{\frac{f(a + h) - f(a)}{h} \to L}$
Prima e seconda: il quoziente del resto per $h$ è il rapporto incrementale meno $L$ . Per il lemma del limite come distanza che tende a zero, della lezione sull’algebra dei limiti, tende a $0$ se e solo se il rapporto incrementale tende ad $L$ , e per la forma incrementale, ciò equivale a $f'(a) = L$ .
$\varphi(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} & x \neq a \\ L & x = a \end{cases}, \qquad \lim_{x \to a} \varphi(x) = L = \resaltar{\varphi(a)}$
Dalla prima alla terza: si definisce $\varphi$ come il rapporto incrementale fuori di $a$ e come $L$ in $a$ . L’uguaglianza vale in ogni $x \neq a$ per la definizione, e in $x = a$ perché i suoi due membri valgono $0$ . Poiché $a$ è punto di accumulazione di $A$ e il limite di $\varphi$ in $a$ è $L = \varphi(a)$ , la proposizione di continuità e limite della lezione su limite e continuità dà la continuità di $\varphi$ in $a$ .
$x \neq a \rightarrow \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \varphi(x) \to \varphi(a) = \resaltar{L}$
Dalla terza alla prima: se $x \neq a$ , si divide per $x - a$ , e il rapporto incrementale è la restrizione di $\varphi$ ad $A \setminus \{a\}$ . Poiché $\varphi$ è continua in $a$ , per la stessa proposizione tende a $\varphi(a) = L$ , e per il lemma della restrizione, della lezione sull’algebra dei limiti, anche il quoziente.

La funzione $\varphi$ della terza caratterizzazione, quando esiste, è unica: fuori di $a$ è il rapporto incrementale, e in $a$ il suo valore è il limite di tale quoziente. La seconda caratterizzazione spiega in che senso la tangente è la retta che meglio accompagna la curva. Se si sostituisce $f(a + h)$ con $f(a) + mh$ , con un coefficiente angolare $m$ diverso da $f'(a)$ , l’errore è $(f'(a) - m)h + \operatorname{o}(h)$ , il cui quoziente per $h$ tende a $f'(a) - m \neq 0$ : è dello stesso ordine di $h$ . Solo con il coefficiente angolare $f'(a)$ l’errore è trascurabile rispetto a $h$ . La terza caratterizzazione ha un vantaggio tecnico: è un’uguaglianza tra prodotti, senza divisioni. Le lezioni sulle regole di derivazione e sulla regola della catena la useranno per non dividere per quantità che possono annullarsi. La prima conseguenza è immediata.

TeoremaDerivabile implica continua

Se $f$ è derivabile in $a$ , allora $f$ è continua in $a$ . La fattorizzazione di Carathéodory scrive $f$ con operazioni tra funzioni continue in $a$ .

Dimostrazione

$f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a)$
Per il teorema delle caratterizzazioni, esiste $\varphi$ , continua in $a$ , tale che $f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a)$ per ogni $x$ di $A$ .
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) + \varphi(a) \cdot 0 = \resaltar{f(a)}$
La costante $f(a)$ e il polinomio $x - a$ sono continui in $a$ , e $\varphi$ pure. Per il teorema delle operazioni con funzioni continue, della lezione su limite e continuità, la somma della costante e del prodotto è continua in $a$ .

Il viceversa è falso. La continuità richiede che $f(x) - f(a)$ tenda a $0$ ; la derivabilità richiede di più: che il suo quoziente per $x - a$ abbia limite, cioè che tenda a $0$ almeno tanto rapidamente quanto $x - a$ e senza oscillare tra coefficienti angolari diversi.

ProposizioneContinuità senza derivata

Il valore assoluto e la radice cubica sono continui in $0$ e non sono derivabili in $0$ : il primo ha derivate unilaterali diverse, e il rapporto incrementale della seconda tende a $\infty$ , sicché il suo grafico ha nell’origine una tangente verticale. Entrambi sono continui per il corollario delle funzioni continue note, della lezione su limite e continuità. La figura mostra, nel valore assoluto, i due coefficienti angolari unilaterali e, nella radice cubica, secanti sempre più ripide.

