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Topos Uranos
日本語

曲率と曲率半径

要約

この課では、関数のグラフが一点でどれだけ曲がっているかを測る。接線は、その点で関数と同じ値と同じ微分係数をもつ直線であり、接触円は、さらに同じ 2 階微分係数をもつ円である。円の方程式を 2 回微分すると、円の各点で、1 階と 2 階の導関数のある組合せがちょうど半径に等しいことがわかる。これを用いて、関数の 2 階微分係数が 0 でなければ接触円が存在してただ一つであることを証明し、その中心と半径、すなわち曲率半径を与える。曲率半径の逆数が曲率であり、曲率は 2 階微分係数が 0 になるところで 0 になる。続いて、ホイヘンスが見抜いたように、曲率中心が近くの法線どうしの交点の極限であること、また座標軸を入れ替えても曲率は変わらず、そのため接線が鉛直なところでも曲率を測れることを証明する。問題では、接触円がグラフを横切るかどうかを判定し、指数関数の曲率が最大になる点、楕円の曲率が最大・最小になる点、懸垂線の曲率半径を求め、直線と円弧の間の曲率の跳びを調べる。

学習目標

  1. 関数のグラフへの一点における接触円を定義し、2 階微分係数が 0 でないとき接触円が存在してただ一つであることを証明し、その中心と半径を計算する。
  2. グラフの一点における曲率と曲率半径を計算し、曲率が 0 であることの意味を解釈し、グラフの曲率が最大または最小になる点を求める。
  3. 曲率中心を法線どうしの交点の極限として求め、座標軸の役割を入れ替えることで、接線が鉛直なところで曲率を測る。
  4. 高階導関数による判定法を用いて、接触円がグラフを横切るか、グラフの片側だけにとどまるかを判定する。

接触円

ff のグラフの点 (a,f(a))(a, f(a)) における接線は、aa で ff と同じ値と同じ微分係数をもつ直線である。凹凸と変曲点の課で示したように、f′′(a)≠0f''(a) \neq 0 ならば、グラフは aa の近くで接線の片側だけにある。すなわち f′′(a)>0f''(a) > 0 ならば接線の上に、f′′(a)<0f''(a) < 0 ならば接線の下にある。しかし、グラフが接線からどれだけ離れるか、つまりどれだけ曲がるかは述べていなかった。それを測るには、いつも同じだけ曲がっている曲線、つまり円と比べるのがよい。小さい円は大きく曲がり、大きい円はわずかに曲がる。円は関数のグラフではない。内部を通る鉛直な直線はどれも円と 2 回交わるからである。しかし、円の二つの半分のそれぞれは、端点を除けば関数のグラフである。

補題半円の導関数

(h,k)(h, k) を平面上の点、r>0r > 0、σ\sigma を 11 または −1-1 とし、u(x)=k+σr2−(x−h)2u(x) = k + \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2}（xx は (h−r,h+r)\ioo{h - r}{h + r} の点）とする。このグラフは、σ=1\sigma = 1 ならば上半円、σ=−1\sigma = -1 ならば下半円であり、中心は (h,k)(h, k)、半径は rr で、端点を含まない。このとき uu、u′u'、u′′u'' は (h−r,h+r)\ioo{h - r}{h + r} で微分可能であり、u(x)≠ku(x) \neq k で、区間の各点 xx において以下が成り立つ：

(x−h)+(u(x)−k)u′(x)=0,1+(u′(x))2+(u(x)−k)u′′(x)=0(x - h) + \left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = 0

したがって u′′(x)u''(x) は 0 にならず −σ-\sigma の符号をもつ。よって下半円は狭義に下に凸、上半円は狭義に上に凸であり、そのすべての点で：

(1+(u′(x))2)32∣u′′(x)∣=r\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r

証明

  1. (x−h)2+(u(x)−k)2=r2,x∈(h−r,h+r)(x - h)^2 + \left(u(x) - k\right)^2 = \dato{circ}{r^2}, \qquad x \in \ioo{h - r}{h + r}

    xx が区間にあれば r2−(x−h)2>0r^2 - (x - h)^2 > 0 であるから、u(x)−k=σr2−(x−h)2u(x) - k = \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2} は 0 にならず、uu は、合成関数の微分法の課の、よく現れる合成関数の導関数の系により微分可能である。2 乗すると、uu のグラフは円の上にある：

