المتغير في الأس والاشتقاق اللوغاريتمي

ملخص

يشتق هذا الدرس الدوال التي يقع فيها المتغير في الأس. وكلها تُرد إلى الدالة الأسية الطبيعية: $a^x = e^{x \ln a}$ و $x^r = e^{r \ln x}$ و $\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ ، بحيث تكفي مشتقة $e^x$ ومشتقة اللوغاريتم وقاعدة السلسلة. وهكذا نحصل على مشتقات الدالة الأسية واللوغاريتم لأي أساس، ومشتقات القوى ذات الأس الحقيقي، ومشتقات القوى التي يتغير أساسها وأسها، مثل $x^x$ أو $x^{\sin x}$ . ومشتقة $\ln \abs{f(x)}$ ، وهي $\frac{f'(x)}{f(x)}$ ، تحوّل الجداءات وخوارج القسمة والقوى إلى مجاميع: هذا هو الاشتقاق اللوغاريتمي، الذي يسوّغه الدرس دون أن يفترض ما يريد برهانه. وفي الختام، يحسم المماس للوغاريتم المار بالأصل أيهما أكبر، $\pi^e$ أم $e^\pi$ ، ويفسر لماذا تتعلق النتيجة بالعدد $e$ .

أهداف التعلم

اشتقاق الدالة الأسية واللوغاريتم لأي أساس، وتركيباتهما، انطلاقًا من المساواة $a^x = e^{x \ln a}$ .
اشتقاق القوى ذات الأس الحقيقي والقوى ذات الأساس والأس المتغيرين، بكتابتها دوالَّ أسية للأساس $e$ ، على مجال التعريف الذي يكون فيه الأساس موجبًا.
تطبيق الاشتقاق اللوغاريتمي على الجداءات وخوارج القسمة والقوى، مع التحقق أولًا من أن الدالة قابلة للاشتقاق وأنها لا تنعدم عند النقطة.
مقارنة قوى مثل $\pi^e$ و $e^\pi$ بواسطة المماس للوغاريتم والمتباينة الأساسية للدالة الأسية.

الدالة الأسية واللوغاريتم لأي أساس

برهن الدرس الخاص بـمشتقات الدوال الأولية أن $e^x$ هي مشتقة نفسها وأن مشتقة $\ln x$ هي $\frac{1}{x}$ ، وأعلن أن مشتقة $a^x$ هي $a^x \ln a$ . ولا حاجة إلى إعادة الحساب بنسبة التزايد: كل أساس موجب هو قوة للعدد $e$ . فبتعريف اللوغاريتم الطبيعي، من الدرس الخاص بـالدالة اللوغاريتمية، لدينا $e^{\ln y} = y$ لكل $y > 0$ ؛ وبخاصية لوغاريتم القوة، من الدرس نفسه، $\ln\left(a^x\right) = x \ln a$ . ومع قاعدة السلسلة يصبح الباقي مباشرًا.

مبرهنةمشتقتا الدالة الأسية واللوغاريتم للأساس a

ليكن $a > 0$ ، مع $a \neq 1$ . الدالة الأسية $a^x$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ ، واللوغاريتم $\log_a x$ قابل للاشتقاق على $\ioo{0}{\infty}$ ، والدالة $\log_a \abs{x}$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ :

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a x\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x \neq 0)

تُكتب الدالة الأسية للأساس $a$ بالدالة الأسية الطبيعية وتُطبق قاعدة السلسلة؛ واللوغاريتم للأساس $a$ مضاعف ثابت للوغاريتم الطبيعي. يبيّن الرسم $2^x$ و $e^x$ و $4^x$ مع مماساتها عند النقطة $(0, 1)$ ، التي ميولها $\ln 2$ و $1$ و $\ln 4$ على الترتيب، وفي الختام المماس لـ $\log_2 x$ عند $(1, 0)$ ، وهو انعكاس مماس $2^x$ .

البرهان

$a^x = e^{\ln\left(a^x\right)} = \dato{base}{e^{x \ln a}}$
ليكن $x$ عددًا حقيقيًا. العدد $a^x$ موجب؛ وبتعريف اللوغاريتم الطبيعي وخاصية لوغاريتم القوة، من الدرس الخاص بالدالة اللوغاريتمية:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{x \ln a}\right) = e^{x \ln a} \cdot \ln a = \resaltar{a^x \ln a}$
الدالة الداخلية $x \ln a$ خطية، مشتقتها $\ln a$ ، والخارجية $e^t$ قابلة للاشتقاق على كامل $\mathbb{R}$ ، بمبرهنة مشتقة الدالة الأسية الطبيعية. وبقاعدة السلسلة، من الدرس الخاص بـقاعدة السلسلة:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \resaltar{\frac{1}{x \ln a}}$
بمبرهنة تغيير الأساس، من الدرس الخاص بالدالة اللوغاريتمية، $\log_a y = \frac{\ln y}{\ln a}$ لكل $y > 0$ ، مع $\ln a \neq 0$ لأن $a \neq 1$ . وبمبرهنة مشتقة اللوغاريتم الطبيعي، التي تصح لـ $\ln x$ ولـ $\ln \abs{x}$ ، ومبرهنة مشتقة التركيب الخطي، من الدرس الخاص بـقواعد الاشتقاق:

