Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Производные высших порядков и дифференциал

Краткое содержание

На этом занятии дифференцируется сама производная. Производная функции есть другая функция, которую в свою очередь можно дифференцировать: так получаются вторая производная, третья и вообще производная порядка nn, которая для степеней, экспоненты, синуса и косинуса выражается замкнутой формулой, доказываемой по индукции. Производная порядка nn от произведения подчиняется тому же закону, что и степень двучлена: это формула Лейбница. Вторая половина занятия придаёт смысл по отдельности знакам dy\mathrm{d}y и dx\mathrm{d}x обозначения Лейбница: дифференциал dy=f′(x) dx\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x есть линейная часть приращения функции, единственная, которая отличается от него на величину, пренебрежимо малую по сравнению с приращением аргумента. С его помощью вычисляются приближённые значения и оценивается, как распространяется погрешность измерения, пока без попытки оценить сверху погрешность самого приближения.

Цели обучения

  1. Определить производные высших порядков с их областью определения и получить по индукции производную порядка nn от степеней, экспоненты, синуса, косинуса и многочленов.
  2. Доказать формулу Лейбница для производной порядка nn от произведения и применять её, когда один из множителей есть многочлен.
  3. Определить дифференциал и доказать, что он есть главная часть приращения, различая Δy\Delta y и dy\mathrm{d}y.
  4. Вычислять приближённые значения и оценивать относительные погрешности с помощью дифференциала, понимая, что утверждает приближение и чего оно не утверждает.

Производные высших порядков

Производная функции есть другая функция, и ничто не мешает продифференцировать её снова. Производная от x3x^3 равна 3x23x^2, а от 3x23x^2 равна 6x6x; от 6x6x равна 66, а от 66 равна 00. Если s(t)s(t) есть положение движущегося тела в момент tt, то его производная s′(t)s'(t) есть скорость, а производная скорости, которая измеряет, как быстро меняется сама скорость, есть ускорение; это прочтение изучит занятие о скорости изменения. Как и на занятии о производной как пределе, нужно точно указать, где определена каждая производная.

ОпределениеПроизводные высших порядков

Пусть ff есть функция, определённая на AA. Производные высших порядков функции ff определяются по рекурсии: производная порядка 00 есть сама функция, а производная порядка n+1n + 1 есть производная функция от производной порядка nn:

f(0)=f,f(n+1)=(f(n))′(n≥0)f^{(0)} = f, \qquad f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)' \quad (n \geq 0)

По определению производной функции, область определения производной порядка n+1n + 1 есть множество тех точек области определения f(n)f^{(n)}, в которых f(n)f^{(n)} дифференцируема. Говорят, что ff nn раз дифференцируема в точке aa, если aa принадлежит области определения f(n)f^{(n)}; на множестве SS, если она такова в каждой точке SS; и бесконечно дифференцируема на SS, если она такова при всяком nn. Первые из них записываются штрихами, f′′=f(2)f'' = f^{(2)} (вторая производная) и f′′′=f(3)f''' = f^{(3)}; начиная с четвёртого порядка порядок пишут в скобках, как f(4)f^{(4)}, чтобы не спутать его со степенью. Если y=f(x)y = f(x), то в обозначении Лейбница пишут d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} и dnydxn\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}, а операцию nn-кратного дифференцирования обозначают dndxn\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}.

В обозначении Лейбница показатель в числителе указывает, сколько раз применяется операция ddx\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}, а показатель в знаменателе относится ко всему символу dx\mathrm{d}x, а не к переменной xx; полный знак d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} читается как единое целое. Если ff nn раз дифференцируема в точке, то каждая производная порядка меньше nn дифференцируема в ней и, по теореме занятия о производной как пределе, согласно которой из дифференцируемости следует непрерывность, непрерывна в ней. Вторая производная может не существовать, даже если первая существует: занятие о правилах дифференцирования показало, что x∣x∣x \abs{x} дифференцируема на всём R\mathbb{R} с производной 2∣x∣2\abs{x}, а модуль не дифференцируем в 00 по предложению о непрерывности без дифференцируемости. Следовательно, x∣x∣x \abs{x} дифференцируема один раз на R\mathbb{R} и дважды только на R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}, где её вторая производная равна 22 справа от 00 и −2-2 слева.

Чтобы не повторять предположений об области определения, функции в общих утверждениях считаются определёнными на интервале II, все точки которого являются предельными точками II. Ничего не теряется: по второму утверждению леммы о локальном характере производной из занятия о правилах дифференцирования, в точке интервала, содержащегося в области определения, производная функции равна производной её сужения на этот интервал, и по индукции то же верно для производных высших порядков. Так, 1x\frac{1}{x} изучается на (−∞,0)\ioo{-\infty}{0} и на (0,∞)\ioo{0}{\infty}.

ЛеммаЛинейность производных высших порядков

Пусть ff и gg есть функции, определённые на интервале II и nn раз дифференцируемые на II, и пусть α\alpha есть действительное число. Тогда h=αf+gh = \alpha f + g nn раз дифференцируема на II, и h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)} на II. Теорема о производной линейной комбинации из занятия о правилах дифференцирования применяется nn раз.

Доказательство

  1. h′(x)=αf′(x)+g′(x)h'(x) = \alpha f'(x) + g'(x)

    При n=1n = 1 это теорема о производной линейной комбинации, в каждой точке II.

  2. h(n+1)(x)=αf(n+1)(x)+g(n+1)(x)h^{(n + 1)}(x) = \alpha f^{(n + 1)}(x) + \resaltar{g^{(n + 1)}(x)}

    Если равенство верно для nn, а ff и gg n+1n + 1 раз дифференцируемы на II, то функция h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)} есть линейная комбинация двух функций, дифференцируемых на II; по той же теореме она дифференцируема на II. По принципу математической индукции равенство верно при всяком nn.