  2. 2(x−h)+2(u(x)−k)u′(x)=0,1+(u′(x))2+(u(x)−k)u′′(x)=02(x - h) + 2\left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = \dato{dos}{0}

    両辺は区間上で xx の同じ関数であり、その導関数は一致する。これは逆関数の微分法と陰関数の微分法の課の陰関数の微分法を、微分可能であるとすでにわかっている関数に適用したものである。1 階導関数について解くと、u′(x)=−x−hu(x)−ku'(x) = -\frac{x - h}{u(x) - k} は分母が 0 でない微分可能な関数の商であり、微分法の公式の課の商の微分法により微分可能である。もう一度微分すると 2 番目の等式が得られ、そこから u′′(x)=−1+(u′(x))2u(x)−ku''(x) = -\frac{1 + \left(u'(x)\right)^2}{u(x) - k} も微分可能な関数の商である。

  3. 1+(u′(x))2=r2(u(x)−k)2,∣u′′(x)∣=r2∣u(x)−k∣3→(1+(u′(x))2)32∣u′′(x)∣=r1 + \left(u'(x)\right)^2 = \frac{r^2}{\left(u(x) - k\right)^2}, \qquad \abs{u''(x)} = \frac{r^2}{\abs{u(x) - k}^3} \rightarrow \resaltar{\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r}

    1+(u′(x))2>01 + \left(u'(x)\right)^2 > 0 であるから、2 階導関数は 0 にならず、u(x)−ku(x) - k の符号、すなわち σ\sigma の符号と反対の符号をもつ。下に凸であることと 2 階導関数の系により、狭義に下に凸または狭義に上に凸であることがわかる。1 番目の等式より、1+(u′(x))21 + \left(u'(x)\right)^2 は (x−h)2(x - h)^2 と (u(x)−k)2\left(u(x) - k\right)^2 の和（これは r2r^2 に等しい）を (u(x)−k)2\left(u(x) - k\right)^2 で割ったものである。

円では、接線の傾きと 2 階導関数は点ごとに変わるが、補題の組合せは変わらない。それはつねに半径に等しい。このことから、それを用いて任意のグラフの曲がり具合を測ることが考えられる。その前に、一点でグラフに最もよく合う円、すなわち 2 階導関数までグラフと一致する円を求めておくのがよい。

定義接触円

ff を開区間 II で微分可能で、点 aa（II の点）で 2 回微分可能な関数とする。中心 (h,k)(h, k)、半径 r>0r > 0 の円が ff のグラフに点 (a,f(a))(a, f(a)) で接触するとは、この円がその点を通り、その点が円の最も左の点でも最も右の点でもないこと、すなわち (a−h)2+(f(a)−k)2=r2(a - h)^2 + \left(f(a) - k\right)^2 = r^2 かつ f(a)≠kf(a) \neq k であり、さらにその点を含む半円、すなわち補題の関数 uu（ただし σ\sigma は f(a)−kf(a) - k の符号に等しい）のグラフが、aa で ff と同じ値、同じ微分係数、同じ 2 階微分係数をもつことをいう：

u(a)=f(a),u′(a)=f′(a),u′′(a)=f′′(a)u(a) = f(a), \qquad u'(a) = f'(a), \qquad u''(a) = f''(a)

その中心を、その点におけるグラフの曲率中心という。

接線は最初の二つの等式を満たし、接触円は 3 番目も満たす。この円のラテン語の名は osculari（口づけする）に由来し、日本語の「接触円」は密に接することを表している。この円は、ほかの接する円のようにグラフに触れるだけでなく、グラフと同じように曲がる。図は、f(x)=x32−x+1f(x) = \frac{x^3}{2} - x + 1、a=1.2a = 1.2 の場合に、グラフに接する三つの円と、そのなかの接触円を示している。

