المشتقات: الخلاصة والتحديات

ملخص

يختم هذا الدرس الوحدة الخاصة بالمشتقات. وهو يجمع في سلسلة استنتاجية واحدة ما برهنت عليه دروس الوحدة العشرة: المشتقة بوصفها نهاية نسبة التزايد، وتوصيفاتها الثلاثة المتكافئة وقواعد الاشتقاق، المستخرجة كلها من تحليل كاراثيودوري دون القسمة على كميات قد تنعدم، ومعها مشتقات الدوال الأولية وقاعدة السلسلة؛ ومبرهنة القيم الوسطى واتصال الدالة العكسية، اللذان يسندان مشتقة الدالة العكسية، وردّ القوى والدوال الأسية لأي أساس إلى الدالة الأسية الطبيعية؛ والمشتقات المتتالية والتفاضل ومعدلات التغير. ويشرح كيف تستند الوحدة إلى الوحدة التي سبقتها وإلى الجبر والهندسة 1 و2، وكيف تمهّد لتطبيقات المشتقات. ويُختم بتقييم الخروج، الموازي لتقييم الدخول، وبعشرة تحدّيات، أصعب من مسائل الدروس، يجمع كلٌّ منها نتائج عدة دروس منها.

أهداف التعلم

أن يعرض بترتيب منطقي التعاريف والمبرهنات الرئيسية في الوحدة، مبيّنًا على أي نتائج متقدمة يعتمد كلٌّ منها وفي أي براهين يُعاد استعمال تحليل كاراثيودوري.
أن يميّز ما تقبله الوحدة مما تبرهن عليه، وأن يتعرّف فروض كل نتيجة، كفرض مشتقة الدالة العكسية أو الفرض الذي يتطلبه الاشتقاق الضمني.
أن يربط نتائج الوحدة بالوحدة الخاصة بالنهايات والاتصال، وبالجبر والهندسة 1 و2، وبتطبيقات المشتقات.
أن يحل مسائل غير مألوفة تجمع بين تعريف المشتقة والقواعد وقاعدة السلسلة والقيم الوسطى ومشتقة الدالة العكسية والقوى ذات الأس المتغير والمشتقات المتتالية والتفاضل ومعدلات التغير.

ما حقّقته الوحدة

تقوم الوحدة كلها على فكرة واحدة: المشتقة نهاية، وكانت الوحدة التي سبقتها قد قدّمت كل ما يلزم لحسابها والتعامل معها. غير أن نسبة التزايد قسمة، والقسمة على تزايد قد ينعدم هي مصدر البراهين المعيبة. ويستبدل توصيف كاراثيودوري بالقسمة جداءً، فيه عامل $\varphi$ متصل عند $a$ :

f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a), \qquad \varphi(a) = f'(a)

وبه يُردّ البرهان على أن دالة قابلة للاشتقاق إلى تحليل تزايدها بعامل متصل، واتصال العامل تحسمه مبرهنات الوحدة التي سبقتها. وهكذا استُخرجت قواعد التركيب الخطي والجداء والمقلوب، وقاعدة السلسلة، ومشتقة الدالة العكسية، وكلٌّ منها يستشهد بما تقدّمه بدل أن يعيد بناءه.

