تطبيقات المشتقات: مقدمة

قبل أن تبدأ الوحدة، قِس نقطة انطلاقك. إنه تقييم ذاتي قصير: لا يُمنح عليه درجة، وتُحفظ نتيجته في متصفحك فقط.

1. السؤال 1في أي حالة من هذه الحالات تضمن مبرهنة فايرشتراس أن الدالة تبلغ قيمتها العظمى على المجموعة المذكورة؟

   $f(x) = \abs{x^2 - 1}$ على $\icc{0}{2}$

   $f(x) = \arctan x$ على $\mathbb{R}$

   $f(x) = x^2$ على $\ico{0}{1}$

   الدالة التي تساوي $x$ على $\ico{0}{1}$ و$0$ عند $1$، على الفترة $\icc{0}{1}$

2. السؤال 2دالة $f$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$، مع $f(0) = 1$ و$\abs{f'(x)} \leq 2$ لكل $x$. ماذا يمكن أن نضمن بشأن $f(3)$؟

   $-5 \leq f(3) \leq 7$

   $f(3) = 7$

   $\abs{f(3)} \leq 6$

   لا شيء، لأن المشتقة غير معلومة عند أي نقطة.

3. السؤال 3احسب $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\frac{1}{x}}{\sin x}$.

   $0$

   غير موجودة، لأن خارج قسمة المشتقتين ليست له نهاية.

   غير موجودة، لأن $\sin\frac{1}{x}$ ليست له نهاية عندما $x \to 0$.

   $1$

4. السؤال 4هل تتزايد تمامًا على $\mathbb{R}$ الدالةُ $f(x) = x + \cos x$؟

   نعم: مشتقتها، $1 - \sin x$، غير سالبة ولا تنعدم في جميع نقاط أي فترة مفتوحة.

   لا: مشتقتها تنعدم عند عدد لا نهائي من النقاط.

   هي متزايدة، لكن ليس تمامًا، لأن مشتقتها ليست موجبة عند كل نقطة.

   ليست رتيبة، لأن جيب التمام يصعد وينزل.

5. السؤال 5دالة $f$ متصلة على $\icc{0}{4}$ وقابلة للاشتقاق عند كل نقطة من $\ioo{0}{4}$ ما عدا $1$، ولا تنعدم مشتقتها إلا عند $3$. إذا كان $f(0) = 2$ و$f(1) = -1$ و$f(2) = 3$ و$f(3) = 5$ و$f(4) = 4$، فما قيمتاها العظمى والصغرى المطلقتان على $\icc{0}{4}$؟

   القيمة العظمى $5$ والصغرى $-1$.

   القيمة العظمى $5$ والصغرى $2$.

   القيمة العظمى $4$ والصغرى $2$.

   لا يمكن معرفة ذلك دون صيغة $f$.

6. السؤال 6ما نقاط انعطاف $f(x) = x^5 - 5x^4$؟

   $3$ فقط.

   $0$ و$3$، لأن المشتقة الثانية تنعدم عندهما.

   $0$ و$4$، لأن المشتقة تنعدم عندهما.

   لا توجد، لأن المشتقة الثالثة تنعدم عند $0$.

7. السؤال 7ما الدائرة اللاثمة للتمثيل البياني لـ $f(x) = \frac{1}{x}$ عند النقطة $(1, 1)$؟

   الدائرة التي مركزها $(2, 2)$ ونصف قطرها $\sqrt{2}$.

   الدائرة التي مركزها $(0, 0)$ ونصف قطرها $\sqrt{2}$.

   الدائرة التي مركزها $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ ونصف قطرها $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

   الدائرة التي مركزها $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ ونصف قطرها $\frac{1}{2}$.

8. السؤال 8ما نقاط القطع المكافئ $y = x^2$ الأقرب إلى النقطة $(0, 2)$؟

   $\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$ و$\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$

   الرأس $(0, 0)$.

   $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$ فقط.

   لا توجد: بما أن القطع المكافئ غير محدود، فقد لا تبلغ المسافة قيمة صغرى.

9. السؤال 9الدالة $f(x) = e^x - 3$ متزايدة ومقعّرة نحو الأعلى على $\mathbb{R}$، وجذرها $\ln 3$، القريب من $1{,}0986$. ماذا تفعل تكرارات نيوتن-رافسون انطلاقًا من $x_0 = 0$؟

   الأول يقفز إلى الجهة الأخرى من الجذر، إلى $x_1 = 2$، ومن هناك تتناقص نحو $\ln 3$ دون أن تتجاوزه.

   تتزايد نحو $\ln 3$ دون أن تتجاوزه، لأنها تنطلق من يساره.

   لا تتقارب، لأن $f(x_0) < 0$ لا تحقق فرضية المبرهنة.

   تتناوب على جانبي الجذر، وتقترب منه أكثر فأكثر.

10. السؤال 10من وحدات سابقةدالة $f$ متصلة على $\icc{0}{1}$، مع $f(0) = 1$ و$f(1) = -1$. ماذا يمكن أن نضمن؟

    أنها تنعدم عند نقطة ما من $\ioo{0}{1}$.

    أنها تنعدم عند نقطة واحدة بالضبط من $\ioo{0}{1}$.

    أنها متناقصة على $\icc{0}{1}$.

    أنها تنعدم عند $\frac{1}{2}$.

11. السؤال 11من وحدات سابقةدالة $f$ معرّفة على فترة مفتوحة تحتوي $a$، و$f'(a) > 0$. ماذا يمكن أن نضمن؟

    أنه يوجد $\delta > 0$ بحيث يكون $f(x) < f(a)$ إذا $a - \delta < x < a$، و$f(x) > f(a)$ إذا $a < x < a + \delta$.

    أن $f$ متزايدة على فترة مفتوحة ما تحتوي $a$.

    أن $f(x) > f(a)$ لكل $x > a$ من الفترة.

    أن $f'(x) > 0$ لكل $x$ قريب من $a$.

12. السؤال 12من وحدات سابقةاحسب $f''(1)$ من أجل $f(x) = x^2 \ln x$.

    $3$

    $1$

    $2$

    $-2$

13. السؤال 13من وحدات سابقةالمعادلة $x^2 + xy + y^2 = 3$ تعرّف قرب النقطة $(1, 1)$ دالة قابلة للاشتقاق $y(x)$، مع $y(1) = 1$. ما قيمة $y'(1)$؟

    $-1$

    $-\frac{3}{2}$

    $-5$

    $1$

14. السؤال 14من وحدات سابقةاحسب $\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1 + x^2\right)}{1 - \cos x}$.

    $2$

    $1$

    $\frac{1}{2}$

    غير موجودة، لأن خارج القسمة من الشكل $\frac{0}{0}$.