Die Variable im Exponenten und logarithmisches Differenzieren

Zusammenfassung

Diese Lektion leitet die Funktionen ab, bei denen die Variable im Exponenten steht. Alle reduzieren sich auf die natürliche Exponentialfunktion: $a^x = e^{x \ln a}$ , $x^r = e^{r \ln x}$ und $\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ , sodass die Ableitung von $e^x$ , die des Logarithmus und die Kettenregel genügen. So erhält man die Ableitungen der Exponentialfunktion und des Logarithmus zu beliebiger Basis, der Potenzen mit reellem Exponenten und der Potenzen, deren Basis und Exponent beide variieren, wie $x^x$ oder $x^{\sin x}$ . Die Ableitung von $\ln \abs{f(x)}$ , nämlich $\frac{f'(x)}{f(x)}$ , verwandelt Produkte, Quotienten und Potenzen in Summen: Das ist das logarithmische Differenzieren, das die Lektion begründet, ohne vorauszusetzen, was sie beweisen will. Am Ende entscheidet die Tangente an den Logarithmus durch den Ursprung, welche Zahl größer ist, $\pi^e$ oder $e^\pi$ , und erklärt, warum das Ergebnis von der Zahl $e$ abhängt.

Lernziele

Die Exponentialfunktion und den Logarithmus zu beliebiger Basis sowie ihre Verkettungen ableiten, ausgehend von der Gleichung $a^x = e^{x \ln a}$ .
Die Potenzen mit reellem Exponenten und die Potenzen mit variabler Basis und variablem Exponenten ableiten, indem man sie als Exponentialfunktionen zur Basis $e$ schreibt, auf dem Bereich, in dem die Basis positiv ist.
Das logarithmische Differenzieren auf Produkte, Quotienten und Potenzen anwenden und zuvor prüfen, dass die Funktion differenzierbar ist und in dem Punkt nicht verschwindet.
Potenzen wie $\pi^e$ und $e^\pi$ mit der Tangente an den Logarithmus und der Grundungleichung der Exponentialfunktion vergleichen.

Exponentialfunktion und Logarithmus zu beliebiger Basis

Die Lektion über die Ableitungen der elementaren Funktionen hat bewiesen, dass $e^x$ seine eigene Ableitung ist und dass die Ableitung von $\ln x$ gleich $\frac{1}{x}$ ist, und angekündigt, dass die Ableitung von $a^x$ gleich $a^x \ln a$ ist. Man muss die Rechnung mit dem Differenzenquotienten nicht wiederholen: Jede positive Basis ist eine Potenz von $e$ . Nach der Definition des natürlichen Logarithmus aus der Lektion über die Logarithmusfunktion gilt $e^{\ln y} = y$ für jedes $y > 0$ ; und nach dem Logarithmengesetz für Potenzen aus derselben Lektion gilt $\ln\left(a^x\right) = x \ln a$ . Mit der Kettenregel ist der Rest unmittelbar.

SatzAbleitungen der Exponentialfunktion und des Logarithmus zur Basis a

Es sei $a > 0$ mit $a \neq 1$ . Die Exponentialfunktion $a^x$ ist auf $\mathbb{R}$ differenzierbar, der Logarithmus $\log_a x$ ist auf $\ioo{0}{\infty}$ differenzierbar, und die Funktion $\log_a \abs{x}$ ist auf $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ differenzierbar:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a x\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x \neq 0)

Man schreibt die Exponentialfunktion zur Basis $a$ mit der natürlichen Exponentialfunktion und wendet die Kettenregel an; der Logarithmus zur Basis $a$ ist ein konstantes Vielfaches des natürlichen Logarithmus. Die Abbildung zeigt $2^x$ , $e^x$ und $4^x$ mit ihren Tangenten im Punkt $(0, 1)$ , mit den Steigungen $\ln 2$ , $1$ und $\ln 4$ , und am Ende die Tangente an $\log_2 x$ in $(1, 0)$ , das Spiegelbild der Tangente an $2^x$ .

Beweis

$a^x = e^{\ln\left(a^x\right)} = \dato{base}{e^{x \ln a}}$
Es sei $x$ eine reelle Zahl. Die Zahl $a^x$ ist positiv; nach der Definition des natürlichen Logarithmus und dem Logarithmengesetz für Potenzen aus der Lektion über die Logarithmusfunktion gilt:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{x \ln a}\right) = e^{x \ln a} \cdot \ln a = \resaltar{a^x \ln a}$
Die innere Funktion $x \ln a$ ist linear mit der Ableitung $\ln a$ , und die äußere $e^t$ ist auf ganz $\mathbb{R}$ differenzierbar, nach dem Satz über die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion. Nach der Kettenregel aus der Lektion über die Kettenregel gilt:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \resaltar{\frac{1}{x \ln a}}$
Nach dem Satz über den Basiswechsel aus der Lektion über die Logarithmusfunktion gilt $\log_a y = \frac{\ln y}{\ln a}$ für jedes $y > 0$ , mit $\ln a \neq 0$ , weil $a \neq 1$ . Nach dem Satz über die Ableitung des natürlichen Logarithmus, der für $\ln x$ und für $\ln \abs{x}$ gilt, und dem über die Ableitung einer Linearkombination aus der Lektion über die Ableitungsregeln gilt:

