القيم العظمى والصغرى لدالة

القيم القصوى المطلقة والمحلية والصارمة

عرّف الدرس الخاص بـمبرهنة فايرشتراس القيمة العظمى والقيمة الصغرى لدالة على مجموعة، وعرّف الدرس الخاص بـمبرهنات فيرما ورول ولاغرانج وكوشي القيم القصوى المحلية، التي لا تقارن القيمة عند نقطة إلا بالقيم القريبة. ويحسن الآن أن نعطي الأولى اسمًا يميزها من الثانية، وأن نحدد متى تكون القيمة عند النقطة أكبر من جميع القيم الأخرى التي تُقارن بها، لا أكبر منها أو مساوية لها فحسب.

تسمى القيم القصوى المطلقة أيضًا كلية، والمحلية نسبية. وكل قيمة قصوى مطلقة محلية، مع أي $\delta$، وكل قيمة قصوى صارمة قيمة قصوى؛ والعكسان خاطئان. فالدالة $x^3 - 3x$ تبلغ عند $-1$ قيمة عظمى محلية ليست مطلقة، كما رأينا في الدرس الخاص بمبرهنات فيرما ورول ولاغرانج وكوشي. ويبلغ جيب التمام قيمته العظمى المطلقة على $\mathbb{R}$ عند كل مضاعف لـ$2\pi$؛ وليست أي من هذه القيم العظمى مطلقة صارمة، لأن القيمة $1$ تتكرر، وكل منها محلية صارمة، لأن $\cos x < 1$ إذا كان $0 < \abs{x - 2k\pi} < 2\pi$. والدالة الثابتة تبلغ عند كل نقطة قيمة عظمى وقيمة صغرى مطلقتين، وليست أي منهما صارمة. وعمومًا، إذا بلغت $f$ عند $x_0$ قيمة عظمى وقيمة صغرى محليتين معًا، فهي ثابتة قرب $x_0$. والقيمة العظمى المطلقة، إن وُجدت، وحيدة؛ والقيمة العظمى المطلقة الصارمة، فضلًا عن ذلك، لا تُبلغ إلا عند نقطة واحدة.

القيم القصوى تتوقف على مجال التعريف. إذا بلغت $f$ قيمة قصوى عند $x_0$ وكانت $B$ مجموعة جزئية من $A$ تحوي $x_0$، فإن مقصور $f$ على $B$ يبلغها أيضًا، لأنه يُقارن بقيم أقل؛ والعكس خاطئ: $x^2$ تبلغ على $\icc{1}{2}$ قيمتها الصغرى المطلقة عند $1$، وليس لها على $\mathbb{R}$ أي قيمة قصوى عند $1$.