Problemi di ottimizzazione

Riepilogo

Questa lezione risolve problemi in cui bisogna trovare la migliore fra molte configurazioni possibili: il rettangolo di area massima, il cilindro di superficie minima, il cammino più breve o il più rapido. Le lezioni che precedono hanno dato gli strumenti per trovare gli estremi assoluti di una funzione data; qui la funzione non è data, e la maggior parte del lavoro, e degli errori, sta nel costruirla. La lezione fissa un metodo in cinque fasi (la variabile, la funzione, il dominio, gli estremi assoluti con la loro giustificazione e la conclusione) e dimostra che una funzione e la sua composizione con una funzione strettamente crescente assumono i loro estremi negli stessi punti, il che permette, per esempio, di minimizzare il quadrato di una distanza invece della distanza. Dimostra poi che ogni punto ha un punto più vicino sul grafico di una funzione continua in un intervallo chiuso, e che, se questo non sta sul bordo, il punto dato sta sulla retta normale; e deduce dal principio del tempo minimo le leggi della rifrazione, quella di Snell, e della riflessione, quella di Erone. I problemi trovano la scatola di volume massimo, il cilindro di superficie minima, la sbarra più lunga che gira un angolo, il luogo da cui un quadro si vede sotto l’angolo massimo e il modo più rapido di attraversare un canale.

Obiettivi di apprendimento

Tradurre un problema geometrico o fisico nella ricerca dell’estremo assoluto di una funzione di una variabile, in un dominio fissato con precisione.
Giustificare che l’estremo trovato è assoluto: con il teorema di Weierstrass se il dominio è un intervallo chiuso e limitato, e altrimenti con il segno della derivata, la convessità o i limiti agli estremi del dominio.
Trovare il punto di un grafico più vicino a un punto dato e riconoscere che la retta che li unisce è normale al grafico.
Dedurre dal principio del tempo minimo le leggi della riflessione e della rifrazione, e riconoscere quando l’ottimo sta sul bordo del dominio.

Il metodo

Le lezioni sul teorema di Weierstrass e sui massimi e minimi hanno insegnato a trovare gli estremi assoluti di una funzione data in un intervallo dato. In un problema di ottimizzazione, invece, si chiede la configurazione migliore di una figura o di un movimento, e la funzione da studiare, con il suo dominio, va costruita a partire dall’enunciato. Il metodo ha cinque fasi.

La variabile. Scegliere una quantità che determini la configurazione (una lunghezza, un angolo, una posizione) ed esprimere per mezzo di essa, attraverso le condizioni del problema, tutte le altre.
La funzione. Scrivere la quantità che si vuole rendere massima o minima come funzione di quell’unica variabile.
Il dominio. Fissare l’insieme dei valori che la variabile può assumere nel problema, che di solito è un intervallo. Se la funzione si estende con continuità a configurazioni degeneri, come un rettangolo di altezza nulla o una scatola senza volume, conviene ammetterle per ottenere un intervallo chiuso, purché l’estremo cercato non sia assunto in esse.
Gli estremi assoluti. Trovarli nel dominio e giustificare che lo sono. Se il dominio è un intervallo chiuso e limitato, il teorema di Weierstrass assicura che esistono, e la proposizione degli estremi assoluti in un intervallo chiuso e limitato, della lezione sui massimi e minimi, li trova confrontando valori. Se non lo è, si usa il segno della derivata (il teorema del criterio della derivata prima per gli estremi assoluti, o il corollario di un unico punto critico, della stessa lezione), la convessità (il corollario dei punti critici di una funzione convessa, della lezione su concavità e convessità) o i limiti agli estremi del dominio (la proposizione degli estremi assoluti in un intervallo aperto).
La conclusione. Tornare al problema: dare la configurazione ottima, non solo il valore ottimo, e verificare che abbia senso, dimensionalmente e nei casi particolari.

La quarta fase è quella che più si omette: trovare un punto in cui la derivata si annulla non basta. Quel punto può essere un minimo quando si cerca un massimo, un estremo solo locale o un punto fuori dal dominio; e l’estremo assoluto può trovarsi in un estremo dell’intervallo, dove la derivata non ha motivo di annullarsi. La lezione sui massimi e minimi ha mostrato, con $\frac{1}{x} + x^2$ , che un unico punto critico non assicura nulla se il dominio non è un intervallo. Spesso conviene, inoltre, sostituire la funzione con un’altra più semplice che assuma i suoi estremi negli stessi punti.