Dimostrazione

$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\abs{x}}{x} = 1 \neq -1 = \lim_{x \to 0^-} \frac{\abs{x}}{x} = \resaltar{f'_-(0)}$
Il rapporto incrementale del valore assoluto in $0$ vale $1$ a destra e $-1$ a sinistra. Le derivate unilaterali sono diverse e, per la proposizione della derivata e delle derivate unilaterali, $\abs{x}$ non è derivabile in $0$ .
$\frac{\sqrt[3]{x} - 0}{x - 0} = \frac{1}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2} \to \resaltar{\infty}$
Il rapporto incrementale della radice cubica in $0$ è il reciproco di $\left(\sqrt[3]{x}\right)^2$ , che è positivo se $x \neq 0$ e tende a $0$ per la continuità della radice. Per il lemma del reciproco, della lezione sui limiti infiniti, il quoziente tende a $\infty$ , e non ha limite reale.

Le due funzioni falliscono in un solo punto, ma esistono funzioni continue su tutta la retta che non sono derivabili in alcun punto; Weierstrass presentò nel 1872 l’esempio più celebre, la cui costruzione va oltre questo corso.

Problemi risolti

I problemi crescono in difficoltà: il primo calcola una derivata che smette di esistere sul bordo del dominio; il secondo usa la tangente per scoprire una proprietà dell’iperbole; il terzo mostra che le derivate unilaterali possono non esistere; il quarto, che una funzione può essere derivabile in un solo punto; e l’ultimo combina la fattorizzazione di Carathéodory con le derivate unilaterali.

Problema risolto 1La radice quadrata sul bordo del suo dominio

Studiare la derivabilità di $f(x) = \sqrt{x}$ , definita in $\ico{0}{\infty}$ , e trovare la retta tangente nel punto di ascissa $4$ .

Soluzione

$\frac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h} = \frac{(a + h) - a}{\left(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\right) h} = \frac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}}$
Se $a > 0$ , il rapporto incrementale è una forma $\frac{0}{0}$ ; si moltiplica e si divide per l’espressione coniugata.
$f'(a) = \resaltar{\frac{1}{2\sqrt{a}}}, \qquad y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$
Per la continuità della radice, il denominatore tende a $2\sqrt{a} \neq 0$ , e per il teorema del limite del reciproco, della lezione sull’algebra dei limiti, il quoziente tende a $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ . In $a = 4$ , la derivata è $\frac{1}{4}$ e la tangente passa per $(4, 2)$ .
$\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = \resaltar{\infty}$
In $a = 0$ ci sono punti del dominio solo a destra, e per la proposizione della derivata e delle derivate unilaterali, la derivata è la derivata destra. Il quoziente è $\frac{1}{\sqrt{h}}$ , e poiché $\sqrt{h}$ è positivo e tende a $0$ , il lemma del reciproco dà $\infty$ .
$f \colon \ico{0}{\infty} \to \mathbb{R}, \qquad f' \colon \resaltar{\ioo{0}{\infty}} \to \mathbb{R}$
Pertanto, $\sqrt{x}$ è derivabile in $\ioo{0}{\infty}$ e non lo è in $0$ , dove è continua e il suo grafico ha la tangente verticale $x = 0$ . La funzione derivata ha un dominio più piccolo di quello della funzione.

Problema risolto 2La tangente all’iperbole

Dimostrare che la retta tangente a $y = \frac{1}{x}$ in un punto $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ , con $a > 0$ , forma con gli assi un triangolo di area $2$ , qualunque sia $a$ , e che il punto di tangenza è il punto medio del segmento che gli assi staccano su di essa.

Soluzione

$\frac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h} = \frac{-h}{a(a + h) \, h} = -\frac{1}{a(a + h)} \to \resaltar{-\frac{1}{a^2}}$
Il rapporto incrementale si semplifica sottraendo le frazioni; per il teorema del limite del reciproco, il suo limite è $-\frac{1}{a^2}$ .
$y = \frac{1}{a} - \frac{1}{a^2}(x - a) = \resaltar{\frac{2}{a} - \frac{x}{a^2}}$
La tangente passa per $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ con quel coefficiente angolare.
$\dato{c}{(2a, 0), \quad \left(0, \frac{2}{a}\right)}, \qquad \left(\frac{2a + 0}{2}, \frac{0 + \frac{2}{a}}{2}\right) = \resaltar{\left(a, \frac{1}{a}\right)}$
Con $y = 0$ si ottiene l’intersezione con l’asse orizzontale, e con $x = 0$ , l’intersezione con quello verticale. Il punto medio tra le due è il punto di tangenza.
$\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{2}{a} = \resaltar{2}$
Il triangolo ha cateti $2a$ e $\frac{2}{a}$ sugli assi. La sua area non dipende da $a$ : la figura mostra due di tali triangoli, di forme diverse e con la stessa area.

