Regra da cadeia para a derivada da composição de funções

Resumo

Esta aula demonstra a regra da cadeia: se $g$ é derivável em $a$ e $f$ o é em $g(a)$ , a composição $f \circ g$ é derivável em $a$ , e sua derivada é o produto $f'(g(a)) \, g'(a)$ . A demonstração usa a caracterização de Carathéodory, que não divide por nada; a aula explica por que o argumento que divide por $g(x) - g(a)$ não basta e em que caso funciona. Com a regra, derivam-se em poucas linhas as composições de potências, raízes, funções racionais e trigonométricas, que com as regras já vistas exigiam desenvolvimentos longos ou não estavam ao alcance. A aula cuida também do domínio da composição, que a fórmula da derivada não mostra, e apresenta a regra na notação de Leibniz, onde parece uma simplificação de frações sem o ser.

Objetivos de aprendizagem

Demonstrar a regra da cadeia com a caracterização de Carathéodory, e explicar por que a demonstração que divide por $g(x) - g(a)$ falha quando $g'(a) = 0$ .
Derivar composições de duas ou mais funções conhecidas, avaliando cada derivada no ponto que lhe corresponde.
Determinar o domínio de uma composição antes de derivá-la, e reconhecer que as hipóteses da regra são suficientes, mas não necessárias.
Escrever e ler a regra da cadeia na notação de Leibniz.

A derivada de uma composição

Com as regras da aula sobre as regras de derivação e as fórmulas da aula sobre as derivadas das funções elementares, pode-se derivar $\left(2x^2 + 1\right)^{12}$ , mas só desenvolvendo a potência em um polinômio de grau $24$ , ou aplicando repetidas vezes a regra do produto. E ainda não se pode derivar $\sin(\cos x)$ nem $\sqrt{1 + x^2}$ : nenhuma regra diz o que fazer com uma função aplicada a outra. As duas expressões são composições: $\left(2x^2 + 1\right)^{12}$ é a potência $t^{12}$ avaliada em $t = 2x^2 + 1$ , e $\sin(\cos x)$ é o seno avaliado em $t = \cos x$ .

Dois casos particulares já são conhecidos. O problema resolvido 2 da aula sobre as funções elementares demonstrou que $f(cx + b)$ tem em $a$ a derivada $c f'(ca + b)$ : a função interna é linear, de coeficiente angular $c$ , e a derivada da externa é avaliada no ponto $ca + b$ , não em $a$ . E o problema proposto 4 da aula sobre as regras de derivação obteve, por indução, que $\left(f(x)\right)^n$ tem em $a$ a derivada $n \left(f(a)\right)^{n - 1} f'(a)$ . Nos dois casos a derivada é um produto: a derivada da função externa, avaliada no valor da interna, vezes a derivada da interna. A ideia é a das taxas de variação: se $t = g(x)$ varia $g'(a)$ vezes mais rápido que $x$ , e $f(t)$ varia $f'(g(a))$ vezes mais rápido que $t$ , então $f(g(x))$ varia $f'(g(a)) \, g'(a)$ vezes mais rápido que $x$ .

TeoremaRegra da cadeia

Sejam $g$ uma função definida em $A$ , derivável em um ponto $a$ de $A$ que é ponto de acumulação de $A$ , e $f$ uma função definida em um conjunto $B$ que contém os valores de $g$ , derivável em $b = g(a)$ . Então $f \circ g$ é derivável em $a$ , e

(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)

Fatoram-se os dois incrementos com a caracterização de Carathéodory e combinam-se: o incremento de $f$ é avaliado em $t = g(x)$ , e o de $g$ substitui $t - b$ . A figura mostra, com $g(x) = x^2$ , $f(t) = \sin t$ e $a = 1$ , a secante e a tangente de $g$ , as de $f$ em $b = 1$ e, no final, as de $\sin\left(x^2\right)$ , cujo coeficiente angular em $1$ é o produto $\cos 1 \cdot 2$ .

Demonstração

$g(x) - g(a) = \dato{psi}{\psi(x)(x - a)}, \quad x \in A, \qquad f(t) - f(b) = \dato{fi}{\varphi(t)(t - b)}, \quad t \in B$
Pelo teorema das caracterizações da derivada, da aula sobre a derivada como limite, existem $\psi \colon A \to \mathbb{R}$ , contínua em $a$ com $\psi(a) = g'(a)$ , e $\varphi \colon B \to \mathbb{R}$ , contínua em $b$ com $\varphi(b) = f'(b)$ , tais que:
$f(g(x)) - f(g(a)) = \varphi(g(x)) \left(g(x) - g(a)\right) = \resaltar{\varphi(g(x)) \, \psi(x)}(x - a)$
Seja $x$ um elemento de $A$ . O número $t = g(x)$ pertence a $B$ , e a segunda igualdade vale para ele, seja ou não igual a $b$ ; depois, $t - b = g(x) - g(a)$ é substituído pela primeira fatoração.
$\gamma(a) = \varphi(g(a)) \, \psi(a) = \varphi(b) \, \psi(a) = \resaltar{f'(g(a)) \, g'(a)}$
Como $g$ é derivável em $a$ , é contínua em $a$ , pelo teorema de que derivável implica contínua; e $\varphi$ é contínua em $b = g(a)$ . Pelo teorema da composição de funções contínuas, da aula sobre limite e continuidade, $\varphi \circ g$ é contínua em $a$ , e o fator $\gamma = (\varphi \circ g) \, \psi$ também o é, pela regra do produto das operações com funções contínuas. Como $a$ é ponto de acumulação de $A$ , que é o domínio de $f \circ g$ , a caracterização de Carathéodory dá a derivada.

Se $g$ é derivável em todo $A$ e $f$ em todo $B$ , a regra vale em cada ponto de acumulação de $A$ , e escreve-se como uma igualdade entre funções: $(f \circ g)' = (f' \circ g) \, g'$ . A derivada da função externa é avaliada em $g(x)$ , não em $x$ ; é o erro mais frequente ao aplicar a regra. A vantagem da demonstração está no seu segundo momento: a fatoração de $f$ vale também em $t = b$ , onde seus dois membros são nulos, de modo que não importa se $g$ repete seu valor $g(a)$ perto de $a$ .

No restante desta aula

O domínio de uma composição
Por que não basta dividir
Composições de funções conhecidas
A regra da cadeia na notação de Leibniz
Problemas resolvidos
Tangentes horizontais de uma composição tripla
Derivar com uma tabela de valores
Hipóteses suficientes, não necessárias
Uma função limitada com derivada ilimitada
Uma função composta consigo mesma
Problemas propostos
A derivada de uma função par
Derivar uma identidade
O valor absoluto fora dos zeros
Uma junção com a regra da cadeia
Uma função externa que não é derivável