La variabile all’esponente e la derivazione logaritmica

Riepilogo

Questa lezione deriva le funzioni che hanno la variabile all’esponente. Tutte si riducono all’esponenziale naturale: $a^x = e^{x \ln a}$ , $x^r = e^{r \ln x}$ e $\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ , cosicché bastano la derivata di $e^x$ , quella del logaritmo e la regola della catena. Si ottengono così le derivate dell’esponenziale e del logaritmo in base qualsiasi, delle potenze a esponente reale e delle potenze la cui base e il cui esponente variano, come $x^x$ o $x^{\sin x}$ . La derivata di $\ln \abs{f(x)}$ , che è $\frac{f'(x)}{f(x)}$ , trasforma i prodotti, i quozienti e le potenze in somme: è la derivazione logaritmica, che la lezione giustifica senza supporre ciò che vuole dimostrare. Alla fine, la tangente al logaritmo che passa per l’origine decide quale sia maggiore, $\pi^e$ o $e^\pi$ , e spiega perché il risultato dipende dal numero $e$ .

Obiettivi di apprendimento

Derivare l’esponenziale e il logaritmo in base qualsiasi, e le loro composizioni, a partire dall’uguaglianza $a^x = e^{x \ln a}$ .
Derivare le potenze a esponente reale e le potenze a base ed esponente variabili, scrivendole come esponenziali di base $e$ , nel dominio in cui la base è positiva.
Applicare la derivazione logaritmica a prodotti, quozienti e potenze, verificando prima che la funzione sia derivabile e che non si annulli nel punto.
Confrontare potenze come $\pi^e$ e $e^\pi$ con la tangente al logaritmo e la disuguaglianza fondamentale dell’esponenziale.

L’esponenziale e il logaritmo in base qualsiasi

La lezione sulle derivate delle funzioni elementari ha dimostrato che $e^x$ è la propria derivata e che la derivata di $\ln x$ è $\frac{1}{x}$ , e ha annunciato che la derivata di $a^x$ è $a^x \ln a$ . Non occorre ripetere il calcolo con il rapporto incrementale: ogni base positiva è una potenza di $e$ . Per la definizione del logaritmo naturale, della lezione sulla funzione logaritmo, $e^{\ln y} = y$ per ogni $y > 0$ ; e per la proprietà del logaritmo di una potenza, della stessa lezione, $\ln\left(a^x\right) = x \ln a$ . Con la regola della catena, il resto è immediato.

TeoremaDerivate dell’esponenziale e del logaritmo in base a

Sia $a > 0$ , con $a \neq 1$ . L’esponenziale $a^x$ è derivabile in $\mathbb{R}$ , il logaritmo $\log_a x$ è derivabile in $\ioo{0}{\infty}$ , e la funzione $\log_a \abs{x}$ è derivabile in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ :

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a x\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x \neq 0)

Si scrive l’esponenziale di base $a$ con l’esponenziale naturale e si applica la regola della catena; il logaritmo in base $a$ è un multiplo costante del logaritmo naturale. La figura mostra $2^x$ , $e^x$ e $4^x$ con le loro tangenti nel punto $(0, 1)$ , di coefficienti angolari $\ln 2$ , $1$ e $\ln 4$ , e alla fine la tangente a $\log_2 x$ in $(1, 0)$ , riflesso di quella di $2^x$ .

Dimostrazione

$a^x = e^{\ln\left(a^x\right)} = \dato{base}{e^{x \ln a}}$
Sia $x$ un numero reale. Il numero $a^x$ è positivo; per la definizione del logaritmo naturale e la proprietà del logaritmo di una potenza, della lezione sulla funzione logaritmo:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{x \ln a}\right) = e^{x \ln a} \cdot \ln a = \resaltar{a^x \ln a}$
La funzione interna $x \ln a$ è lineare, di derivata $\ln a$ , e quella esterna $e^t$ è derivabile in tutto $\mathbb{R}$ , per il teorema della derivata dell’esponenziale naturale. Per la regola della catena, della lezione sulla regola della catena:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \resaltar{\frac{1}{x \ln a}}$
Per il teorema del cambiamento di base, della lezione sulla funzione logaritmo, $\log_a y = \frac{\ln y}{\ln a}$ per ogni $y > 0$ , con $\ln a \neq 0$ perché $a \neq 1$ . Per il teorema della derivata del logaritmo naturale, che vale per $\ln x$ e per $\ln \abs{x}$ , e quello della derivata di una combinazione lineare, della lezione sulle regole di derivazione:

