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Topos Uranos
Deutsch

Zwischenwertsatz

Zusammenfassung

Diese Lektion beweist den ersten großen Satz über stetige Funktionen auf einem Intervall: Eine stetige Funktion kann nicht von einem Wert zu einem anderen übergehen, ohne alle Zwischenwerte anzunehmen. Zuerst wird der Satz von Bolzano, der eine Nullstelle sichert, wenn die Funktion das Vorzeichen wechselt, mit dem Vollständigkeitsaxiom bewiesen; aus ihm folgen der Zwischenwertsatz, die Tatsache, dass das Bild eines Intervalls ein Intervall ist, und die Tatsache, dass die Umkehrfunktion einer stetigen und streng monotonen Funktion stetig ist, ein Ergebnis, das die Ableitung der Umkehrfunktion benötigt. Der Satz sagt nicht, wo die Nullstelle liegt, aber das Bisektionsverfahren grenzt sie mit beliebiger Genauigkeit ein. Die Lektion wendet ihn auf die Existenz von Lösungen von Gleichungen, auf Polynome ungeraden Grades und auf Fixpunkte an.

Lernziele

  1. Den Satz von Bolzano mit dem Vollständigkeitsaxiom beweisen und aus ihm den Zwischenwertsatz herleiten.
  2. Beweisen, dass das Bild eines Intervalls unter einer stetigen Funktion ein Intervall ist, und daraus die Stetigkeit der Umkehrfunktion einer stetigen und streng monotonen Funktion herleiten.
  3. Mit dem Satz die Existenz von Lösungen von Gleichungen beweisen und sie mit dem Bisektionsverfahren eingrenzen.

Der Satz von Bolzano

Der Graph einer auf einem Intervall stetigen Funktion wird, in der anschaulichen Vorstellung, gezeichnet, ohne den Stift abzusetzen; beginnt er unterhalb der Achse und endet er oberhalb, so muss er sie schneiden. Diese Anschauung braucht einen Beweis, denn sie hängt von den reellen Zahlen ab: Die Funktion x2−2x^2 - 2 ist an der Stelle 00 negativ und an der Stelle 22 positiv, aber wenn man nur die rationalen Zahlen betrachtete, würde sie nie verschwinden, denn 2\sqrt{2} ist nicht rational. Der Beweis verwendet daher das Vollständigkeitsaxiom, und zwar über das Supremum.

SatzSatz von Bolzano

Es sei ff stetig auf [a,b]\icc{a}{b}, mit f(a)<0<f(b)f(a) < 0 < f(b). Dann gibt es ein cc in (a,b)\ioo{a}{b} mit f(c)=0f(c) = 0. Dasselbe gilt im Fall f(a)>0>f(b)f(a) > 0 > f(b). Man nimmt das Supremum der Stellen, an denen die Funktion negativ ist; die Vorzeichenerhaltung aus der Lektion über Grenzwert und Stetigkeit verhindert, dass die Funktion dort negativ oder positiv ist. Die Abbildung zeigt die Menge dieser Stellen und ihr Supremum und danach die beiden unmöglichen Fälle.

Beweis

  1. S={x∈[a,b]:f(x)<0},c=sup⁡SS = \left\{ x \in \icc{a}{b} : f(x) < 0 \right\}, \qquad c = \resaltar{\sup S}

    Es sei SS die Menge der xx aus [a,b]\icc{a}{b} mit f(x)<0f(x) < 0. Sie ist nicht leer, denn sie enthält aa, und bb ist eine obere Schranke; nach dem Vollständigkeitsaxiom hat sie ein Supremum cc, mit a≤c≤ba \leq c \leq b.

  2. f(c)<0→c+δ2∈S,c+δ2>cf(c) < 0 \rightarrow c + \frac{\delta}{2} \in S, \qquad c + \frac{\delta}{2} > c

    Gilt f(c)<0f(c) < 0, so ist c≠bc \neq b, denn f(b)>0f(b) > 0. Nach der Vorzeichenerhaltung ist ff auf [c,c+δ)\ico{c}{c + \delta} negativ, für ein gewisses δ>0\delta > 0, das sich mit c+δ≤bc + \delta \leq b wählen lässt; dann enthält SS Stellen, die größer als cc sind, und cc wäre keine obere Schranke.

  3. f(c)>0→sup⁡S≤c−δ<c,f(c)=0f(c) > 0 \rightarrow \sup S \leq c - \delta < c, \qquad \resaltar{f(c) = 0}

    Gilt f(c)>0f(c) > 0, so ist c≠ac \neq a. Nach der Vorzeichenerhaltung ist ff auf (c−δ,c]\ioc{c - \delta}{c} positiv, für ein gewisses δ>0\delta > 0, das sich mit c−δ≥ac - \delta \geq a wählen lässt, sodass keine Stelle dieses Intervalls in SS liegt; da es auch keine größeren als cc gibt, wäre die Zahl c−δc - \delta eine obere Schranke, die kleiner als das Supremum ist. Folglich gilt f(c)=0f(c) = 0, und cc ist weder aa noch bb. Der zweite Fall wird mit −f-f auf den ersten reduziert.