التعريف والقواعد

بلغ الدرس الخاص بـالمشتقة بوصفها نهاية التعريفَ نفسه انطلاقًا من المماس ومن السرعة، وحدّد أين يكون له معنى: عند نقطة من مجال التعريف هي نقطة تراكم له. وكتب المشتقة عبارةً مسوّرة، وعرّف المشتقتين من جهة واحدة بأنهما النهايتان من جهة واحدة لنسبة التزايد، والمستقيمين المماس والناظم، والدالة المشتقة وترميز لايبنتس، وبرهن على أن للمشتقة ثلاث صياغات متكافئة: نهاية نسبة التزايد، والتقريب $f(a + h) = f(a) + f'(a)h + \operatorname{o}(h)$ ، وتحليل كاراثيودوري. ومن هذا الأخير خرج في سطرين أن قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال؛ وبيّنت القيمة المطلقة والجذر التكعيبي أن العكس لا يصح. وبرهن الدرس الخاص بـقواعد الاشتقاق أولًا على أن المشتقة لا تتوقف إلا على ما يحدث بقرب النقطة، ثم، بالجمع بين التحليلات، على قواعد التركيب الخطي والجداء والمقلوب وخارج القسمة؛ وبها اشتق القوى ذات الأس الصحيح وكثيرات الحدود والدوال الكسرية، وحسم قابلية الاشتقاق عند نقطة الوصل بين قطعتين، حيث لا تكفي مشتقات الصيغ. واستخرج الدرس الخاص بـمشتقات الدوال الأولية مشتقتي الجيب وجيب التمام من النهاية المثلثية الأساسية ومن صيغ المجموع، ومشتقتي الدالة الأسية الطبيعية و $\ln \abs{x}$ من النهايات الشهيرة، دون قاعدة السلسلة ولا قاعدة الدالة العكسية، ومشتقات بقية الدوال المثلثية والدوال الزائدية بالقواعد. ووصل الدرس الخاص بـقاعدة السلسلة بين تحليلين، وشرح لماذا يخفق البرهان الذي يقسم على $g(x) - g(a)$ حين تكرر الدالة الداخلية قيمتها، واعتنى بمجال تعريف التركيب، وكتب القاعدة بترميز لايبنتس، حيث تبدو اختزالًا للكسور وليست كذلك.

الاتصال والدوال العكسية والأسس

برهن الدرس الخاص بـمبرهنة القيم الوسطى على مبرهنة بولزانو بالحد الأعلى الأصغر للنقاط التي تكون الدالة عندها سالبة وبحفظ الإشارة، واستخرج منها مبرهنة القيم الوسطى، وأن صورة فترة بدالة متصلة فترة، وأن الدالة العكسية لدالة متصلة ورتيبة تمامًا على فترة متصلة؛ وحوّلت طريقة التنصيف البرهان إلى إجراء. وقرأ الدرس الخاص بـمشتقة الدالة العكسية تحليل كاراثيودوري معكوسًا: إذا كان $f'(a) \neq 0$ فإن العامل لا ينعدم، ومقلوبه، مركّبًا مع الدالة العكسية المتصلة، يحلّل تزايد الدالة العكسية؛ وإذا كان $f'(a) = 0$ فإن قاعدة السلسلة تمنع أن تكون الدالة العكسية قابلة للاشتقاق. وبتلك المبرهنة اشتق الدوال المثلثية العكسية والدوال الزائدية العكسية والجذور والقوى ذات الأس النسبي، واشتق دوالّ معرّفة ضمنيًا، مفترضًا في كل حالة أنها موجودة وقابلة للاشتقاق. وردّ الدرس الخاص بـالمتغير في الأس كل شيء إلى الدالة الأسية الطبيعية، بواسطة $a^x = e^{x \ln a}$ و $\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ : فاشتق الدالة الأسية واللوغاريتم لأي أساس، والقوى ذات الأس الحقيقي وتلك التي أساسها وأسّها متغيران، وسوّغ الاشتقاق اللوغاريتمي بالبرهان على قابلية الاشتقاق قبل أخذ اللوغاريتمات، وحسم أن $\pi^e < e^\pi$ بالمماس للوغاريتم المارّ بالأصل.

