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Topos Uranos
日本語

最適化問題

要約

この課では、多くの可能な配置のなかから最もよいものを求める問題を解く。面積が最大の長方形、表面積が最小の円柱、最短の道筋や最速の道筋である。これまでの課では、与えられた関数の最大値・最小値を求める道具が得られた。ここでは関数は与えられておらず、仕事の大部分も、誤りの大部分も、それを組み立てることにある。この課は五つの段階からなる方法（変数、関数、定義域、根拠を添えた最大値・最小値、結論）を定め、関数と、それに狭義単調増加関数を合成したものとが同じ点で最大値・最小値や極値をとることを証明する。これにより、たとえば距離そのものの代わりに距離の平方を最小にすることができる。続いて、閉区間で連続な関数のグラフ上には、どの点に対しても最も近い点が存在し、それが境界になければ与えられた点は法線上にあることを証明する。さらに、最小時間の原理から屈折の法則（スネルの法則）と反射の法則（ヘロンの法則）を導く。問題では、体積が最大の箱、表面積が最小の円柱、角を曲がれる最も長い棒、絵が最大の角度で見える場所、運河を最も速く渡る方法を求める。

学習目標

  1. 幾何学的または物理的な問題を、正確に定めた定義域における一変数関数の最大値・最小値の探索に翻訳する。
  2. 求めた値が最大値・最小値であることを正当化する。定義域が有界閉区間ならワイエルシュトラスの定理により、そうでなければ導関数の符号、下に凸であること、または定義域の端点における極限による。
  3. グラフ上で与えられた点に最も近い点を求め、それらを結ぶ直線がグラフの法線であることを認識する。
  4. 最小時間の原理から反射の法則と屈折の法則を導き、最適な点が定義域の境界にあるのはどのような場合かを見分ける。

方法

ワイエルシュトラスの定理と極値と最大値・最小値についての課では、与えられた区間で与えられた関数の最大値・最小値を求める方法を学んだ。これに対して最適化問題では、図形や運動の最適な配置が求められ、調べるべき関数はその定義域とともに、問題文から組み立てなければならない。方法には五つの段階がある。

  1. 変数。配置を決める量（長さ、角、位置）を一つ選び、問題の条件を使って、ほかのすべての量をそれで表す。
  2. 関数。最大または最小にしたい量を、そのただ一つの変数の関数として書く。
  3. 定義域。問題のなかで変数がとりうる値の集合を定める。これはふつう区間である。関数が、高さが零の長方形や体積のない箱のような退化した配置まで連続に拡張されるなら、求める最大値・最小値がそこでとられない限り、それらも認めて閉区間を得るのがよい。
  4. 最大値・最小値。定義域でそれらを求め、それが最大値・最小値であることを正当化する。定義域が有界閉区間なら、ワイエルシュトラスの定理がその存在を保証し、極値と最大値・最小値についての課の、有界閉区間における最大値・最小値の命題が、値を比べることでそれらを求める。そうでなければ、導関数の符号（同じ課の、1 階導関数による最大値・最小値の判定法の定理、またはただ一つの臨界点の系）、下に凸であること（凹凸についての課の、下に凸な関数の臨界点の系）、または定義域の端点における極限（開区間における最大値・最小値の命題）を用いる。
  5. 結論。問題に戻り、最適な値だけでなく最適な配置を示し、それが単位や特別な場合において意味をもつことを確かめる。

第四の段階は最も省かれやすい。導関数が 0 になる点を見つけるだけでは足りない。その点は、最大値を求めているのに最小値であったり、極値にすぎなかったり、定義域の外の点であったりしうる。また最大値・最小値は区間の端点にあるかもしれず、そこでは導関数が 0 になるとは限らない。極値と最大値・最小値についての課では 1x+x2\frac{1}{x} + x^2 を用いて、定義域が区間でなければただ一つの臨界点は何も保証しないことを示した。さらに、関数を、同じ点で最大値・最小値をとるより簡単な関数に置き換えると便利なことが多い。

補題最大値・最小値と狭義単調関数

ff を集合 AA で定義された関数、cc を AA の点、φ\varphi を ff の値を含む集合で狭義単調増加な関数とする。このとき、ff が cc において AA での最大値をとるのは、φ∘f\varphi \circ f がそこで最大値をとるときであり、かつそのときに限る。最小値、極値、狭義の極値についても同様である。φ\varphi が狭義単調減少なら、ff が cc において最大値をとるのは、φ∘f\varphi \circ f が cc において同じ種類の最小値をとるときであり、かつそのときに限る。逆も同様である。 狭義単調増加関数は値の間の大小の順序を変えず、最大値・最小値や極値はその順序だけで決まる。