LemmaEstremi e funzioni strettamente monotone

Siano $f$ una funzione definita in un insieme $A$ , $c$ un punto di $A$ e $\varphi$ una funzione strettamente crescente in un insieme che contiene i valori di $f$ . Allora $f$ assume in $c$ il suo massimo assoluto in $A$ se e solo se $\varphi \circ f$ lo assume, e lo stesso vale per il minimo assoluto, per gli estremi locali e per gli estremi stretti. Se $\varphi$ è strettamente decrescente, $f$ assume in $c$ un massimo se e solo se $\varphi \circ f$ assume in $c$ un minimo dello stesso tipo, e viceversa. Una funzione strettamente crescente non altera l’ordine fra i valori, e gli estremi dipendono solo da quell’ordine.

Dimostrazione

$u \leq w \Leftrightarrow \varphi(u) \leq \varphi(w), \qquad u < w \Leftrightarrow \dato{orden}{\varphi(u) < \varphi(w)}$
Siano $u$ e $w$ nel dominio di $\varphi$ . Se $u < w$ , la monotonia stretta dà $\varphi(u) < \varphi(w)$ ; se $u = w$ , i valori coincidono; e se $u > w$ , dà $\varphi(u) > \varphi(w)$ . Quindi le disuguaglianze fra i numeri e fra le loro immagini sono equivalenti.
$f(x) \leq f(c) \Leftrightarrow \resaltar{\varphi\left(f(x)\right) \leq \varphi\left(f(c)\right)}$
Con $u = f(x)$ e $w = f(c)$ , per ogni $x$ di $A$ , o per ogni $x$ di $A$ che dista da $c$ meno di un certo $\delta$ , le disuguaglianze che definiscono il massimo assoluto, quello locale e quelli stretti, secondo la lezione sui massimi e minimi e la definizione di estremo locale della lezione sui teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy, valgono per $f$ se e solo se valgono per $\varphi \circ f$ . Il minimo è analogo, e se $\varphi$ è strettamente decrescente, le disuguaglianze fra le immagini si invertono.

I casi più usati sono quattro. La radice quadrata è strettamente crescente in $\ico{0}{\infty}$ : una distanza e il suo quadrato si minimizzano negli stessi punti, e il quadrato non contiene radicali. Il quadrato è strettamente crescente in $\ico{0}{\infty}$ : una quantità non negativa e il suo quadrato si massimizzano negli stessi punti. Il logaritmo è strettamente crescente in $\ioo{0}{\infty}$ : un prodotto di potenze positive e il suo logaritmo, che è una somma, anche. E una funzione positiva assume il suo massimo dove il suo reciproco assume il suo minimo, perché $\frac{1}{u}$ è strettamente decrescente in $\ioo{0}{\infty}$ .

EsempioIl rettangolo inscritto in una semicirconferenza

Fra i rettangoli inscritti in una semicirconferenza di raggio $R$ , con un lato sul diametro, trovare quello di area massima. Il ragionamento segue le fasi del metodo.

Dimostrazione

$A(x) = 2x\sqrt{R^2 - x^2}$
La variabile e la funzione. Mettiamo il centro nell’origine e il diametro sull’asse orizzontale. Il rettangolo è determinato da $x$ , la metà della sua base: i suoi vertici superiori stanno sulla semicirconferenza, in $\left(\pm x, \sqrt{R^2 - x^2}\right)$ , e la sua area è la funzione seguente.
$F(x) = \left(A(x)\right)^2 = \resaltar{4x^2\left(R^2 - x^2\right)}, \qquad x \in \icc{0}{R}$
Il dominio. I rettangoli veri corrispondono a $x$ in $\ioo{0}{R}$ ; ammettiamo anche $0$ e $R$ , che danno rettangoli degeneri, di area nulla, e otteniamo un intervallo chiuso e limitato in cui $A$ è continua: per il teorema di Weierstrass, il massimo esiste. Poiché $A$ non è negativa, per il lemma basta massimizzarne il quadrato, che è un polinomio e, a differenza di $A$ , è derivabile anche in $R$ .
$F'(x) = 8x\left(R^2 - 2x^2\right) = 0, \ 0 < x < R \rightarrow \resaltar{x = \frac{R}{\sqrt{2}}}$
I candidati. La derivata di $F$ si annulla in un solo punto di $\ioo{0}{R}$ .
$F(0) = F(R) = 0 < F\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^4, \qquad \resaltar{A\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^2}$
Il confronto e la conclusione. Per la proposizione degli estremi assoluti in un intervallo chiuso e limitato, il massimo di $F$ è il maggiore dei suoi valori in $0$ , in $R$ e nel punto critico. Il rettangolo ottimo ha base $\sqrt{2}R$ e altezza $\frac{R}{\sqrt{2}}$ , la metà della base, e area $R^2$ .

Riflettendo il rettangolo ottimo rispetto al diametro si ottiene un quadrato di lato $\sqrt{2}R$ inscritto nella circonferenza completa, di area $2R^2$ , che è, per lo stesso calcolo, il rettangolo di area massima inscritto in essa. I rettangoli degeneri non hanno alterato il risultato: il massimo è assunto in un rettangolo vero.