المشتقات المتتالية ومعدلات التغير

عرّف الدرس الخاص بـالمشتقات المتتالية والتفاضل المشتقاتِ من الرتب العليا بالتراجع، مع مجال تعريفها، وبرهن بالاستقراء على صيغ المشتقة من الرتبة $n$ للقوى والدالة الأسية والجيب وجيب التمام، وعلى قاعدة لايبنتس، التي معاملاتها معاملات صيغة ذات الحدين لنيوتن. وأعطى معنى منفصلًا لكلٍّ من $\mathrm{d}y$ و $\mathrm{d}x$ : فالتفاضل $\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x$ هو الجزء الخطي الوحيد من التزايد الذي يختلف عنه بكمية مهملة بالنسبة إلى $\Delta x$ ؛ واستعمله لتقريب القيم ولتقدير انتشار الأخطاء، دون حدٍّ لخطأ التقريب، إذ يتطلب ذلك أدوات لاحقة. وقرأ الدرس الخاص بـمعدلات التغير المشتقةَ بوصفها السرعة التي تتغير بها كمية: فميّز المعدل المتوسط واللحظي والنسبي، ووصّف النمو بمعدل نسبي ثابت، ووصف الحركة على مستقيم بالسرعة والسرعة القياسية والتسارع، وبرهن على ما تقوله إشارة المشتقة عند نقطة عن القيم القريبة، ولا شيء أكثر، وأسّس على قاعدة السلسلة طريقة صريحة للمعدلات المرتبطة.

ما يُقبل وما يُبرهن وما يبقى

يمكن تلخيص حصيلة الوحدة على هذا النحو:

تُقبل مسلّمة التمام، التي لا تستعملها في هذه الوحدة مباشرةً إلا مبرهنة بولزانو، ومبرهنات الوحدة الخاصة بالنهايات والاتصال، ونتائج مبرهن عليها في الجبر والهندسة: صيغ المجموع، والمتطابقات الأساسية، وقوانين الأسس واللوغاريتمات، والمتباينة $e^x \geq 1 + x$ ، ورتابة الدوال التي تعرّف الدوال العكسية، والاستقراء، وصيغة ذات الحدين لنيوتن. ويُفترض، فضلًا عن ذلك، في كل حالة، أن معادلةً تعرّف دالة قابلة للاشتقاق حين تُشتق ضمنيًا.
يُبرهن على حقائق كان الجبر والهندسة قد قبلها أو أعلن عنها: مبرهنة القيم الوسطى، وأن المماس للخط البياني لـ $e^x$ عند $(0, 1)$ ميله $1$ ، وأن $e$ هو الأساس الوحيد الذي لدالته الأسية هذا الميل؛ والمماس، الذي كان يُعرَّف للقطوع المخروطية بأنه المستقيم الذي يلامس المنحنى دون أن يقطعه، يصير معرّفًا لأي خط بياني.
يُعاد استعمال أربع أدوات بدل تكرار الحجج: تحليل كاراثيودوري، ومبرهنة أن قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال، والطابع المحلي للمشتقة، وحفظ الإشارة.
يبقى لما بعدُ ما يتطلب أكثر من المشتقة عند نقطة: مبرهنة التزايدات المنتهية وما يترتب عليها، والرتابة من إشارة المشتقة، والقيم القصوى، وقاعدة لوبيتال، وحدود خطأ التفاضل، في الوحدة اللاحقة؛ وكثيرة حدود تايلور والتكامل، في التفاضل والتكامل 2؛ والمبرهنة التي تضمن الدوال المعرّفة ضمنيًا، في حساب التفاضل والتكامل في عدة متغيرات.

يجمع الرسم الآتي المقاطع الثلاثة في سلسلة واحدة. كل عقدة في العمود تعريفٌ أو مبرهنة، مرقّمة بحسب الترتيب المنطقي، وموصولة بقوس بالحلقات المتقدّمة عليها التي يستعملها برهانها؛ وحولها تطفو الدعامات، أي المبادئ والأدوات التي تعود إليها السلسلة مرة بعد مرة، وكلٌّ منها موصول بخط متّصل بالحلقات التي تستند إليها وبخط منقّط بالحلقة التي تُثبَت فيها، باستثناء ما يأتي من الوحدة التي سبقتها أو من الجبر والهندسة، فيُرسم أطواقًا. والنقر على دعامة يُبرز كل الحلقات التي تستعملها، وكل حلقة تحيل إلى الدرس الذي يُبرهن عليها فيه.

