Regola della catena per la derivata della composizione di funzioni

Riepilogo

Questa lezione dimostra la regola della catena: se $g$ è derivabile in $a$ e $f$ lo è in $g(a)$ , la composizione $f \circ g$ è derivabile in $a$ , e la sua derivata è il prodotto $f'(g(a)) \, g'(a)$ . La dimostrazione usa la caratterizzazione di Carathéodory, che non divide per nulla; la lezione spiega perché l’argomento che divide per $g(x) - g(a)$ non basta e in quale caso invece funziona. Con la regola si derivano in poche righe le composizioni di potenze, radici, funzioni razionali e trigonometriche, che con le regole già viste richiedevano sviluppi lunghi o non erano alla portata. La lezione cura anche il dominio della composizione, che la formula della derivata non mostra, e presenta la regola nella notazione di Leibniz, dove sembra una semplificazione di frazioni senza esserlo.

Obiettivi di apprendimento

Dimostrare la regola della catena con la caratterizzazione di Carathéodory, e spiegare perché la dimostrazione che divide per $g(x) - g(a)$ fallisce quando $g'(a) = 0$ .
Derivare composizioni di due o più funzioni note, valutando ogni derivata nel punto che le corrisponde.
Determinare il dominio di una composizione prima di derivarla, e riconoscere che le ipotesi della regola sono sufficienti, ma non necessarie.
Scrivere e leggere la regola della catena nella notazione di Leibniz.

La derivata di una composizione

Con le regole della lezione sulle regole di derivazione e le formule della lezione sulle derivate delle funzioni elementari si può derivare $\left(2x^2 + 1\right)^{12}$ , ma solo sviluppando la potenza in un polinomio di grado $24$ , o applicando più e più volte la regola del prodotto. E non si può ancora derivare $\sin(\cos x)$ né $\sqrt{1 + x^2}$ : nessuna regola dice che cosa fare con una funzione applicata a un’altra. Entrambe le espressioni sono composizioni: $\left(2x^2 + 1\right)^{12}$ è la potenza $t^{12}$ valutata in $t = 2x^2 + 1$ , e $\sin(\cos x)$ è il seno valutato in $t = \cos x$ .

Due casi particolari sono già noti. Il problema risolto 2 della lezione sulle funzioni elementari ha dimostrato che $f(cx + b)$ ha in $a$ la derivata $c f'(ca + b)$ : la funzione interna è lineare, di coefficiente angolare $c$ , e la derivata dell’esterna si valuta nel punto $ca + b$ , non in $a$ . E il problema proposto 4 della lezione sulle regole di derivazione ha ottenuto, per induzione, che $\left(f(x)\right)^n$ ha in $a$ la derivata $n \left(f(a)\right)^{n - 1} f'(a)$ . In entrambi i casi la derivata è un prodotto: la derivata della funzione esterna, valutata nel valore dell’interna, per la derivata dell’interna. L’idea è quella dei tassi di variazione: se $t = g(x)$ varia $g'(a)$ volte più rapidamente di $x$ , e $f(t)$ varia $f'(g(a))$ volte più rapidamente di $t$ , allora $f(g(x))$ varia $f'(g(a)) \, g'(a)$ volte più rapidamente di $x$ .

TeoremaRegola della catena

Siano $g$ una funzione definita in $A$ , derivabile in un punto $a$ di $A$ che è punto di accumulazione di $A$ , e $f$ una funzione definita in un insieme $B$ che contiene i valori di $g$ , derivabile in $b = g(a)$ . Allora $f \circ g$ è derivabile in $a$ , e

(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)

Si fattorizzano i due incrementi con la caratterizzazione di Carathéodory e si combinano: l’incremento di $f$ si valuta in $t = g(x)$ , e quello di $g$ sostituisce $t - b$ . La figura mostra, con $g(x) = x^2$ , $f(t) = \sin t$ e $a = 1$ , la secante e la tangente di $g$ , quelle di $f$ in $b = 1$ e, alla fine, quelle di $\sin\left(x^2\right)$ , il cui coefficiente angolare in $1$ è il prodotto $\cos 1 \cdot 2$ .

Dimostrazione

$g(x) - g(a) = \dato{psi}{\psi(x)(x - a)}, \quad x \in A, \qquad f(t) - f(b) = \dato{fi}{\varphi(t)(t - b)}, \quad t \in B$
Per il teorema delle caratterizzazioni della derivata, della lezione su la derivata come limite, esistono $\psi \colon A \to \mathbb{R}$ , continua in $a$ con $\psi(a) = g'(a)$ , e $\varphi \colon B \to \mathbb{R}$ , continua in $b$ con $\varphi(b) = f'(b)$ , tali che:
$f(g(x)) - f(g(a)) = \varphi(g(x)) \left(g(x) - g(a)\right) = \resaltar{\varphi(g(x)) \, \psi(x)}(x - a)$
Sia $x$ un elemento di $A$ . Il numero $t = g(x)$ appartiene a $B$ , e la seconda uguaglianza vale per esso, che sia o no uguale a $b$ ; poi, $t - b = g(x) - g(a)$ si sostituisce con la prima fattorizzazione.
$\gamma(a) = \varphi(g(a)) \, \psi(a) = \varphi(b) \, \psi(a) = \resaltar{f'(g(a)) \, g'(a)}$
Poiché $g$ è derivabile in $a$ , è continua in $a$ , per il teorema per cui derivabile implica continua; e $\varphi$ è continua in $b = g(a)$ . Per il teorema della composizione di funzioni continue, della lezione su limite e continuità, $\varphi \circ g$ è continua in $a$ , e il fattore $\gamma = (\varphi \circ g) \, \psi$ lo è per la regola del prodotto delle operazioni con funzioni continue. Poiché $a$ è punto di accumulazione di $A$ , che è il dominio di $f \circ g$ , la caratterizzazione di Carathéodory dà la derivata.

Se $g$ è derivabile in tutto $A$ e $f$ in tutto $B$ , la regola vale in ogni punto di accumulazione di $A$ , e si scrive come un’uguaglianza tra funzioni: $(f \circ g)' = (f' \circ g) \, g'$ . La derivata della funzione esterna si valuta in $g(x)$ , non in $x$ ; è l’errore più frequente nell’applicare la regola. Il vantaggio della dimostrazione sta nel suo secondo momento: la fattorizzazione di $f$ vale anche in $t = b$ , dove i suoi due membri sono nulli, sicché non importa se $g$ ripete il suo valore $g(a)$ vicino ad $a$ .

Nel resto di questa lezione

Il dominio di una composizione
Perché non basta dividere
Composizioni di funzioni note
La regola della catena nella notazione di Leibniz
Problemi risolti
Tangenti orizzontali di una composizione tripla
Derivare con una tabella di valori
Ipotesi sufficienti, non necessarie
Una funzione limitata con derivata illimitata
Una funzione composta con se stessa
Problemi proposti
La derivata di una funzione pari
Derivare un’identità
Il valore assoluto fuori dagli zeri
Un raccordo con la regola della catena
Una funzione esterna che non è derivabile