Derivate: introduzione

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1. Domanda 1La funzione $f(x) = \frac{1}{2x + 1}$ è definita in $0$. A partire dalla definizione di derivata, qual è la retta tangente al suo grafico nel punto $(0, 1)$?

   $y = 1 - 2x$

   $y = 1 + \frac{x}{2}$

   $y = -2x$

   $y = 1 + 2x$

2. Domanda 2Calcolare la derivata di $f(x) = \frac{x^2 + 5}{x - 1}$ in $3$.

   $-\frac{1}{2}$

   $6$

   $\frac{1}{2}$

   $-1$

3. Domanda 3Calcolare la derivata di $f(x) = e^x \cos x$ in $\frac{\pi}{4}$.

   $0$

   $\sqrt{2} \, e^{\frac{\pi}{4}}$

   $-\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{4}}$

   $\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{4}}$

4. Domanda 4Calcolare la derivata di $f(x) = \cos^2(2x)$ in $\frac{\pi}{8}$.

   $-2$

   $-1$

   $2$

   $\sqrt{2}$

5. Domanda 5In quale di questi intervalli il teorema di Bolzano assicura che l’equazione $x^3 + 2x = 5$ ha una soluzione?

   $\icc{1}{2}$

   $\icc{0}{1}$

   $\icc{2}{3}$

   In nessuno, perché il teorema tratta solo le equazioni della forma $F(x) = 0$.

6. Domanda 6La funzione $f(x) = x^5 + x$ è continua e strettamente crescente in $\mathbb{R}$. Quanto vale $\left(f^{-1}\right)'(2)$?

   $\frac{1}{6}$

   $\frac{1}{81}$

   $6$

   $81$

7. Domanda 7Calcolare la derivata di $F(x) = \left(x^2 + 1\right)^x$ in $1$.

   $2 + 2\ln 2$

   $2$

   $2\ln 2$

   $1 + \ln 2$

8. Domanda 8Calcolare la derivata di ordine $5$ di $f(x) = x e^{2x}$ in $0$.

   $80$

   $16$

   $0$

   $160$

9. Domanda 9Un rettangolo conserva la sua area di $6$ centimetri quadrati mentre la sua base cresce al ritmo di $3$ centimetri al secondo. Con quale rapidità varia la sua altezza nell’istante in cui la base misura $2$ centimetri?

   Diminuisce al ritmo di $\frac{9}{2}$ centimetri al secondo.

   Non varia: l’altezza vale $3$ e la sua derivata è $0$.

   Aumenta al ritmo di $\frac{9}{2}$ centimetri al secondo.

   Diminuisce al ritmo di $\frac{3}{2}$ centimetri al secondo.

10. Domanda 10Dalle unità precedentiCalcolare $\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h}$.

    $0$

    $1$

    $-\frac{1}{2}$

    Non esiste, perché il quoziente è della forma $\frac{0}{0}$.

11. Domanda 11Dalle unità precedentiCalcolare $\lim_{h \to 0} \frac{e^{-2h} - 1}{h}$.

    $-2$

    $1$

    $2$

    $0$

12. Domanda 12Dalle unità precedentiQuale di queste funzioni è $\operatorname{o}(h)$ per $h \to 0$?

    $h \sin h$

    $\sin h$

    $\sqrt{\abs{h}}$

    $2h + h^2$

13. Domanda 13Dalle unità precedentiSe $f(x) = 2x^3 + 3$, quanto vale $f^{-1}(19)$?

    $2$

    $8$

    $\frac{1}{13721}$

    $13721$

14. Domanda 14Dalle unità precedentiQuanto vale $\cos\left(\arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$?

    $\frac{4}{5}$

    $-\frac{4}{5}$

    $\frac{16}{25}$

    $-\frac{3}{5}$