Problema risolto 3Continua e senza derivate unilaterali

Siano $f(x) = x \sin \frac{1}{x}$ e $g(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$ per $x \neq 0$ , e $f(0) = g(0) = 0$ . Dimostrare che $f$ è continua in $0$ e non ha in $0$ né derivata né derivate unilaterali, e che $g$ è derivabile in $0$ , con $g'(0) = 0$ .

Soluzione

$\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x \sin \frac{1}{x}}{x} = \resaltar{\sin \frac{1}{x}}$
Per il problema risolto 3 della lezione su limite e continuità, $f$ è continua in $0$ . Il suo rapporto incrementale in $0$ è $\sin \frac{1}{x}$ .
$\sin \frac{1}{x_n} = 1, \quad \sin \frac{1}{y_n} = -1, \qquad x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}, \quad y_n = \frac{1}{\frac{3\pi}{2} + 2n\pi}$
Il problema proposto 3 della lezione sul limite ha dimostrato che $\sin \frac{1}{x}$ non ha limite in $0$ con due famiglie di punti positivi, nei quali vale $1$ e $-1$ . Lo stesso argomento esclude il limite da destra; con i punti opposti, nei quali vale $-1$ e $1$ , si esclude quello da sinistra.
$\frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = x \sin \frac{1}{x} \to 0, \qquad g'(0) = \resaltar{0}$
Invece, il rapporto incrementale di $g$ è $x \sin \frac{1}{x}$ , prodotto di una funzione limitata per un’altra che tende a $0$ ; per il teorema della lezione sul teorema del confronto, tende a $0$ .
$\abs{g(x)} \leq x^2 = \resaltar{\operatorname{o}(x)}$
Le due funzioni oscillano infinite volte vicino a $0$ . L’oscillazione di $f$ è limitata da $\abs{x}$ , che è dello stesso ordine del denominatore $x - 0$ , e il quoziente continua a oscillare; quella di $g$ è limitata da $x^2$ , che è trascurabile rispetto a $x$ , e il quoziente si smorza.

Problema risolto 4Derivabile in un solo punto

Sia $f$ la funzione che vale $x^2$ se $x$ è razionale e $0$ se $x$ è irrazionale. Dimostrare che $f$ è derivabile in $0$ , con $f'(0) = 0$ , e che non è derivabile in nessun altro punto.

Soluzione

$x \in \mathbb{Q} \rightarrow x \, g(x) = x^2, \qquad x \notin \mathbb{Q} \rightarrow x \, g(x) = 0$
Sia $g$ la funzione del problema risolto 5 della lezione su limite e continuità, che vale $x$ sui razionali e $0$ sugli irrazionali. Allora $f(x) = x \, g(x)$ per ogni $x$ , in entrambi i casi.
$\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x \, g(x)}{x} = g(x) \to g(0) = 0, \qquad f'(0) = \resaltar{0}$
In $0$ , il rapporto incrementale è $g(x)$ , che tende a $g(0) = 0$ perché quel problema ha dimostrato che $g$ è continua in $0$ .
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \rightarrow \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x} = \frac{f(a)}{a} = \resaltar{g(a)}$
Sia $a \neq 0$ . Se $f$ fosse continua in $a$ , lo sarebbe anche $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ , per la regola del quoziente delle operazioni con funzioni continue, con denominatore non nullo in $a$ ; ma lo stesso problema ha dimostrato che $g$ è discontinua in $a$ . Pertanto, $f$ è discontinua in $a$ , e per il teorema per cui derivabile implica continua, non è derivabile in $a$ .

Problema risolto 5Il valore assoluto di una funzione derivabile

Sia $f$ una funzione definita in un intervallo aperto che contiene $a$ , derivabile in $a$ e con $f(a) = 0$ . Dimostrare che $F = \abs{f}$ ha in $a$ le derivate unilaterali $\abs{f'(a)}$ e $-\abs{f'(a)}$ , sicché è derivabile in $a$ se e solo se $f'(a) = 0$ . Applicarlo a $\abs{\sin x}$ e a $\abs{x^3}$ in $0$ .