証明

  1. u≤w⇔φ(u)≤φ(w),u<w⇔φ(u)<φ(w)u \leq w \Leftrightarrow \varphi(u) \leq \varphi(w), \qquad u < w \Leftrightarrow \dato{orden}{\varphi(u) < \varphi(w)}

    uu と ww を φ\varphi の定義域の元とする。u<wu < w なら狭義単調性から φ(u)<φ(w)\varphi(u) < \varphi(w) が得られ、u=wu = w なら値は一致し、u>wu > w なら φ(u)>φ(w)\varphi(u) > \varphi(w) が得られる。したがって、数どうしの不等式とその像どうしの不等式は同値である。

  2. f(x)≤f(c)⇔φ(f(x))≤φ(f(c))f(x) \leq f(c) \Leftrightarrow \resaltar{\varphi\left(f(x)\right) \leq \varphi\left(f(c)\right)}

    u=f(x)u = f(x)、w=f(c)w = f(c) とおく。すべての xx（AA の元）について、あるいはすべての xx（AA の元で、cc からの距離がある δ\delta より小さいもの）について、極値と最大値・最小値についての課と、フェルマー・ロル・ラグランジュ・コーシーの定理についての課の極値の定義によって最大値、極大値、狭義の場合を定める不等式が ff について成り立つことと、φ∘f\varphi \circ f について成り立つことは同値である。最小値についても同じであり、φ\varphi が狭義単調減少なら、像どうしの不等式の向きが逆になる。

よく使われる場合は四つある。平方根は [0,∞)\ico{0}{\infty} で狭義単調増加である。距離とその平方は同じ点で最小になり、平方は根号なしで書ける。平方をとる関数は [0,∞)\ico{0}{\infty} で狭義単調増加である。負でない量とその平方は同じ点で最大になる。対数は (0,∞)\ioo{0}{\infty} で狭義単調増加である。正の累乗の積とその対数（和になる）も同様である。そして正の関数は、その逆数が最小値をとるところで最大値をとる。1u\frac{1}{u} が (0,∞)\ioo{0}{\infty} で狭義単調減少だからである。

例半円に内接する長方形

半径 RR の半円に内接し、一辺が直径上にある長方形のうち、面積が最大のものを求めよ。解法の段階は方法の段階と同じである。

証明

  1. A(x)=2xR2−x2A(x) = 2x\sqrt{R^2 - x^2}

    変数と関数。中心を原点に、直径を横軸上におく。長方形はその底辺の半分 xx で決まる。上の二つの頂点は半円上の (±x,R2−x2)\left(\pm x, \sqrt{R^2 - x^2}\right) にあり、面積は以下の関数である。

  2. F(x)=(A(x))2=4x2(R2−x2),x∈[0,R]F(x) = \left(A(x)\right)^2 = \resaltar{4x^2\left(R^2 - x^2\right)}, \qquad x \in \icc{0}{R}

    定義域。本来の長方形は xx が (0,R)\ioo{0}{R} に属する場合に対応する。00 と RR も認める。これらは面積が零の退化した長方形を与える。こうして有界閉区間が得られ、AA はそこで連続である。ワイエルシュトラスの定理により最大値は存在する。AA は負でないので、補題により、その平方を最大にすれば十分である。それは多項式であり、AA とは異なり RR でも微分可能である。

  3. F′(x)=8x(R2−2x2)=0, 0<x<R→x=R2F'(x) = 8x\left(R^2 - 2x^2\right) = 0, \ 0 < x < R \rightarrow \resaltar{x = \frac{R}{\sqrt{2}}}

    候補。FF の導関数は (0,R)\ioo{0}{R} のただ一点で 0 になる。

  4. F(0)=F(R)=0<F(R2)=R4,A(R2)=R2F(0) = F(R) = 0 < F\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^4, \qquad \resaltar{A\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^2}

    比較と結論。有界閉区間における最大値・最小値の命題により、FF の最大値は、00、RR、臨界点における値のうち最大のものである。最適な長方形は底辺 2R\sqrt{2}R、高さ R2\frac{R}{\sqrt{2}}（底辺の半分）、面積 R2R^2 である。

最適な長方形を直径に関して折り返すと、一辺 2R\sqrt{2}R の正方形で円全体に内接し、面積 2R22R^2 のものが得られる。同じ計算により、これが円に内接する面積最大の長方形である。退化した長方形は結果を変えなかった。最大値は本来の長方形でとられる。