دعامات السلسلة

Aمسلّمة التمام. يُقبل، منذ الجبر والهندسة 1، أن الأعداد الحقيقية تكوّن حقلًا مرتبًا تامًا: كل مجموعة غير خالية من الأعداد الحقيقية محدودة من الأعلى لها حد أعلى أصغر. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Bإرث الوحدة 1. نتائج مبرهن عليها في الوحدة الخاصة بالنهايات والاتصال: جبر النهايات، مع نهاية المقصور ونهاية التركيب؛ والنهايات من جهة واحدة؛ والاتصال، واتصال العمليات واتصال التركيب؛ واتصال الدوال الأولية واتصال الدالة العكسية لدالة رتيبة صورتها فترة؛ ونهايات $\frac{\sin h}{h}$ و $\frac{1 - \cos h}{h}$ و $\frac{e^h - 1}{h}$ و $\frac{\ln(1 + h)}{h}$ عند $0$ ؛ و $\operatorname{o}$ الصغيرة والتكافؤ. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Cحفظ الإشارة. مبرهن عليه في الوحدة الخاصة بالنهايات والاتصال: إذا آلت $f$ عند $a$ إلى نهاية $L \neq 0$ ، فإن للدالة بقرب $a$ إشارة $L$ ؛ وإذا كانت $f$ متصلة عند $a$ مع $f(a) \neq 0$ ، فإن لها بقرب $a$ إشارة $f(a)$ ولا تنعدم. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Dإرث الجبر والهندسة. نتائج مبرهن عليها في الجبر والهندسة 1 و2: الاستقراء، وصيغة ذات الحدين لنيوتن وقاعدة باسكال؛ وصيغ المجموع والمتطابقات الأساسية المثلثية والزائدية؛ وقوانين الأسس واللوغاريتمات، وتغيير الأساس والمتباينة $e^x \geq 1 + x$ ؛ ورتابة المقصورات التي تعرّف الدوال المثلثية العكسية ورتابة الدوال الزائدية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Eتحليل كاراثيودوري. تكون $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$ ، مع $f'(a) = L$ ، إذا وفقط إذا وُجدت $\varphi$ ، متصلة عند $a$ ، مع $\varphi(a) = L$ و $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ على كامل مجال التعريف: يكفي للاشتقاق تحليل التزايد، دون قسمة. تثبت في: 3. ثلاثة توصيفات.
Fقابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال. كل دالة قابلة للاشتقاق عند نقطة متصلة عندها؛ وتستعمل القواعد ذلك ليكون عامل كاراثيودوري متصلًا. تثبت في: 4. قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال.
Gالطابع المحلي. لا تتغير المشتقة عند $a$ بقصر الدالة على مجموعة تبقى $a$ نقطة تراكم لها، ولا تتوقف إلا على القيم القريبة من $a$ ؛ ولذلك يُعمل في تقاطع مجالات التعريف أو في فترة مفتوحة. تثبت في: 5. الطابع المحلي للمشتقة.

