Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Кривизна и радиус кривизны

Краткое содержание

В этом уроке измеряется, насколько искривляется график функции в точке. Касательная есть прямая, которая имеет в точке то же значение и ту же производную, что и функция; соприкасающаяся окружность есть та, которая имеет, кроме того, ту же вторую производную. Если дважды продифференцировать уравнение окружности, получится, что в каждой её точке некоторая комбинация первой и второй производной в точности равна её радиусу; с помощью этого в уроке доказывается, что если вторая производная функции не обращается в нуль, то соприкасающаяся окружность существует и единственна, и находятся её центр и её радиус, радиус кривизны. Обратная к нему величина есть кривизна, которая обращается в нуль там, где обращается в нуль вторая производная. Затем доказывается, что центр кривизны является пределом точек пересечения близких нормалей, как это увидел Гюйгенс, и что кривизна не меняется при перемене ролей осей, что позволяет измерять её там, где касательная вертикальна. В задачах выясняется, пересекает ли соприкасающаяся окружность график, находятся точка наибольшей кривизны экспоненты, точки наибольшей и наименьшей кривизны эллипса и радиус кривизны цепной линии, а также изучается скачок кривизны между прямой и дугой.

Цели обучения

  1. Определять соприкасающуюся окружность к графику функции в точке, доказывать, что она существует и единственна, когда вторая производная не обращается в нуль, и вычислять её центр и её радиус.
  2. Вычислять кривизну и радиус кривизны графика в точке, истолковывать нулевую кривизну и находить точки наибольшей или наименьшей кривизны графика.
  3. Получать центр кривизны как предел точек пересечения нормалей и измерять кривизну там, где касательная вертикальна, меняя роли осей.
  4. Выяснять с помощью признака экстремума по производным высших порядков, пересекает ли соприкасающаяся окружность график или остаётся по одну сторону от него.

Соприкасающаяся окружность

Касательная к графику функции ff в точке (a,f(a))(a, f(a)) есть прямая, которая имеет в точке aa то же значение и ту же производную, что и ff. Урок о выпуклости вверх и вниз и точках перегиба показал, что если f′′(a)≠0f''(a) \neq 0, то график вблизи aa лежит по одну сторону от своей касательной: над ней, если f′′(a)>0f''(a) > 0, и под ней, если f′′(a)<0f''(a) < 0. Но он не сказал, насколько график от неё отклоняется, то есть насколько он искривляется. Чтобы это измерить, удобно сравнить его с кривыми, которые искривляются всюду одинаково, с окружностями: маленькая окружность искривляется сильно, а большая слабо. Окружность не является графиком функции, потому что каждая вертикальная прямая, проходящая через её внутренность, пересекает её дважды; но каждая из двух её половин без концов является графиком функции.

ЛеммаПроизводные полуокружности

Пусть (h,k)(h, k) есть точка плоскости, r>0r > 0, σ\sigma равно 11 или −1-1, и u(x)=k+σr2−(x−h)2u(x) = k + \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2} при xx из (h−r,h+r)\ioo{h - r}{h + r}; график этой функции есть верхняя полуокружность, если σ=1\sigma = 1, или нижняя, если σ=−1\sigma = -1, с центром (h,k)(h, k) и радиусом rr, без концов. Тогда uu, u′u' и u′′u'' дифференцируемы на (h−r,h+r)\ioo{h - r}{h + r}, u(x)≠ku(x) \neq k, и в каждой точке xx интервала:

(x−h)+(u(x)−k)u′(x)=0,1+(u′(x))2+(u(x)−k)u′′(x)=0(x - h) + \left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = 0

Следовательно, u′′(x)u''(x) не обращается в нуль и имеет знак −σ-\sigma, так что нижняя полуокружность строго выпукла вниз, а верхняя строго выпукла вверх, и во всех её точках:

(1+(u′(x))2)32∣u′′(x)∣=r\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r

Доказательство

  1. (x−h)2+(u(x)−k)2=r2,x∈(h−r,h+r)(x - h)^2 + \left(u(x) - k\right)^2 = \dato{circ}{r^2}, \qquad x \in \ioo{h - r}{h + r}

