المشتقات المتتالية والتفاضل

المشتقات المتتالية

مشتقة دالة هي دالة أخرى، ولا شيء يمنع اشتقاقها من جديد. فمشتقة $x^3$ هي $3x^2$، ومشتقة $3x^2$ هي $6x$؛ ومشتقة $6x$ هي $6$، ومشتقة $6$ هي $0$. وإذا كانت $s(t)$ موضع متحرك في اللحظة $t$، فإن مشتقتها $s'(t)$ هي السرعة، ومشتقة السرعة، التي تقيس مدى سرعة تغير السرعة نفسها، هي التسارع؛ وسيدرس الدرس الخاص بـمعدلات التغير هذه القراءة. وكما في الدرس الخاص بـالمشتقة بوصفها نهاية، يحسن أن نحدد بدقة أين تكون كل مشتقة معرّفة.

في ترميز لايبنتس، يدل أس البسط على عدد مرات تطبيق العملية $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$، ويخص أس المقام الرمز $\mathrm{d}x$ كله، لا المتغير $x$؛ ويُقرأ الرمز الكامل $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}$ كلًّا واحدًا. وإذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق $n$ مرة عند نقطة، فإن كل مشتقة من رتبة أقل من $n$ قابلة للاشتقاق عندها، ومن ثم، بمبرهنة الدرس الخاص بالمشتقة بوصفها نهاية التي تنص على أن قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال، متصلة عندها. وقد لا توجد المشتقة الثانية رغم وجود الأولى: فقد بيّن الدرس الخاص بـقواعد الاشتقاق أن $x \abs{x}$ قابلة للاشتقاق على كامل $\mathbb{R}$، ومشتقتها $2\abs{x}$، وأن القيمة المطلقة غير قابلة للاشتقاق عند $0$، حسب قضية الاتصال دون قابلية الاشتقاق. ومن ثم فإن $x \abs{x}$ قابلة للاشتقاق مرة واحدة على $\mathbb{R}$، ومرتين على $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ فقط، حيث تساوي مشتقتها الثانية $2$ على يمين $0$ و$-2$ على يساره.

كي لا تتكرر الفرضيات حول مجال التعريف، تُعتبر الدوال الواردة في المبرهنات العامة معرّفة على فترة مفتوحة $I$، كل نقاطها نقاط تراكم لـ$I$. ولا يضيع بذلك شيء: حسب العبارة الثانية من توطئة الطابع المحلي للمشتقة، من الدرس الخاص بقواعد الاشتقاق، تكون مشتقة دالة، عند نقطة من فترة مفتوحة محتواة في مجال التعريف، هي مشتقة مقصورها على الفترة، وبالاستقراء يحدث الشيء نفسه للمشتقات المتتالية. وهكذا تُدرس $\frac{1}{x}$ على $\ioo{-\infty}{0}$ وعلى $\ioo{0}{\infty}$.