Die Ableitung von $a^x$ ist proportional zur Funktion, mit der Konstanten $\ln a$ , die für $a > 1$ positiv und für $0 < a < 1$ negativ ist; wegen der Injektivität des Logarithmus ist sie nur dann gleich $1$ , wenn $a = e$ . Für $a = 1$ ist die Funktion $1^x$ konstant, und die Formel bleibt gültig, weil $\ln 1 = 0$ . An der Stelle $x = 0$ liefert die Definition der Ableitung den Grenzwert $\frac{a^h - 1}{h} \to \ln a$ , also das Korollar über die Standardgrenzwerte des Logarithmus und der Potenzen aus der Lektion über die Stetigkeit der elementaren Funktionen: Die Ableitung von $a^x$ an der Stelle $0$ war schon bekannt, und das Gesetz $a^{x + h} = a^x a^h$ überträgt sie auf alle Stellen.

KorollarVerkettungen mit Exponentialfunktion und Logarithmus

Es sei $u$ eine auf $A$ definierte Funktion, die in einem Punkt $a$ von $A$ differenzierbar ist, der Häufungspunkt von $A$ ist, und es sei $b > 0$ mit $b \neq 1$ . Dann sind $e^{u(x)}$ und $b^{u(x)}$ in $a$ differenzierbar. Ist $u(a) \neq 0$ , so sind die Funktionen $\ln \abs{u(x)}$ und $\log_b \abs{u(x)}$ in $a$ auf ihrem Definitionsbereich differenzierbar; und ist $u(a) > 0$ , so gilt dies auch für $\ln u(x)$ , mit derselben Ableitung wie $\ln \abs{u(x)}$ . Die Ableitungen an der Stelle $x = a$ lauten:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x)}, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x) \ln b}

Die beiden ersten sind die Kettenregel; die beiden letzten ihre Fassung auf dem Definitionsbereich der Verkettung, weil der Logarithmus in $0$ nicht definiert ist.

Beweis

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = \resaltar{b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)}$
Die äußeren Funktionen $e^t$ und $b^t$ sind auf ganz $\mathbb{R}$ differenzierbar, das die Werte von $u$ enthält; die Kettenregel liefert die beiden ersten Ableitungen an der Stelle $x = a$ .
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x)}}$
Die Funktion $\ln \abs{t}$ ist auf $B = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ definiert, einer Menge, die das Intervall mit Mittelpunkt $u(a)$ und Radius $r = \abs{u(a)}$ enthält, und sie ist in $u(a)$ differenzierbar mit der Ableitung $\frac{1}{u(a)}$ . Nach dem Korollar über die Kettenregel auf dem Definitionsbereich der Verkettung ist $a$ Häufungspunkt des Definitionsbereichs von $\ln \abs{u(x)}$ , und die Ableitung an der Stelle $x = a$ lautet:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{\ln b} \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x) \ln b}}$
Ist $u(a) > 0$ , so liefert dasselbe Korollar mit $B = \ioo{0}{\infty}$ und $r = u(a)$ die Ableitung von $\ln u(x)$ , die dieselbe ist. Für die Basis $b$ dividiert man durch die Konstante $\ln b$ , nach dem Basiswechsel.

So ist die Ableitung von $2^{\sin x}$ gleich $2^{\sin x} \ln 2 \cdot \cos x$ , und die von $\ln\left(x^2 + 1\right)$ ist $\frac{2x}{x^2 + 1}$ auf ganz $\mathbb{R}$ . Die Lektion über die Kettenregel hat $\ln(\cos x)$ auf seinem Definitionsbereich abgeleitet, wo $\cos x > 0$ gilt, und $-\tan x$ erhalten; der Betrag verallgemeinert das Ergebnis: $\ln \abs{\cos x}$ ist dort definiert, wo $\cos x \neq 0$ gilt, und ihre Ableitung ist $-\tan x$ auf dieser ganzen Menge, die der Definitionsbereich des Tangens ist.

Im Rest dieser Lektion

Potenzen mit reellen Exponenten
Potenzen mit variabler Basis und variablem Exponenten
Logarithmisches Differenzieren
Was ist größer, pi hoch e oder e hoch pi?
Gelöste Aufgaben
Die Ableitung von x hoch x
Logarithmisches Differenzieren, wo die Funktion negativ ist
Eine positive Ableitung in der Nähe der Zahl e
Die beiden unvollständigen Regeln
Die Exponentialfunktion, die die Gerade y gleich x berührt
Übungsaufgaben
Der Logarithmus zur Basis x
Zwei Potenztürme
Ein Produkt an einer seiner Nullstellen
Rationale Potenzen negativer Basen
a hoch b mit b hoch a vergleichen