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Topos Uranos
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합성함수의 미분과 연쇄 법칙

요약

이 수업에서는 연쇄 법칙을 증명한다. gg가 aa에서 미분가능하고 ff가 g(a)g(a)에서 미분가능하면, 합성 f∘gf \circ g는 aa에서 미분가능하며, 그 미분계수는 곱 f′(g(a)) g′(a)f'(g(a)) \, g'(a)이다. 증명에는 카라테오도리의 특성화를 쓰는데, 이것은 무엇으로도 나누지 않는다. 이 수업은 g(x)−g(a)g(x) - g(a)로 나누는 논증이 왜 충분하지 않은지, 그리고 어떤 경우에는 그것이 통하는지를 설명한다. 이 법칙으로 거듭제곱, 근호, 유리함수, 삼각함수의 합성을 몇 줄 만에 미분할 수 있는데, 이것들은 앞서 배운 공식으로는 긴 계산이 필요하거나 손이 닿지 않던 것이다. 이 수업은 또한 도함수의 식이 보여 주지 않는 합성의 정의역에도 주의를 기울이며, 이 법칙을 라이프니츠 표기법으로 제시한다. 거기서 이 법칙은 분수의 약분처럼 보이지만 실제로는 그렇지 않다.

학습 목표

  1. 카라테오도리의 특성화로 연쇄 법칙을 증명하고, g(x)−g(a)g(x) - g(a)로 나누는 증명이 g′(a)=0g'(a) = 0일 때 왜 실패하는지 설명한다.
  2. 둘 이상의 알려진 함수의 합성을 미분하되, 각 도함수의 값을 그에 대응하는 점에서 구한다.
  3. 합성함수를 미분하기 전에 그 정의역을 구하고, 이 법칙의 가정이 충분하지만 필요하지는 않음을 인식한다.
  4. 연쇄 법칙을 라이프니츠 표기법으로 쓰고 읽는다.

합성함수의 도함수

미분법의 공식에 관한 수업의 공식과 초등함수의 도함수에 관한 수업의 결과로 (2x2+1)12\left(2x^2 + 1\right)^{12}를 미분할 수는 있지만, 거듭제곱을 전개하여 2424차 다항식으로 만들거나 곱의 미분법을 거듭 적용하는 수밖에 없다. 또 sin⁡(cos⁡x)\sin(\cos x)와 1+x2\sqrt{1 + x^2}는 아직 미분할 수 없다. 함수를 다른 함수에 적용한 것을 어떻게 다루는지 말해 주는 공식이 없기 때문이다. 두 식은 모두 합성이다. (2x2+1)12\left(2x^2 + 1\right)^{12}는 거듭제곱 t12t^{12}의 t=2x2+1t = 2x^2 + 1에서의 값이고, sin⁡(cos⁡x)\sin(\cos x)는 사인의 t=cos⁡xt = \cos x에서의 값이다.

두 가지 특수한 경우는 이미 알려져 있다. 초등함수에 관한 수업의 예제 2에서는 f(cx+b)f(cx + b)의 aa에서의 미분계수가 cf′(ca+b)c f'(ca + b)임을 보였다. 속함수는 일차함수이고 기울기는 cc이며, 겉함수의 도함수는 점 ca+bca + b에서 값을 구하고, aa에서 구하는 것이 아니다. 또 미분법의 공식에 관한 수업의 연습 문제 4에서는 귀납법으로 (f(x))n\left(f(x)\right)^n의 aa에서의 미분계수가 n(f(a))n−1f′(a)n \left(f(a)\right)^{n - 1} f'(a)임을 얻었다. 두 경우 모두 미분계수는 곱이다. 즉 속함수의 값에서 구한 겉함수의 도함수와 속함수의 미분계수의 곱이다. 이 생각은 변화율의 생각이다. t=g(x)t = g(x)의 변화 빠르기가 g′(a)g'(a)배(xx에 비해)이고, f(t)f(t)의 변화 빠르기가 f′(g(a))f'(g(a))배(tt에 비해)이면, f(g(x))f(g(x))의 변화 빠르기는 f′(g(a)) g′(a)f'(g(a)) \, g'(a)배(xx에 비해)이다.