定理接触円の存在と一意性

ff を開区間 II で微分可能で、点 aa（II の点）で 2 回微分可能な関数とし、m=f′(a)m = f'(a)、q=f′′(a)q = f''(a) とする。q≠0q \neq 0 ならば、ff のグラフは点 (a,f(a))(a, f(a)) でちょうど一つの接触円をもち、その中心は (h,k)(h, k)、半径は ρ\rho である：

h=a−m(1+m2)q,k=f(a)+1+m2q,ρ=(1+m2)32∣q∣h = a - \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad k = f(a) + \frac{1 + m^2}{q}, \qquad \rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}

その中心はその点におけるグラフの法線上にあり、q>0q > 0 ならば点の上に、q<0q < 0 ならば点の下にある。q=0q = 0 ならば、グラフは点 (a,f(a))(a, f(a)) で接触円をもたない。

証明

  1. (a−h)+(f(a)−k)m=0(a - h) + \left(f(a) - k\right) m = \dato{normal}{0}

    中心 (h,k)(h, k)、半径 rr の円が接触円であり、その半円が uu であるとする。補題の 1 番目の等式は、x=ax = a において u(a)=f(a)u(a) = f(a) と u′(a)=mu'(a) = m を用いると、中心がその点におけるグラフの法線の方程式を満たすことを示す。これは極限としての導関数の課の接線と法線の定義によるもので、m≠0m \neq 0 の場合も法線が鉛直な場合も成り立つ。

  2. 1+m2+(f(a)−k)q=0→f(a)−k=−1+m2q,a−h=m(1+m2)q,r2=(1+m2)3q21 + m^2 + \left(f(a) - k\right) q = 0 \rightarrow \resaltar{f(a) - k = -\frac{1 + m^2}{q}}, \qquad a - h = \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad r^2 = \frac{\left(1 + m^2\right)^3}{q^2}

    補題の 2 番目の等式は、x=ax = a において u′′(a)=qu''(a) = q を用いると、q=0q = 0 ならば 1+m2>01 + m^2 > 0 であるから不可能であり、接触円は存在しない。q≠0q \neq 0 ならば、この等式は f(a)−kf(a) - k を定め、1 番目の等式が a−ha - h を、円の方程式が半径を与える。したがって接触円は高々一つであり、その中心と半径は定理に述べたものである。

  3. u′(a)=−a−hf(a)−k=m,u′′(a)=−1+m2f(a)−k=qu'(a) = -\frac{a - h}{f(a) - k} = \resaltar{m}, \qquad u''(a) = -\frac{1 + m^2}{f(a) - k} = \resaltar{q}

    逆に、hh、kk、ρ\rho を定理に述べたものとする。中心 (h,k)(h, k)、半径 ρ\rho の円は、上の計算により (a,f(a))(a, f(a)) を通る。また f(a)−kf(a) - k は 0 にならず −q-q の符号をもつので、σ=−1\sigma = -1（ただし q>0q > 0 のとき）で、このとき中心は点の上にあり、σ=1\sigma = 1（ただし q<0q < 0 のとき）である。補題の関数 uu は u(a)=k+σ∣f(a)−k∣=f(a)u(a) = k + \sigma\abs{f(a) - k} = f(a) を満たし、補題の二つの等式は x=ax = a においてその導関数を与える。よってこの円は接触円である。

q>0q > 0 ならば、接触円は下に凸な下半円でグラフに上から寄り添う。q<0q < 0 ならば、上に凸な上半円で寄り添う。どちらの場合も、凹凸の課のグラフとその接線の命題を、n=2n = 2 として ff と uu に適用すると（両者は同じ接線をもち、2 階導関数は同符号である）、グラフと円は aa の近くでその接線の同じ側にある。f′′(a)=0f''(a) = 0 ならば、どの円もうまくいかない。半円の 2 階導関数は決して 0 にならないからである。2 階導関数が 0 である接線は三つの等式をすべて満たし、半径が無限大の円の役割を果たす。