    Если xx принадлежит интервалу, то r2−(x−h)2>0r^2 - (x - h)^2 > 0, так что разность u(x)−k=σr2−(x−h)2u(x) - k = \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2} не обращается в нуль, и функция uu дифференцируема по следствию о производных часто встречающихся композиций из урока о правиле дифференцирования сложной функции. После возведения в квадрат видно, что график uu лежит на окружности:

  2. 2(x−h)+2(u(x)−k)u′(x)=0,1+(u′(x))2+(u(x)−k)u′′(x)=02(x - h) + 2\left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = \dato{dos}{0}

    Обе части равенства являются одной и той же функцией от xx на интервале, и их производные совпадают: это дифференцирование неявной функции из урока о производной обратной функции и дифференцировании неявной функции, применённое к функции, о которой уже известно, что она дифференцируема. Если выразить производную, то u′(x)=−x−hu(x)−ku'(x) = -\frac{x - h}{u(x) - k} есть частное дифференцируемых функций с ненулевым знаменателем, дифференцируемое по правилу дифференцирования частного из урока о правилах дифференцирования; после повторного дифференцирования получается второе равенство, из которого u′′(x)=−1+(u′(x))2u(x)−ku''(x) = -\frac{1 + \left(u'(x)\right)^2}{u(x) - k} тоже есть частное дифференцируемых функций.

  3. 1+(u′(x))2=r2(u(x)−k)2,∣u′′(x)∣=r2∣u(x)−k∣3→(1+(u′(x))2)32∣u′′(x)∣=r1 + \left(u'(x)\right)^2 = \frac{r^2}{\left(u(x) - k\right)^2}, \qquad \abs{u''(x)} = \frac{r^2}{\abs{u(x) - k}^3} \rightarrow \resaltar{\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r}

    Поскольку 1+(u′(x))2>01 + \left(u'(x)\right)^2 > 0, вторая производная не обращается в нуль и имеет знак, противоположный знаку разности u(x)−ku(x) - k, то есть знаку σ\sigma; следствие о выпуклости вниз и второй производной даёт строгую выпуклость вниз или строгую выпуклость вверх. По первому равенству выражение 1+(u′(x))21 + \left(u'(x)\right)^2 есть сумма (x−h)2(x - h)^2 и (u(x)−k)2\left(u(x) - k\right)^2, равная r2r^2, делённая на (u(x)−k)2\left(u(x) - k\right)^2.

На окружности угловой коэффициент касательной и вторая производная меняются от точки к точке, но комбинация из леммы не меняется: она всегда равна радиусу. Это наводит на мысль измерять с её помощью, насколько искривляется любой график. Но сначала стоит найти окружность, которая лучше всего приближает график в точке, ту, что совпадает с ним вплоть до второй производной.

ОпределениеСоприкасающаяся окружность

Пусть ff есть функция, дифференцируемая на открытом интервале II и дважды дифференцируемая в точке aa из II. Окружность с центром (h,k)(h, k) и радиусом r>0r > 0 называется соприкасающейся с графиком ff в точке (a,f(a))(a, f(a)), если она проходит через эту точку и эта точка не является ни самой левой, ни самой правой её точкой, то есть если (a−h)2+(f(a)−k)2=r2(a - h)^2 + \left(f(a) - k\right)^2 = r^2 и f(a)≠kf(a) \neq k, и если полуокружность, которая содержит эту точку, то есть график функции uu из леммы при σ\sigma, равном знаку f(a)−kf(a) - k, имеет в точке aa то же значение, ту же производную и ту же вторую производную, что и ff:

u(a)=f(a),u′(a)=f′(a),u′′(a)=f′′(a)u(a) = f(a), \qquad u'(a) = f'(a), \qquad u''(a) = f''(a)

Её центр называется центром кривизны графика в этой точке.

Касательная прямая удовлетворяет двум первым равенствам; соприкасающаяся окружность удовлетворяет также третьему. Латинское название этой окружности происходит от osculari, целовать, а русское говорит о тесном соприкосновении: окружность не просто касается графика, как другие касающиеся его окружности, а искривляется так же, как он. На рисунке показаны, для f(x)=x32−x+1f(x) = \frac{x^3}{2} - x + 1 и a=1,2a = 1{,}2, три окружности, касающиеся графика, и среди них соприкасающаяся.

