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Topos Uranos
Italiano

Massimi e minimi di una funzione

Riepilogo

Questa lezione riunisce i risultati delle lezioni che precedono in un metodo per trovare gli estremi di una funzione. Chiama assoluti il massimo e il minimo di una funzione nel suo dominio, per distinguerli da quelli locali, e definisce gli estremi stretti. Dimostra poi due criteri che decidono se un punto con derivata nulla è un estremo locale senza studiare il segno della derivata attorno a esso: il criterio della derivata seconda, che discende dal criterio della derivata prima, e quello delle derivate di ordine superiore, che discende dalla regola di de l’Hôpital: se la prima derivata che non si annulla nel punto è di ordine pari, c’è un estremo, e se è di ordine dispari, non c’è. La seconda metà tratta gli estremi assoluti. In un intervallo chiuso e limitato esistono, per il teorema di Weierstrass, e il teorema di Fermat li confina in una lista di candidati, gli estremi dell’intervallo e i punti critici, tra i quali basta confrontare i valori. In un intervallo aperto o illimitato possono non esistere, e si decidono con la monotonia o con i limiti agli estremi dell’intervallo; in particolare, se una funzione continua in un intervallo ha un unico punto critico e vi assume un estremo locale, quell’estremo è assoluto.

Obiettivi di apprendimento

  1. Distinguere con i quantificatori gli estremi assoluti da quelli locali, e quelli stretti da quelli che non lo sono, e riconoscere ciascun caso negli esempi.
  2. Dimostrare i criteri della derivata seconda e delle derivate di ordine superiore, e decidere con essi se un punto con derivata nulla è un massimo locale, un minimo locale o nessuna delle due cose, anche quando la derivata seconda si annulla.
  3. Trovare gli estremi assoluti di una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato confrontando i suoi valori negli estremi dell’intervallo e nei punti critici.
  4. Decidere se una funzione assume i suoi estremi assoluti in un intervallo aperto o illimitato, con la monotonia, con un unico punto critico o con i limiti agli estremi dell’intervallo.

Estremi assoluti, locali e stretti

La lezione sul teorema di Weierstrass ha definito il massimo e il minimo di una funzione in un insieme, e la lezione sui teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy gli estremi locali, che confrontano soltanto il valore in un punto con i valori vicini. Conviene ora dare ai primi un nome che li distingua dai secondi, e precisare quando il valore nel punto è maggiore di tutti gli altri con cui si confronta, e non solo maggiore o uguale.

DefinizioneEstremi assoluti ed estremi stretti

Siano ff una funzione definita in un insieme AA e x0x_0 un elemento di AA. Si dice che ff assume in x0x_0 un massimo assoluto se assume in x0x_0 il suo massimo in AA, e un minimo assoluto se assume in x0x_0 il suo minimo in AA, nel senso della lezione sul teorema di Weierstrass; un estremo assoluto è un massimo o un minimo assoluto. Un massimo assoluto o locale è stretto se f(x0)f(x_0) è maggiore di ciascuno degli altri valori con cui si confronta:

(∀x∈A)(x≠x0→f(x)<f(x0)),(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−x0∣<δ→f(x)<f(x0))(\forall x \in A)\left(x \neq x_0 \rightarrow f(x) < f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) < f(x_0)\right)

La prima formula definisce il massimo assoluto stretto, e la seconda il massimo locale stretto; i minimi stretti si definiscono allo stesso modo, con f(x)>f(x0)f(x) > f(x_0).

Gli estremi assoluti si dicono anche globali, e quelli locali relativi. Ogni estremo assoluto è locale, con qualsiasi δ\delta, e ogni estremo stretto è un estremo; i viceversa sono falsi. La funzione x3−3xx^3 - 3x assume in −1-1 un massimo locale che non è assoluto, come si è visto nella lezione sui teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy. Il coseno assume il suo massimo assoluto in R\mathbb{R} in ogni multiplo di 2π2\pi; nessuno di questi massimi è assoluto stretto, perché il valore 11 si ripete, e ciascuno è locale stretto, perché cos⁡x<1\cos x < 1 se 0<∣x−2kπ∣<2π0 < \abs{x - 2k\pi} < 2\pi. Una funzione costante assume in ogni punto un massimo e un minimo assoluti, e nessuno è stretto. In generale, se ff assume in x0x_0 sia un massimo sia un minimo locale, è costante vicino a x0x_0. Il valore massimo assoluto, se esiste, è unico; un massimo assoluto stretto, inoltre, è assunto in un solo punto.

Gli estremi dipendono dal dominio. Se ff assume un estremo in x0x_0 e BB è un sottoinsieme di AA che contiene x0x_0, anche la restrizione di ff a BB lo assume, perché si confronta con meno valori; il viceversa è falso: x2x^2 assume in [1,2]\icc{1}{2} il suo minimo assoluto in 11, e in R\mathbb{R} non ha in 11 alcun estremo.