المقطع 1 التعريف والقواعد
- أن يعرّف المشتقة عند نقطة تراكم لمجال التعريف بأنها نهاية نسبة التزايد، مع المشتقتين من جهة واحدة، وأن يكتبها عبارةً مسوّرة.
- أن يبرهن على تكافؤ نسبة التزايد والتقريب الخطي وتحليل كاراثيودوري، وأن يستنتج أن قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال، لا العكس.
- أن يستخرج بالتحليلات، دون القسمة على التزايدات، قواعد التركيب الخطي والجداء والمقلوب وخارج القسمة، وأن يشتق كثيرات الحدود والدوال الكسرية والدوال المعرّفة بقطع.
- أن يشتق الدوال المثلثية والدالة الأسية واللوغاريتم والدوال الزائدية بنهايات الوحدة التي سبقتها، وتركيباتها بقاعدة السلسلة.
1. تعريف المشتقة. إذا كانت $a$ عنصرًا من مجال التعريف $A$ للدالة $f$ وكانت نقطة تراكم لـ $A$ ، فإن $f'(a) = L$ حين يتحقق $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)$ ؛ أو على نحو مكافئ، $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L$ .
  تستند إلى: B (إرث الوحدة 1). يُبرهن في: المشتقة بوصفها نهاية لدالة.
2. المشتقتان من جهة واحدة. المشتقتان من جهة واحدة $f'_+(a)$ و $f'_-(a)$ هما النهايتان من جهة واحدة لنسبة التزايد؛ وإذا كانت $a$ نقطة تراكم لمجال التعريف من الجهتين، فإن $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$ إذا وفقط إذا وُجدت المشتقتان وتساوتا، وإذا كانت كذلك من جهة واحدة فقط، فالمشتقة هي مشتقة تلك الجهة.
  تستعمل: 1. تعريف المشتقة. تستند إلى: B (إرث الوحدة 1). يُبرهن في: المشتقة بوصفها نهاية لدالة.
3. ثلاثة توصيفات. العبارات الآتية متكافئة: $f'(a) = L$ ؛ و $f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h)$ حين تؤول $h$ إلى $0$ ؛ ووجود دالة $\varphi$ ، متصلة عند $a$ ، مع $\varphi(a) = L$ ، بحيث $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ لكل $x$ من مجال التعريف.
  تستعمل: 1. تعريف المشتقة. تستند إلى: B (إرث الوحدة 1). يُبرهن في: المشتقة بوصفها نهاية لدالة.
4. قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال. إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$ فهي متصلة عند $a$ ؛ والعكس خاطئ: $\abs{x}$ و $\sqrt[3]{x}$ متصلتان عند $0$ وغير قابلتين للاشتقاق عند $0$ .
  تستعمل: 2. المشتقتان من جهة واحدة, 3. ثلاثة توصيفات. تستند إلى: B (إرث الوحدة 1), E (تحليل كاراثيودوري). يُبرهن في: المشتقة بوصفها نهاية لدالة.
5. الطابع المحلي للمشتقة. إذا كانت $F$ مقصور $f$ على مجموعة $B$ تحوي $a$ وتكون $a$ نقطة تراكم لها، وكانت $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$ ، فإن $F'(a) = f'(a)$ ؛ وإذا كانت $B$ تحوي كل نقاط مجال التعريف القريبة من $a$ ، فإن $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$ إذا وفقط إذا كانت $F$ كذلك.
  تستعمل: 1. تعريف المشتقة. تستند إلى: B (إرث الوحدة 1). يُبرهن في: قواعد الاشتقاق.
6. التركيب الخطي والجداء. إذا كانت $f$ و $g$ قابلتين للاشتقاق عند $a$ ، فكذلك $\alpha f + g$ و $fg$ ، مع $(\alpha f + g)'(a) = \alpha f'(a) + g'(a)$ و $(fg)'(a) = f'(a) \, g(a) + f(a) \, g'(a)$ .
  تستعمل: 3. ثلاثة توصيفات, 4. قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال. تستند إلى: B (إرث الوحدة 1), E (تحليل كاراثيودوري), F (قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال). يُبرهن في: قواعد الاشتقاق.