ТеоремаСуществование и единственность соприкасающейся окружности

Пусть ff есть функция, дифференцируемая на открытом интервале II и дважды дифференцируемая в точке aa из II, и пусть m=f′(a)m = f'(a) и q=f′′(a)q = f''(a). Если q≠0q \neq 0, то график ff имеет в точке (a,f(a))(a, f(a)) ровно одну соприкасающуюся окружность, с центром (h,k)(h, k) и радиусом ρ\rho:

h=a−m(1+m2)q,k=f(a)+1+m2q,ρ=(1+m2)32∣q∣h = a - \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad k = f(a) + \frac{1 + m^2}{q}, \qquad \rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}

Её центр лежит на нормали к графику в этой точке, над точкой, если q>0q > 0, и под ней, если q<0q < 0. Если q=0q = 0, то график не имеет соприкасающейся окружности в точке (a,f(a))(a, f(a)).

Доказательство

  1. (a−h)+(f(a)−k)m=0(a - h) + \left(f(a) - k\right) m = \dato{normal}{0}

    Предположим, что окружность с центром (h,k)(h, k) и радиусом rr является соприкасающейся, с полуокружностью uu. Первое равенство леммы при x=ax = a, с u(a)=f(a)u(a) = f(a) и u′(a)=mu'(a) = m, говорит, что центр удовлетворяет уравнению нормали к графику в этой точке, согласно определению касательной и нормали из урока о производной как пределе, как при m≠0m \neq 0, так и в случае, когда нормаль вертикальна.

  2. 1+m2+(f(a)−k)q=0→f(a)−k=−1+m2q,a−h=m(1+m2)q,r2=(1+m2)3q21 + m^2 + \left(f(a) - k\right) q = 0 \rightarrow \resaltar{f(a) - k = -\frac{1 + m^2}{q}}, \qquad a - h = \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad r^2 = \frac{\left(1 + m^2\right)^3}{q^2}

    Второе равенство леммы при x=ax = a, с u′′(a)=qu''(a) = q, невозможно, если q=0q = 0, потому что 1+m2>01 + m^2 > 0: соприкасающейся окружности нет. Если q≠0q \neq 0, это равенство определяет разность f(a)−kf(a) - k; первое равенство даёт тогда разность a−ha - h, а уравнение окружности даёт радиус. Следовательно, соприкасающихся окружностей не больше одной, и её центр и её радиус таковы, как в формулировке.

  3. u′(a)=−a−hf(a)−k=m,u′′(a)=−1+m2f(a)−k=qu'(a) = -\frac{a - h}{f(a) - k} = \resaltar{m}, \qquad u''(a) = -\frac{1 + m^2}{f(a) - k} = \resaltar{q}

    Обратно, пусть hh, kk и ρ\rho таковы, как в формулировке. Окружность с центром (h,k)(h, k) и радиусом ρ\rho проходит через (a,f(a))(a, f(a)) по проделанному выше вычислению, а разность f(a)−kf(a) - k не обращается в нуль и имеет знак −q-q, так что σ=−1\sigma = -1, если q>0q > 0, и тогда центр лежит над точкой, и σ=1\sigma = 1, если q<0q < 0. Функция uu из леммы удовлетворяет условию u(a)=k+σ∣f(a)−k∣=f(a)u(a) = k + \sigma\abs{f(a) - k} = f(a), и два равенства леммы при x=ax = a дают её производные: окружность является соприкасающейся.

Если q>0q > 0, соприкасающаяся окружность прилегает к графику сверху своей нижней полуокружностью, которая выпукла вниз; если q<0q < 0, верхней, которая выпукла вверх. В обоих случаях утверждение о графике и его касательной из урока о выпуклости при n=2n = 2, применённое к ff и к uu, которые имеют одну и ту же касательную и вторые производные одного знака, помещает график и окружность вблизи aa по одну и ту же сторону от этой касательной. Если f′′(a)=0f''(a) = 0, то никакая окружность не подходит, потому что вторая производная полуокружности нигде не обращается в нуль; касательная прямая, вторая производная которой равна нулю, удовлетворяет всем трём равенствам и играет роль окружности бесконечного радиуса.