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Topos Uranos
Français

Dérivées successives et différentielle

Résumé

Cette leçon dérive la dérivée. La dérivée d’une fonction est une autre fonction, qui peut à son tour être dérivée : on obtient ainsi la dérivée seconde, la dérivée troisième et, en général, la dérivée d’ordre nn, qui pour les puissances, l’exponentielle, le sinus et le cosinus a une formule close, démontrée par récurrence. La dérivée d’ordre nn d’un produit suit la même loi que la puissance d’un binôme : c’est la formule de Leibniz. La seconde moitié de la leçon donne un sens, séparément, aux signes dy\mathrm{d}y et dx\mathrm{d}x de la notation de Leibniz : la différentielle dy=f′(x) dx\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x est la partie linéaire de l’accroissement de la fonction, la seule qui en diffère d’une quantité négligeable devant l’accroissement de la variable. Avec elle, on approche des valeurs et on estime comment se propage l’erreur d’une mesure, sans prétendre encore majorer l’erreur de l’approximation.

Objectifs d’apprentissage

  1. Définir les dérivées successives, avec leur ensemble de définition, et obtenir par récurrence la dérivée d’ordre nn des puissances, de l’exponentielle, du sinus, du cosinus et des polynômes.
  2. Démontrer la formule de Leibniz pour la dérivée d’ordre nn d’un produit et l’appliquer lorsque l’un des facteurs est un polynôme.
  3. Définir la différentielle et démontrer qu’elle est la partie principale de l’accroissement, en distinguant Δy\Delta y de dy\mathrm{d}y.
  4. Approcher des valeurs et estimer des erreurs relatives avec la différentielle, en sachant ce que l’approximation affirme et ce qu’elle n’affirme pas.

Dérivées d’ordre supérieur

La dérivée d’une fonction est une autre fonction, et rien n’empêche de la dériver à nouveau. La dérivée de x3x^3 est 3x23x^2, et celle de 3x23x^2 est 6x6x ; celle de 6x6x est 66, et celle de 66 est 00. Si s(t)s(t) est la position d’un mobile à l’instant tt, sa dérivée s′(t)s'(t) est la vitesse, et la dérivée de la vitesse, qui mesure à quelle allure change la vitesse elle-même, est l’accélération ; la leçon sur les taux de variation étudiera cette lecture. Comme dans la leçon sur la dérivée comme limite, il convient de fixer avec précision où chaque dérivée est définie.

DéfinitionDérivées successives

Soit ff une fonction définie sur AA. Les dérivées successives de ff se définissent par récurrence : la dérivée d’ordre 00 est la fonction elle-même, et la dérivée d’ordre n+1n + 1 est la fonction dérivée de celle d’ordre nn :

f(0)=f,f(n+1)=(f(n))′(n≥0)f^{(0)} = f, \qquad f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)' \quad (n \geq 0)

Par la définition de la fonction dérivée, l’ensemble de définition de la dérivée d’ordre n+1n + 1 est l’ensemble des points de l’ensemble de définition de f(n)f^{(n)} où f(n)f^{(n)} est dérivable. On dit que ff est nn fois dérivable en un point aa si aa appartient à l’ensemble de définition de f(n)f^{(n)} ; sur un ensemble SS, si elle l’est en chaque point de SS ; et indéfiniment dérivable sur SS, si elle l’est pour tout nn. Les premières s’écrivent avec des primes, f′′=f(2)f'' = f^{(2)} (la dérivée seconde) et f′′′=f(3)f''' = f^{(3)} ; à partir de l’ordre quatre, avec l’ordre entre parenthèses, comme f(4)f^{(4)}, pour ne pas le confondre avec une puissance. Si y=f(x)y = f(x), on écrit en notation de Leibniz d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} et dnydxn\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}, et l’opération de dériver nn fois, dndxn\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}.

Dans la notation de Leibniz, l’exposant du numérateur indique combien de fois on applique l’opération ddx\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}, et celui du dénominateur porte sur tout le symbole dx\mathrm{d}x, non sur la variable xx ; le signe complet d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} se lit comme un tout. Si ff est nn fois dérivable en un point, chaque dérivée d’ordre strictement inférieur à nn est dérivable en ce point et, par le théorème de la leçon sur la dérivée comme limite selon lequel dérivable implique continue, elle y est continue. La dérivée seconde peut manquer même si la dérivée première existe : la leçon sur les règles de dérivation a montré que x∣x∣x \abs{x} est dérivable sur tout R\mathbb{R}, de dérivée 2∣x∣2\abs{x}, et la valeur absolue n’est pas dérivable en 00, par la proposition de la continuité sans dérivée. Par conséquent, x∣x∣x \abs{x} est dérivable une fois sur R\mathbb{R} et deux fois seulement sur R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}, où sa dérivée seconde vaut 22 à droite de 00 et −2-2 à gauche.

Pour ne pas répéter d’hypothèses sur l’ensemble de définition, les fonctions des énoncés généraux sont supposées définies sur un intervalle ouvert II, dont tous les points sont des points d’accumulation de II. On ne perd rien : par la seconde assertion du lemme du caractère local de la dérivée, de la leçon sur les règles de dérivation, en un point d’un intervalle ouvert contenu dans l’ensemble de définition, la dérivée d’une fonction est celle de sa restriction à l’intervalle, et, par récurrence, il en va de même des dérivées successives. Ainsi, 1x\frac{1}{x} s’étudie sur (−∞,0)\ioo{-\infty}{0} et sur (0,∞)\ioo{0}{\infty}.

LemmeLinéarité des dérivées successives

Soient ff et gg des fonctions définies sur un intervalle ouvert II et nn fois dérivables sur II, et soit α\alpha un nombre réel. Alors h=αf+gh = \alpha f + g est nn fois dérivable sur II, et h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)} sur II. On applique nn fois le théorème de la dérivée d’une combinaison linéaire, de la leçon sur les règles de dérivation.

Démonstration

  1. h′(x)=αf′(x)+g′(x)h'(x) = \alpha f'(x) + g'(x)

    Pour n=1n = 1, c’est le théorème de la dérivée d’une combinaison linéaire, en chaque point de II.

  2. h(n+1)(x)=αf(n+1)(x)+g(n+1)(x)h^{(n + 1)}(x) = \alpha f^{(n + 1)}(x) + \resaltar{g^{(n + 1)}(x)}

    Si l’égalité vaut pour nn, et si ff et gg sont n+1n + 1 fois dérivables sur II, la fonction h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)} est combinaison linéaire de deux fonctions dérivables sur II ; par le même théorème, elle est dérivable sur II. Par le principe de récurrence, l’égalité vaut pour tout nn.