مشتقة $a^x$ متناسبة مع الدالة، بالثابت $\ln a$ ، الذي يكون موجبًا إذا كان $a > 1$ وسالبًا إذا كان $0 < a < 1$ ؛ وبتباين اللوغاريتم، يساوي $1$ فقط إذا كان $a = e$ . ومع $a = 1$ ، تكون الدالة $1^x$ ثابتة وتبقى الصيغة صحيحة، لأن $\ln 1 = 0$ . وعند $x = 0$ ، يعطي تعريف المشتقة النهاية $\frac{a^h - 1}{h} \to \ln a$ ، وهي نتيجة النهايات الشهيرة للوغاريتم وللقوى، من الدرس الخاص بـاتصال الدوال الأولية: فمشتقة $a^x$ عند $0$ كانت معروفة من قبل، والقانون $a^{x + h} = a^x a^h$ ينقلها إلى جميع النقاط.

نتيجةتركيبات مع الدالة الأسية واللوغاريتم

لتكن $u$ دالة معرّفة على $A$ ، قابلة للاشتقاق عند نقطة $a$ من $A$ هي نقطة تراكم لـ $A$ ، وليكن $b > 0$ ، مع $b \neq 1$ . عندئذ تكون $e^{u(x)}$ و $b^{u(x)}$ قابلتين للاشتقاق عند $a$ . وإذا كان $u(a) \neq 0$ ، فإن الدالتين $\ln \abs{u(x)}$ و $\log_b \abs{u(x)}$ قابلتان للاشتقاق عند $a$ ، على مجال تعريفهما؛ وإذا كان $u(a) > 0$ ، فإن $\ln u(x)$ قابلة للاشتقاق أيضًا، بالمشتقة نفسها التي لـ $\ln \abs{u(x)}$ . والمشتقات عند $x = a$ هي:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x)}, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x) \ln b}

الأوليان هما قاعدة السلسلة؛ والأخيرتان صيغتها على مجال تعريف التركيب، لأن اللوغاريتم غير معرّف عند $0$ .

البرهان

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = \resaltar{b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)}$
الدالتان الخارجيتان $e^t$ و $b^t$ قابلتان للاشتقاق على كامل $\mathbb{R}$ ، الذي يحوي قيم $u$ ؛ وتعطي قاعدة السلسلة المشتقتين الأوليين، عند $x = a$ .
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x)}}$
الدالة $\ln \abs{t}$ معرّفة على $B = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ ، الذي يحوي الفترة ذات المركز $u(a)$ ونصف القطر $r = \abs{u(a)}$ ، وهي قابلة للاشتقاق عند $u(a)$ ، ومشتقتها $\frac{1}{u(a)}$ . وبنتيجة قاعدة السلسلة على مجال تعريف التركيب، تكون $a$ نقطة تراكم لمجال تعريف $\ln \abs{u(x)}$ ، والمشتقة عند $x = a$ هي:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{\ln b} \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x) \ln b}}$
إذا كان $u(a) > 0$ ، فإن النتيجة نفسها، مع $B = \ioo{0}{\infty}$ و $r = u(a)$ ، تعطي مشتقة $\ln u(x)$ ، وهي نفسها. وللأساس $b$ ، نقسم على الثابت $\ln b$ ، بتغيير الأساس.

وهكذا فإن مشتقة $2^{\sin x}$ هي $2^{\sin x} \ln 2 \cdot \cos x$ ، ومشتقة $\ln\left(x^2 + 1\right)$ هي $\frac{2x}{x^2 + 1}$ على كامل $\mathbb{R}$ . وقد اشتق الدرس الخاص بقاعدة السلسلة $\ln(\cos x)$ على مجال تعريفها، حيث $\cos x > 0$ ، وحصل على $-\tan x$ ؛ والقيمة المطلقة توسّع النتيجة: $\ln \abs{\cos x}$ معرّفة حيث $\cos x \neq 0$ ، ومشتقتها $-\tan x$ على كامل هذه المجموعة، التي هي مجال تعريف دالة الظل.

في بقية هذا الدرس

القوى ذات الأس الحقيقي
القوى ذات الأساس والأس المتغيرين
الاشتقاق اللوغاريتمي
أيهما أكبر: باي أس e أم e أس باي؟
مسائل محلولة
مشتقة x أس x
الاشتقاق اللوغاريتمي حيث تكون الدالة سالبة
مشتقة موجبة قرب العدد e
القاعدتان الناقصتان
الدالة الأسية المماسة للمستقيم y يساوي x
مسائل مقترحة
اللوغاريتم للأساس x
برجان من الأسس
جداء عند أحد أصفاره
قوى نسبية لأساسات سالبة
مقارنة a أس b بـ b أس a