La derivata di $a^x$ è proporzionale alla funzione, con la costante $\ln a$ , che è positiva se $a > 1$ e negativa se $0 < a < 1$ ; per l’iniettività del logaritmo, vale $1$ solo se $a = e$ . Con $a = 1$ , la funzione $1^x$ è costante e la formula continua a valere, perché $\ln 1 = 0$ . In $x = 0$ , la definizione di derivata dà il limite $\frac{a^h - 1}{h} \to \ln a$ , che è il corollario dei limiti notevoli del logaritmo e delle potenze, della lezione sulla continuità delle funzioni elementari: la derivata di $a^x$ in $0$ era già nota, e la proprietà $a^{x + h} = a^x a^h$ la trasporta in tutti i punti.

CorollarioComposizioni con l’esponenziale e il logaritmo

Sia $u$ una funzione definita in $A$ , derivabile in un punto $a$ di $A$ che è punto di accumulazione di $A$ , e sia $b > 0$ , con $b \neq 1$ . Allora $e^{u(x)}$ e $b^{u(x)}$ sono derivabili in $a$ . Se $u(a) \neq 0$ , le funzioni $\ln \abs{u(x)}$ e $\log_b \abs{u(x)}$ sono derivabili in $a$ , nel loro dominio; e se $u(a) > 0$ , lo è anche $\ln u(x)$ , con la stessa derivata di $\ln \abs{u(x)}$ . Le derivate in $x = a$ sono:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x)}, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x) \ln b}

Le prime due sono la regola della catena; le ultime due, la sua versione nel dominio della composizione, perché il logaritmo non è definito in $0$ .

Dimostrazione

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = \resaltar{b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)}$
Le funzioni esterne $e^t$ e $b^t$ sono derivabili in tutto $\mathbb{R}$ , che contiene i valori di $u$ ; la regola della catena dà le prime due derivate, in $x = a$ .
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x)}}$
La funzione $\ln \abs{t}$ è definita in $B = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ , che contiene l’intervallo di centro $u(a)$ e raggio $r = \abs{u(a)}$ , ed è derivabile in $u(a)$ , con derivata $\frac{1}{u(a)}$ . Per il corollario della regola della catena nel dominio della composizione, $a$ è punto di accumulazione del dominio di $\ln \abs{u(x)}$ , e la derivata in $x = a$ è:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{\ln b} \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x) \ln b}}$
Se $u(a) > 0$ , lo stesso corollario, con $B = \ioo{0}{\infty}$ e $r = u(a)$ , dà la derivata di $\ln u(x)$ , che è la stessa. Per la base $b$ , si divide per la costante $\ln b$ , per il cambiamento di base.

Così, la derivata di $2^{\sin x}$ è $2^{\sin x} \ln 2 \cdot \cos x$ , e quella di $\ln\left(x^2 + 1\right)$ è $\frac{2x}{x^2 + 1}$ in tutto $\mathbb{R}$ . La lezione sulla regola della catena ha derivato $\ln(\cos x)$ nel suo dominio, dove $\cos x > 0$ , e ha ottenuto $-\tan x$ ; il valore assoluto estende il risultato: $\ln \abs{\cos x}$ è definita dove $\cos x \neq 0$ , e la sua derivata è $-\tan x$ in tutto quell’insieme, che è il dominio della tangente.

Nel resto di questa lezione

Potenze a esponente reale
Potenze a base ed esponente variabili
La derivazione logaritmica
Che cosa è maggiore, pi elevato a e o e elevato a pi?
Problemi risolti
La derivata di x elevato a x
Derivazione logaritmica dove la funzione è negativa
Una derivata positiva vicino al numero e
Le due regole incomplete
L’esponenziale tangente alla retta y uguale a x
Problemi proposti
Il logaritmo in base x
Due torri di esponenti
Un prodotto in uno dei suoi zeri
Potenze razionali di basi negative
Confrontare a elevato a b con b elevato a a