Soluzione

$\frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \frac{\abs{f(x)} - \abs{f(a)}}{x - a} = \frac{\abs{\varphi(x)}\abs{x - a}}{x - a} = \begin{cases} \abs{\varphi(x)} & x > a \\ -\abs{\varphi(x)} & x < a \end{cases}$
Per la caratterizzazione di Carathéodory, $f(x) = \varphi(x)(x - a)$ , con $\varphi$ continua in $a$ e $\varphi(a) = f'(a)$ . Passando ai valori assoluti, il fattore $\abs{x - a}$ è $x - a$ a destra e $a - x$ a sinistra.
$F'_+(a) = \abs{f'(a)}, \qquad F'_-(a) = -\abs{f'(a)}, \qquad \abs{f'(a)} = -\abs{f'(a)} \Leftrightarrow \resaltar{f'(a) = 0}$
La funzione $\abs{\varphi}$ è continua in $a$ , per la composizione di funzioni continue, e tende a $\abs{f'(a)}$ . Per la proposizione della derivata e delle derivate unilaterali, $F$ è derivabile in $a$ se e solo se le due derivate unilaterali coincidono, cioè se $\abs{f'(a)} = -\abs{f'(a)}$ .
$\frac{\sin x}{x} \to 1 \neq 0, \qquad \frac{x^3}{x} = x^2 \to \resaltar{0}$
Il seno soddisfa $\sin 0 = 0$ , e il suo rapporto incrementale in $0$ è $\frac{\sin x}{x}$ , che tende a $1$ per il limite fondamentale della trigonometria: $\abs{\sin x}$ ha in $0$ derivate unilaterali $1$ e $-1$ , e non è derivabile. Il cubo ha in $0$ il quoziente $x^2$ , che tende a $0$ : $\abs{x^3}$ è derivabile in $0$ , con derivata $0$ .

Problemi proposti

I problemi crescono in difficoltà: il primo legge una derivata nella geometria del cerchio e della sfera; il secondo cerca rette normali che passano per un punto dato; il terzo mostra che una derivata unilaterale può esistere dove la funzione salta; il quarto confronta la tangente della derivata con quella della circonferenza; e l’ultimo studia un quoziente che somiglia alla derivata senza esserlo. Ciascuno ha un suggerimento, che conviene aprire solo dopo averlo tentato.

Problema proposto 1L’area del cerchio e il volume della sfera

Siano $A(r) = \pi r^2$ l’area del cerchio di raggio $r$ e $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$ il volume della sfera di raggio $r$ . Calcolare, con la definizione, $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r}$ e $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}$ , e riconoscere ciascun risultato.

Suggerimento

Sviluppa $(r + h)^2$ e $(r + h)^3$ e semplifica il rapporto incrementale prima di passare al limite. L’incremento dell’area è l’area di una corona circolare di larghezza $h$ .

Risposta

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r, \qquad \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2

Sono la lunghezza della circonferenza e l’area della superficie sferica.

Problema proposto 2Normali che passano per un punto

Trovare tutti i punti della parabola $y = x^2$ la cui retta normale passa per il punto $(0, 1)$ , e scrivere tali normali.

Suggerimento

La normale in $(a, a^2)$ ha coefficiente angolare $-\frac{1}{2a}$ se $a \neq 0$ ; imponi che passi per $(0, 1)$ . Non dimenticare il caso $a = 0$ , in cui la derivata si annulla e la normale è verticale.

Risposta

Tre punti: $(0, 0)$ , con normale $x = 0$ , e $\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ , con normali $y = 1 \mp \frac{x}{\sqrt{2}}$ .

Problema proposto 3Le derivate unilaterali della parte intera

Dimostrare che la parte intera, $E(x) = \lfloor x \rfloor$ , è derivabile in ogni reale non intero, con derivata $0$ , e che in ogni intero $n$ ha derivata destra, $0$ , ma non derivata sinistra. Ciò contraddice il teorema per cui derivabile implica continua?

