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Topos Uranos
日本語

合成関数の微分法

要約

この課では合成関数の微分法を証明する。gg が aa で微分可能であり、ff が g(a)g(a) で微分可能であれば、合成 f∘gf \circ g は aa で微分可能であり、その微分係数は積 f′(g(a)) g′(a)f'(g(a)) \, g'(a) である。証明にはカラテオドリの特徴づけを用いるが、これは何による割り算も行わない。この課では、g(x)−g(a)g(x) - g(a) で割る議論がなぜ不十分なのか、またどのような場合にはそれが通用するのかを説明する。この微分法により、累乗、根号、有理関数、三角関数の合成が数行で微分できる。これらは、これまでの公式では長い計算を要するか、手の届かないものであった。この課はまた、導関数の式には現れない合成の定義域にも注意を払い、この微分法をライプニッツの記法で示す。そこでは分数の約分のように見えるが、実際にはそうではない。

学習目標

  1. カラテオドリの特徴づけを用いて合成関数の微分法を証明し、g(x)−g(a)g(x) - g(a) で割る証明が g′(a)=0g'(a) = 0 のときになぜ破綻するかを説明する。
  2. 二つ以上の既知の関数の合成を、各導関数の値をそれぞれに対応する点でとりながら微分する。
  3. 合成関数を微分する前にその定義域を求め、この微分法の仮定が十分ではあるが必要ではないことを認識する。
  4. 合成関数の微分法をライプニッツの記法で書き、読む。

合成関数の導関数

微分法の公式についての課の公式と、初等関数の導関数についての課の結果を用いれば、(2x2+1)12\left(2x^2 + 1\right)^{12} を微分することはできるが、累乗を展開して 2424 次の多項式にするか、積の微分法を何度も繰り返し適用するしかない。また、sin⁡(cos⁡x)\sin(\cos x) も 1+x2\sqrt{1 + x^2} もまだ微分できない。関数を別の関数に適用したものをどう扱うかを述べる公式がないからである。どちらの式も合成である。(2x2+1)12\left(2x^2 + 1\right)^{12} は累乗 t12t^{12} の t=2x2+1t = 2x^2 + 1 における値であり、sin⁡(cos⁡x)\sin(\cos x) は正弦の t=cos⁡xt = \cos x における値である。

二つの特別な場合はすでに知られている。初等関数についての課の例題 2 では、f(cx+b)f(cx + b) の aa における微分係数が cf′(ca+b)c f'(ca + b) であることを示した。内側の関数は一次関数で傾きは cc であり、外側の関数の導関数は点 ca+bca + b で値をとり、aa でとるのではない。また、微分法の公式についての課の練習問題 4 では、帰納法により、(f(x))n\left(f(x)\right)^n の aa における微分係数が n(f(a))n−1f′(a)n \left(f(a)\right)^{n - 1} f'(a) であることを得た。どちらの場合も微分係数は積である。すなわち、外側の関数の導関数を内側の関数の値でとったものと、内側の関数の微分係数との積である。考え方は変化率の考え方である。t=g(x)t = g(x) の変化の速さが g′(a)g'(a) 倍（xx に比べて）であり、f(t)f(t) の変化の速さが f′(g(a))f'(g(a)) 倍（tt に比べて）であれば、f(g(x))f(g(x)) の変化の速さは f′(g(a)) g′(a)f'(g(a)) \, g'(a) 倍（xx に比べて）である。

定理合成関数の微分法

gg を AA で定義された関数で、点 aa（AA の元で AA の集積点であるもの）で微分可能なものとし、ff を集合 BB（gg の値をすべて含むもの）で定義された関数で、b=g(a)b = g(a) で微分可能なものとする。このとき f∘gf \circ g は aa で微分可能であり、

(f∘g)′(a)=f′(g(a)) g′(a)(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)

二つの増分をカラテオドリの特徴づけで分解し、それらをつなぎ合わせる。ff の増分を t=g(x)t = g(x) でとり、gg の増分で t−bt - b を置き換える。図は、g(x)=x2g(x) = x^2、f(t)=sin⁡tf(t) = \sin t、a=1a = 1 として、gg の割線と接線、ff の b=1b = 1 における割線と接線、そして最後に sin⁡(x2)\sin\left(x^2\right) の割線と接線を示す。その 11 における傾きは積 cos⁡1⋅2\cos 1 \cdot 2 である。

証明

  1. g(x)−g(a)=ψ(x)(x−a),x∈A,f(t)−f(b)=φ(t)(t−b),t∈Bg(x) - g(a) = \dato{psi}{\psi(x)(x - a)}, \quad x \in A, \qquad f(t) - f(b) = \dato{fi}{\varphi(t)(t - b)}, \quad t \in B

    極限としての導関数についての課の微分係数の特徴づけの定理により、ψ ⁣:A→R\psi \colon A \to \mathbb{R}（aa で連続で ψ(a)=g′(a)\psi(a) = g'(a) を満たすもの）と φ ⁣:B→R\varphi \colon B \to \mathbb{R}（bb で連続で φ(b)=f′(b)\varphi(b) = f'(b) を満たすもの）が存在して、以下が成り立つ：

  2. f(g(x))−f(g(a))=φ(g(x))(g(x)−g(a))=φ(g(x)) ψ(x)(x−a)f(g(x)) - f(g(a)) = \varphi(g(x)) \left(g(x) - g(a)\right) = \resaltar{\varphi(g(x)) \, \psi(x)}(x - a)

    xx を AA の元とする。数 t=g(x)t = g(x) は BB に属し、第二の等式はそれが bb に等しくてもそうでなくても成り立つ。そのうえで、t−b=g(x)−g(a)t - b = g(x) - g(a) を第一の分解で置き換える。

  3. γ(a)=φ(g(a)) ψ(a)=φ(b) ψ(a)=f′(g(a)) g′(a)\gamma(a) = \varphi(g(a)) \, \psi(a) = \varphi(b) \, \psi(a) = \resaltar{f'(g(a)) \, g'(a)}

    gg は aa で微分可能であるから、「微分可能ならば連続」の定理により aa で連続である。また φ\varphi は b=g(a)b = g(a) で連続である。極限と連続性についての課の連続関数の合成の定理により、φ∘g\varphi \circ g は aa で連続であり、因子 γ=(φ∘g) ψ\gamma = (\varphi \circ g) \, \psi も連続関数の演算における積の法則により連続である。aa は AA（f∘gf \circ g の定義域）の集積点であるから、カラテオドリの特徴づけにより微分係数が得られる。

gg が AA 全体で微分可能で、ff が BB 全体で微分可能であれば、この微分法は AA のすべての集積点で成り立ち、関数の等式として (f∘g)′=(f′∘g) g′(f \circ g)' = (f' \circ g) \, g' と書ける。外側の関数の導関数は g(x)g(x) で値をとるのであって、xx ではない。これはこの微分法を適用するときに最もよくある誤りである。この証明の利点は二番目の段階にある。ff の分解は t=bt = b でも成り立ち、そこでは両辺がともに零であるから、gg が値 g(a)g(a) を aa の近くで繰り返すかどうかは問題にならない。