7. المقلوب وخارج القسمة. إذا كانت $f$ و $g$ قابلتين للاشتقاق عند $a$ وكان $g(a) \neq 0$ ، فإن $a$ نقطة تراكم لمجال تعريف $\frac{f}{g}$ ، ويتحقق $\left(\frac{1}{g}\right)'(a) = -\frac{g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}$ و $\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a) \, g(a) - f(a) \, g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}$ .
  تستعمل: 3. ثلاثة توصيفات, 4. قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال, 5. الطابع المحلي للمشتقة, 6. التركيب الخطي والجداء. تستند إلى: B (إرث الوحدة 1), C (حفظ الإشارة), E (تحليل كاراثيودوري), F (قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال), G (الطابع المحلي). يُبرهن في: قواعد الاشتقاق.
8. القوى وكثيرات الحدود والدوال الكسرية. لكل عدد صحيح $m \neq 0$ ، مشتقة $x^m$ هي $m x^{m - 1}$ على كامل مجال تعريفها؛ وكل كثيرة حدود قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ ، ومشتقتها تُحسب حدًّا حدًّا، وكل دالة كسرية قابلة للاشتقاق على مجال تعريفها.
  تستعمل: 1. تعريف المشتقة, 6. التركيب الخطي والجداء, 7. المقلوب وخارج القسمة. تستند إلى: D (إرث الجبر والهندسة). يُبرهن في: قواعد الاشتقاق.
9. المشتقة عند نقطة الوصل. إذا انطبقت $f$ على $g$ على يسار $c$ وعلى $h$ على يمينها، مع $g$ و $h$ قابلتين للاشتقاق عند $c$ ، فإن $f$ قابلة للاشتقاق عند $c$ إذا وفقط إذا كان $g(c) = f(c) = h(c)$ و $g'(c) = h'(c)$ ؛ ولا تكفي مقارنة مشتقات الصيغ.
  تستعمل: 2. المشتقتان من جهة واحدة, 4. قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال. تستند إلى: B (إرث الوحدة 1), F (قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال). يُبرهن في: قواعد الاشتقاق.
10. الدوال المثلثية. لكل عدد حقيقي $x$ ، $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x$ و $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x$ ؛ وحيث $\cos x \neq 0$ ، $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\tan x\right) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ ؛ وتُشتق ظل التمام والقاطع وقاطع التمام بخارج القسمة والمقلوب.
  تستعمل: 1. تعريف المشتقة, 6. التركيب الخطي والجداء, 7. المقلوب وخارج القسمة. تستند إلى: B (إرث الوحدة 1), D (إرث الجبر والهندسة). يُبرهن في: مشتقات الدوال الأولية.
11. الأسية واللوغاريتم والزائدية. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^x\right) = e^x$ على $\mathbb{R}$ ، و $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{x}\right) = \frac{1}{x}$ على $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ ، ومشتقات $\sinh x$ و $\cosh x$ و $\tanh x$ هي $\cosh x$ و $\sinh x$ و $\frac{1}{\cosh^2 x}$ على الترتيب.
  تستعمل: 1. تعريف المشتقة, 6. التركيب الخطي والجداء, 7. المقلوب وخارج القسمة. تستند إلى: B (إرث الوحدة 1), D (إرث الجبر والهندسة). يُبرهن في: مشتقات الدوال الأولية.
12. قاعدة السلسلة. إذا كانت $g$ قابلة للاشتقاق عند $a$ وكانت $f$ ، المعرّفة على مجموعة تحوي قيم $g$ ، قابلة للاشتقاق عند $g(a)$ ، فإن $(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)$ ؛ والبرهان الذي يقسم على $g(x) - g(a)$ لا يصح إلا حين $g'(a) \neq 0$ .