Suggerimento

In un intero $n$ , a destra la funzione vale $n$ , e a sinistra, $n - 1$ : il rapporto incrementale è $0$ a destra e $\frac{-1}{x - n}$ a sinistra. Per l’ultima domanda, confronta l’ipotesi del teorema con ciò che accade in $n$ .

Risposta

E'(x) = 0 \quad (x \notin \mathbb{Z}), \qquad E'_+(n) = 0, \qquad \lim_{x \to n^-} \frac{E(x) - E(n)}{x - n} = \infty

Non c’è contraddizione: la funzione non è derivabile in $n$ ; la derivata destra dà solo la continuità a destra (il teorema, applicato alla restrizione di $E$ a $\ico{n}{\infty}$ ), che è soddisfatta.

Problema proposto 4La tangente alla circonferenza

Sia $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ , la semicirconferenza superiore di centro $(0, 0)$ e raggio $1$ . Calcolare $f'(a)$ per $-1 < a < 1$ , dimostrare che la tangente è perpendicolare al raggio che unisce l’origine con $(a, f(a))$ , come nella lezione sulla circonferenza, e studiare che cosa accade in $a = \pm 1$ .

Suggerimento

Moltiplica e dividi il rapporto incrementale per $\sqrt{1 - (a + h)^2} + \sqrt{1 - a^2}$ . Se $a \neq 0$ , il raggio ha coefficiente angolare $\frac{f(a)}{a}$ ; se $a = 0$ , è verticale. In $a = 1$ ci sono punti del dominio solo a sinistra.

Risposta

f'(a) = -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}, \qquad -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}} \cdot \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a} = -1 \quad (a \neq 0)

In $a = 0$ , la tangente è orizzontale e il raggio verticale. In $a = 1$ il quoziente tende a $-\infty$ , e in $a = -1$ , a $\infty$ : $f$ non è derivabile in $\pm 1$ , e il suo grafico ha lì tangenti verticali.

Problema proposto 5Il rapporto incrementale simmetrico

Sia $f$ definita in un intervallo aperto che contiene $a$ . Dimostrare che, se $f$ è derivabile in $a$ , allora $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a)$ . Dimostrare con $f(x) = \abs{x}$ in $a = 0$ che tale limite può esistere senza che $f$ sia derivabile.

Suggerimento

Scrivi l’approssimazione lineare per $h$ e per $-h$ e sottraile: i resti danno $\operatorname{o}(h)$ . Per il valore assoluto, il numeratore è $\abs{h} - \abs{-h}$ .

Risposta

\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a) + \frac{R(h) - R(-h)}{2h} \to f'(a), \qquad \frac{\abs{h} - \abs{-h}}{2h} = 0

Il valore assoluto ha rapporto incrementale simmetrico $0$ in $0$ , e non è derivabile in quel punto.

Soluzione svolta

Soluzione

$f(a + h) = f(a) + f'(a)h + R(h), \qquad f(a - h) = f(a) - f'(a)h + R(-h)$
Per l’approssimazione lineare, con $L = f'(a)$ , il resto $R$ soddisfa $\frac{R(h)}{h} \to 0$ . Scambiando $h$ con $-h$ , per il teorema della composizione, anche $\frac{R(-h)}{-h} \to 0$ .
$\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a) + \frac{1}{2} \cdot \frac{R(h)}{h} + \frac{1}{2} \cdot \frac{R(-h)}{-h} \to \resaltar{f'(a)}$
Si sottraggono le due uguaglianze e si divide per $2h$ ; per il teorema del limite di una combinazione lineare, i due quozienti dei resti danno $0$ .
$\frac{\abs{h} - \abs{-h}}{2h} = \resaltar{0}, \qquad f'_+(0) = 1 \neq -1 = f'_-(0)$
Per il valore assoluto in $0$ , il numeratore è nullo per ogni $h$ , e il rapporto incrementale simmetrico tende a $0$ ; tuttavia, le derivate unilaterali sono $1$ e $-1$ . Il rapporto incrementale simmetrico fa la media dei due coefficienti angolari unilaterali e nasconde il punto angoloso.

La derivata come limite di una funzione

Riepilogo

Obiettivi di apprendimento

La tangente e la velocità

La derivata in un punto

Derivate unilaterali

Rette tangente e normale

La funzione derivata e la notazione di Leibniz

Tre caratterizzazioni della derivata

Problemi risolti

Problemi proposti

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