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Topos Uranos
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Derivata della funzione inversa e derivazione implicita

Riepilogo

Questa lezione dimostra che l’inversa di una funzione continua e strettamente monotona su un intervallo è derivabile in ogni punto in cui la funzione ha derivata non nulla, e che la sua derivata è il reciproco della derivata della funzione, calcolata nel punto corrispondente: riflettendo il grafico rispetto alla retta y=xy = x, una tangente di coefficiente angolare mm diventa una tangente di coefficiente angolare 1m\frac{1}{m}. La dimostrazione usa la continuità dell’inversa, della lezione sul teorema dei valori intermedi, e la caratterizzazione di Carathéodory; dove la derivata della funzione si annulla, l’inversa non è derivabile. Con il teorema si derivano l’arcoseno, l’arcocoseno, l’arcotangente, le inverse delle funzioni iperboliche, le radici e le potenze a esponente razionale. La seconda parte della lezione deriva funzioni definite da un’equazione, come i rami di una circonferenza o del folium di Cartesio, supponendo che la funzione esista e sia derivabile, e mostra che cosa accade quando questa supposizione viene meno.

Obiettivi di apprendimento

  1. Dimostrare il teorema della derivata della funzione inversa, e spiegare perché l’inversa non è derivabile dove la derivata della funzione si annulla.
  2. Derivare le funzioni trigonometriche inverse, le inverse delle funzioni iperboliche, le radici e le potenze a esponente razionale, con l’insieme in cui ciascuna derivata esiste.
  3. Derivare implicitamente una funzione definita da un’equazione, supponendo che esista e sia derivabile, e trovare così le tangenti a curve che non sono grafici di funzioni.
  4. Riconoscere quando la derivazione implicita non decide nulla: equazioni che non definiscono alcuna funzione derivabile e punti in cui il coefficiente della derivata si annulla.

La derivata della funzione inversa

Il grafico dell’inversa di una funzione iniettiva è il riflesso del grafico della funzione rispetto alla retta y=xy = x: il punto (a,b)(a, b) del primo diventa il punto (b,a)(b, a) del secondo. La riflessione scambia l’incremento orizzontale e quello verticale, cosicché una secante di coefficiente angolare mm diventa una secante di coefficiente angolare 1m\frac{1}{m}, e ci si può aspettare lo stesso dalle tangenti. La lezione sulle derivate delle funzioni elementari lo ha osservato in un caso: le tangenti ai grafici di exe^x e di ln⁡x\ln x in punti simmetrici rispetto alla retta y=xy = x hanno coefficienti angolari reciproci, eae^a e 1ea\frac{1}{e^a}.

Un calcolo rapido suggerisce la formula generale. Se f−1f^{-1} fosse derivabile, derivando l’uguaglianza f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y con la regola della catena si otterrebbe f′(f−1(y))(f−1)′(y)=1f'\left(f^{-1}(y)\right) \left(f^{-1}\right)'(y) = 1, e basterebbe dividere. Ma questo calcolo suppone ciò che bisogna dimostrare, cioè che l’inversa è derivabile, e non dice che cosa accade se f′(f−1(y))=0f'\left(f^{-1}(y)\right) = 0. Il caso esiste: x3x^3 è derivabile in 00, con derivata nulla, e la sua inversa, la radice cubica, non è derivabile in 00, per la proposizione della continuità senza derivata, della lezione su la derivata come limite. Il teorema seguente dimostra la derivabilità senza supporla, con la caratterizzazione di Carathéodory, che permette di isolare l’incremento dell’inversa senza dividere per alcun incremento.

TeoremaDerivata della funzione inversa

Sia ff una funzione continua e strettamente monotona su un intervallo II con più di un punto, e sia J=f(I)J = f(I). Se ff è derivabile in un punto aa di II e f′(a)≠0f'(a) \neq 0, allora l’inversa f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I è derivabile in b=f(a)b = f(a), e

(f−1)′(b)=1f′(a)=1f′(f−1(b))\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}

La fattorizzazione di Carathéodory di ff in aa si legge al contrario: la funzione φ\varphi non si annulla, e il suo reciproco, calcolato in f−1(y)f^{-1}(y), fattorizza l’incremento dell’inversa. La figura mostra, con f(x)=x3f(x) = x^3 e a=0,8a = 0{,}8, una secante e la tangente di ff, e poi i loro riflessi, che sono una secante e la tangente della radice cubica.