  تستعمل: 3. ثلاثة توصيفات, 4. قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال. تستند إلى: B (إرث الوحدة 1), C (حفظ الإشارة), E (تحليل كاراثيودوري), F (قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال). يُبرهن في: قاعدة السلسلة لاشتقاق تركيب الدوال.
13. التركيبات المألوفة. تصح القاعدة على مجال تعريف $f \circ g$ حين تكون $a$ نقطة تراكم له، وهو ما يحدث إذا كان مجال تعريف $f$ يحوي فترة مركزها $g(a)$ ؛ وبها، $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\left(g(x)\right)^m\right) = m \left(g(x)\right)^{m - 1} g'(x)$ لكل عدد صحيح $m \neq 0$ ، و $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{g(x)}\right) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$ إذا كان $g(a) > 0$ ، و $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin g(x)\right) = \cos g(x) \cdot g'(x)$ .
  تستعمل: 1. تعريف المشتقة, 5. الطابع المحلي للمشتقة, 8. القوى وكثيرات الحدود والدوال الكسرية, 10. الدوال المثلثية, 12. قاعدة السلسلة. تستند إلى: C (حفظ الإشارة), F (قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال), G (الطابع المحلي). يُبرهن في: قاعدة السلسلة لاشتقاق تركيب الدوال.
المقطع 2 الاتصال والدوال العكسية والأسس
- أن يبرهن بالحد الأعلى الأصغر على مبرهنة بولزانو، وبها على مبرهنة القيم الوسطى، وعلى أن صورة فترة بدالة متصلة فترة، وأن الدالة العكسية لدالة متصلة ورتيبة تمامًا متصلة.
- أن يبرهن على مشتقة الدالة العكسية بقراءة تحليل كاراثيودوري معكوسًا، وأن يشتق الدوال المثلثية العكسية والدوال الزائدية العكسية والجذور والقوى ذات الأس النسبي.
- أن يشتق دوالّ معرّفة ضمنيًا، مميّزًا حساب المشتقة من البرهان على وجودها.
- أن يردّ إلى الدالة الأسية الطبيعية الدوالَّ الأسية واللوغاريتمات لأي أساس والقوى ذات الأس الحقيقي أو ذات الأساس والأس المتغيرين، وأن يسوّغ الاشتقاق اللوغاريتمي.
1. مبرهنة بولزانو. إذا كانت $f$ متصلة على $\icc{a}{b}$ وكان $f(a) < 0 < f(b)$ أو $f(a) > 0 > f(b)$ ، فإنه يوجد $c$ في $\ioo{a}{b}$ بحيث $f(c) = 0$ .
  تستند إلى: A (مسلّمة التمام), C (حفظ الإشارة). يُبرهن في: مبرهنة القيم الوسطى.
2. مبرهنة القيم الوسطى. إذا كانت $f$ متصلة على $\icc{a}{b}$ ، فإنها تأخذ كل قيمة محصورة بين $f(a)$ و $f(b)$ ؛ ومن ثمّ فصورة فترة بدالة متصلة فترة.
  تستعمل: 14. مبرهنة بولزانو. تستند إلى: B (إرث الوحدة 1). يُبرهن في: مبرهنة القيم الوسطى.
3. اتصال الدالة العكسية. إذا كانت $f$ متصلة ورتيبة تمامًا على فترة $I$ ، فإن دالتها العكسية متصلة على الفترة $f(I)$ .
  تستعمل: 15. مبرهنة القيم الوسطى. تستند إلى: B (إرث الوحدة 1). يُبرهن في: مبرهنة القيم الوسطى.
4. مشتقة الدالة العكسية. إذا كانت $f$ متصلة ورتيبة تمامًا على فترة $I$ فيها أكثر من نقطة وقابلة للاشتقاق عند $a$ ، مع $f'(a) \neq 0$ ، فإن $f^{-1}$ قابلة للاشتقاق عند $b = f(a)$ ، و $\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}$ ؛ وإذا كان $f'(a) = 0$ ، فإن $f^{-1}$ غير قابلة للاشتقاق عند $b$ .
  تستعمل: 1. تعريف المشتقة, 3. ثلاثة توصيفات, 12. قاعدة السلسلة, 15. مبرهنة القيم الوسطى, 16. اتصال الدالة العكسية. تستند إلى: B (إرث الوحدة 1), E (تحليل كاراثيودوري). يُبرهن في: مشتقة الدالة العكسية والاشتقاق الضمني.