정리연쇄 법칙

gg를 AA에서 정의된 함수로서 점 aa(AA의 원소로서 AA의 집적점인 것)에서 미분가능한 것이라 하고, ff를 집합 BB(gg의 값을 모두 포함하는 것)에서 정의된 함수로서 b=g(a)b = g(a)에서 미분가능한 것이라 하자. 그러면 f∘gf \circ g는 aa에서 미분가능하며,

(f∘g)′(a)=f′(g(a)) g′(a)(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)

두 증분을 카라테오도리의 특성화로 분해하고 차례로 잇는다. ff의 증분은 t=g(x)t = g(x)에서 값을 구하고, gg의 증분으로 t−bt - b를 바꾼다. 그림은 g(x)=x2g(x) = x^2, f(t)=sin⁡tf(t) = \sin t, a=1a = 1로 하여 gg의 할선과 접선, ff의 b=1b = 1에서의 할선과 접선, 그리고 마지막으로 sin⁡(x2)\sin\left(x^2\right)의 할선과 접선을 보여 준다. 그 11에서의 기울기는 곱 cos⁡1⋅2\cos 1 \cdot 2이다.

증명

  1. g(x)−g(a)=ψ(x)(x−a),x∈A,f(t)−f(b)=φ(t)(t−b),t∈Bg(x) - g(a) = \dato{psi}{\psi(x)(x - a)}, \quad x \in A, \qquad f(t) - f(b) = \dato{fi}{\varphi(t)(t - b)}, \quad t \in B

    극한으로서의 도함수에 관한 수업의 미분계수의 특성화 정리에 의해, ψ ⁣:A→R\psi \colon A \to \mathbb{R}(aa에서 연속이고 ψ(a)=g′(a)\psi(a) = g'(a)인 것)와 φ ⁣:B→R\varphi \colon B \to \mathbb{R}(bb에서 연속이고 φ(b)=f′(b)\varphi(b) = f'(b)인 것)가 존재하여 아래가 성립한다:

  2. f(g(x))−f(g(a))=φ(g(x))(g(x)−g(a))=φ(g(x)) ψ(x)(x−a)f(g(x)) - f(g(a)) = \varphi(g(x)) \left(g(x) - g(a)\right) = \resaltar{\varphi(g(x)) \, \psi(x)}(x - a)

    xx를 AA의 원소라 하자. 수 t=g(x)t = g(x)는 BB에 속하고, 둘째 등식은 그것이 bb와 같든 같지 않든 그것에 대해 성립한다. 이어서 t−b=g(x)−g(a)t - b = g(x) - g(a)를 첫째 분해로 바꾼다.

  3. γ(a)=φ(g(a)) ψ(a)=φ(b) ψ(a)=f′(g(a)) g′(a)\gamma(a) = \varphi(g(a)) \, \psi(a) = \varphi(b) \, \psi(a) = \resaltar{f'(g(a)) \, g'(a)}

    gg는 aa에서 미분가능하므로 ‘미분가능하면 연속’ 정리에 의해 aa에서 연속이다. 또 φ\varphi는 b=g(a)b = g(a)에서 연속이다. 극한과 연속성에 관한 수업의 연속함수의 합성 정리에 의해 φ∘g\varphi \circ g는 aa에서 연속이고, 인수 γ=(φ∘g) ψ\gamma = (\varphi \circ g) \, \psi도 연속함수의 연산에서의 곱의 법칙에 의해 연속이다. aa는 AA(f∘gf \circ g의 정의역)의 집적점이므로, 카라테오도리의 특성화가 미분계수를 준다.

gg가 AA 전체에서 미분가능하고 ff가 BB 전체에서 미분가능하면, 이 법칙은 AA의 모든 집적점에서 성립하며, 함수 사이의 등식 (f∘g)′=(f′∘g) g′(f \circ g)' = (f' \circ g) \, g'로 쓸 수 있다. 겉함수의 도함수는 g(x)g(x)에서 값을 구하며, xx에서 구하는 것이 아니다. 이것이 이 법칙을 적용할 때 가장 흔한 오류이다. 이 증명의 장점은 그 둘째 과정에 있다. ff의 분해는 t=bt = b에서도 성립하고, 거기서 양변이 모두 영이므로, gg가 값 g(a)g(a)를 aa 근처에서 반복하는지는 상관없다.