Dimostrazione

  1. f(x)−f(a)=φ(x)(x−a),x∈If(x) - f(a) = \dato{fi}{\varphi(x)(x - a)}, \qquad x \in I

    Poiché II è un intervallo con più di un punto, tutti i suoi punti sono di accumulazione per II. Per il teorema delle caratterizzazioni della derivata, della lezione sulla derivata come limite, esiste φ ⁣:I→R\varphi \colon I \to \mathbb{R}, continua in aa, con φ(a)=f′(a)\varphi(a) = f'(a), tale che:

  2. x≠a→φ(x)=f(x)−f(a)x−a≠0,φ(a)=f′(a)≠0x \neq a \rightarrow \varphi(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \neq 0, \qquad \resaltar{\varphi(a) = f'(a) \neq 0}

    La funzione φ\varphi non si annulla in alcun punto di II. In aa vale f′(a)f'(a), che non è zero; se x≠ax \neq a, la monotonia stretta dà f(x)≠f(a)f(x) \neq f(a), e φ(x)\varphi(x) è il rapporto incrementale, che nemmeno è zero.

  3. f−1(y)−f−1(b)=1φ(f−1(y))(y−b),y∈Jf^{-1}(y) - f^{-1}(b) = \dato{psi}{\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}}(y - b), \qquad y \in J

    Sia yy in JJ, e sia x=f−1(y)x = f^{-1}(y), in modo che f(x)=yf(x) = y e x−a=f−1(y)−f−1(b)x - a = f^{-1}(y) - f^{-1}(b). Si divide la fattorizzazione per φ(x)\varphi(x), che non è zero: l’incremento dell’inversa risulta fattorizzato, e non si è diviso per alcun incremento.

  4. ψ(b)=1φ(a)=1f′(a)\psi(b) = \frac{1}{\varphi(a)} = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    Per i corollari dell’immagine di un intervallo e della continuità dell’inversa, della lezione sul teorema dei valori intermedi, JJ è un intervallo, con più di un punto perché ff è iniettiva, e f−1f^{-1} è continua in bb. Poiché φ\varphi è continua in a=f−1(b)a = f^{-1}(b), per i teoremi della composizione di funzioni continue e delle operazioni con funzioni continue, della lezione su limite e continuità, il fattore ψ=1φ∘f−1\psi = \frac{1}{\varphi \circ f^{-1}} è continuo in bb. Poiché bb è punto di accumulazione per JJ, la caratterizzazione di Carathéodory dà la derivata.

La continuità di ff su tutto II si richiede perché l’inversa sia continua in bb, ed è ciò che permette di passare al limite nell’ultimo momento della dimostrazione. Se ff è derivabile su tutto II e la sua derivata non si annulla, l’inversa è derivabile su tutto JJ, e l’uguaglianza si scrive tra funzioni: (f−1)′=1f′∘f−1\left(f^{-1}\right)' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}. La derivata di ff si calcola in f−1(y)f^{-1}(y), non in yy. Nella notazione di Leibniz, se y=f(x)y = f(x) e x=f−1(y)x = f^{-1}(y), il teorema dice che dxdy=1dydx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}, con la derivata del denominatore calcolata in x=f−1(y)x = f^{-1}(y). Come nella regola della catena, la formula sembra una regola delle frazioni e non lo è. Una volta dimostrata la derivabilità, il calcolo rapido dell’inizio, che deriva f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y con la regola della catena, è un modo legittimo di ricordare la formula.

ProposizioneL’inversa dove la derivata si annulla

Sia ff una funzione continua e strettamente monotona su un intervallo II con più di un punto. Se ff è derivabile in un punto aa di II e f′(a)=0f'(a) = 0, allora f−1f^{-1} non è derivabile in b=f(a)b = f(a). Se lo fosse, la regola della catena, applicata all’identità f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x, darebbe 1=01 = 0.

Dimostrazione

  1. (f−1∘f)′(a)=(f−1)′(b) f′(a)=0\left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \left(f^{-1}\right)'(b) \, f'(a) = \resaltar{0}

    Supponiamo che f−1f^{-1} sia derivabile in bb. La funzione ff è definita su II ed è derivabile in aa, che è punto di accumulazione per II, e i suoi valori stanno in J=f(I)J = f(I), dove è definita f−1f^{-1}. Per la regola della catena, della lezione sulla regola della catena:

  2. f−1(f(x))=x→(f−1∘f)′(a)=1≠0f^{-1}(f(x)) = x \rightarrow \left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \resaltar{1 \neq 0}

    Ma f−1∘ff^{-1} \circ f è l’identità di II, la cui derivata in ogni punto è 11, come si è visto nella lezione sulla derivata come limite. La contraddizione mostra che f−1f^{-1} non è derivabile in bb.

Si può dire di più. Se y≠by \neq b, il terzo momento della dimostrazione del teorema usa soltanto che φ\varphi non si annulla fuori di aa, e vale anche se f′(a)=0f'(a) = 0: il rapporto incrementale dell’inversa è 1φ(f−1(y))\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}, e il denominatore tende a φ(a)=0\varphi(a) = 0, per la continuità della composizione. Se ff è crescente, il denominatore è positivo, e il rapporto tende a ∞\infty; se è decrescente, tende a −∞-\infty. Il grafico dell’inversa ha in (b,a)(b, a) una tangente verticale, riflesso della tangente orizzontale di ff in (a,b)(a, b), come la radice cubica nell’origine.