مبرهنة فايرشتراس للقيم القصوى

القيمة العظمى والقيمة الصغرى والحد الأعلى الأصغر لدالة

درست الوحدتان اللتان سبقتا الدوال عند نقطة: فالنهاية والاتصال والمشتقة تصف ما يحدث قرب $a$. أما كثير من الأسئلة فيتعلق بمجموعة كاملة: ما أكبر قيمة تأخذها دالة على فترة، إن وُجدت، أو عند أي نقطة تُبلغ. فالدالة $x$ على $\ioo{0}{1}$ ليس لها قيمة أكبر من جميع القيم الأخرى: لكل $x$ من الفترة، يقع العدد $\frac{x + 1}{2}$ فيها أيضًا، وهو أكبر. وتقترب قيمها من $1$ دون أن تبلغه. لذلك يحسن الفصل بين مفهومين: أصغر حد أعلى للقيم، وهو موجود متى كانت القيم محدودة، والقيمة العظمى، وهي قيمة من قيم الدالة.

القيمة العظمى، إن وُجدت، وحيدة، لأن كل واحدة من قيمتين عظميين تكون أكبر من الأخرى أو مساوية لها؛ أما نقطة القيمة العظمى فقد لا تكون وحيدة: فجيب التمام يبلغ قيمته العظمى $1$ على $\icc{0}{4\pi}$ في ثلاث نقاط هي $0$ و$2\pi$ و$4\pi$. وسيسمّي الدرس الخاص بـالقيم العظمى والصغرى هذه القيمَ القصوى مطلقة، تمييزًا لها من المحلية، التي لا تقارن $f(x_0)$ إلا بالقيم القريبة.

إذا كانت $f$ محدودة من الأعلى على $S$، فإن مجموعة قيمها، $f(S)$، غير خالية ومحدودة من الأعلى؛ وبحسب مسلّمة التمام، التي ذُكّر بها في الدرس الخاص بـالمستقيم الحقيقي، لها حد أعلى أصغر، يُكتب $\sup_{x \in S} f(x)$. والعلاقة بين المفهومين بسيطة: تبلغ $f$ قيمتها العظمى على $S$ إذا وفقط إذا كان الحد الأعلى الأصغر لقيمها واحدًا منها، وعندئذ يتطابقان. ذلك أنه إذا كانت $f(x_0)$ هي القيمة العظمى، فهي حد أعلى لـ $f(S)$ ينتمي إلى $f(S)$، ولا يمكن لعدد أصغر منها أن يكون حدًا أعلى؛ وعكسًا، إذا كان الحد الأعلى الأصغر قيمةً $f(x_0)$، فلا تتجاوزه أي قيمة. فالدالة $x$ على $\ioo{0}{1}$ محدودة، وحدها الأعلى الأصغر $1$ ولا تبلغه، وحدها الأدنى الأعظم $0$ ولا تبلغه كذلك. وتعطي مبرهنة فايرشتراس شروطًا لا يحدث في ظلها ذلك.