5. الدوال العكسية الأولية والجذور. على مجالات قابليتها للاشتقاق، $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arcsin x\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ و $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arctan x\right) = \frac{1}{1 + x^2}$ و $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\operatorname{arcsinh} x\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ ؛ و $\sqrt[n]{x}$ قابلة للاشتقاق عند كل $x \neq 0$ من مجال تعريفها وغير قابلة للاشتقاق عند $0$ ؛ و $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{\frac{p}{q}}\right) = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q} - 1}$ على $\ioo{0}{\infty}$ .
  تستعمل: 8. القوى وكثيرات الحدود والدوال الكسرية, 10. الدوال المثلثية, 11. الأسية واللوغاريتم والزائدية, 13. التركيبات المألوفة, 17. مشتقة الدالة العكسية. تستند إلى: B (إرث الوحدة 1), D (إرث الجبر والهندسة). يُبرهن في: مشتقة الدالة العكسية والاشتقاق الضمني.
6. الدالة الأسية واللوغاريتم للأساس a. إذا كان $a > 0$ و $a \neq 1$ ، فإن $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a$ و $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a}$ ؛ وإذا كانت $u$ قابلة للاشتقاق عند نقطة، فكذلك $e^{u(x)}$ ، ومشتقتها $e^{u(x)} u'(x)$ ، وإذا كانت $u$ فضلًا عن ذلك لا تنعدم عندها، فكذلك $\ln \abs{u(x)}$ ، ومشتقتها $\frac{u'(x)}{u(x)}$ .
  تستعمل: 6. التركيب الخطي والجداء, 11. الأسية واللوغاريتم والزائدية, 12. قاعدة السلسلة, 13. التركيبات المألوفة. تستند إلى: D (إرث الجبر والهندسة). يُبرهن في: المتغير في الأس والاشتقاق اللوغاريتمي.
7. القوى ذات الأس الحقيقي والمتغير. لكل عدد حقيقي $r$ ، $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^r\right) = r x^{r - 1}$ على $\ioo{0}{\infty}$ ؛ وإذا كانت $f$ ، ذات القيم الموجبة، و $g$ قابلتين للاشتقاق عند $a$ ، فإن $F(x) = \left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ قابلة للاشتقاق عند $a$ ، مع $F'(a) = \left(f(a)\right)^{g(a)} \left(g'(a) \ln f(a) + \frac{g(a) f'(a)}{f(a)}\right)$ .
  تستعمل: 6. التركيب الخطي والجداء, 11. الأسية واللوغاريتم والزائدية, 12. قاعدة السلسلة, 19. الدالة الأسية واللوغاريتم للأساس a. تستند إلى: D (إرث الجبر والهندسة). يُبرهن في: المتغير في الأس والاشتقاق اللوغاريتمي.
8. الاشتقاق اللوغاريتمي. إذا كانت $f_1, \ldots, f_k$ قابلة للاشتقاق عند $a$ ولا تنعدم عند $a$ ، وكانت $f_j$ موجبة حين لا يكون $r_j$ عددًا صحيحًا، فإن $F = f_1^{r_1} \cdots f_k^{r_k}$ قابلة للاشتقاق عند $a$ ، و $\frac{F'(a)}{F(a)} = r_1 \frac{f_1'(a)}{f_1(a)} + \cdots + r_k \frac{f_k'(a)}{f_k(a)}$ ؛ ويُبرهن على قابلية الاشتقاق قبل أخذ اللوغاريتمات.
  تستعمل: 4. قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال, 5. الطابع المحلي للمشتقة, 6. التركيب الخطي والجداء, 13. التركيبات المألوفة, 19. الدالة الأسية واللوغاريتم للأساس a, 20. القوى ذات الأس الحقيقي والمتغير. تستند إلى: D (إرث الجبر والهندسة), F (قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال), G (الطابع المحلي). يُبرهن في: المتغير في الأس والاشتقاق اللوغاريتمي.
9. باي أس e وe أس باي. لكل $x > 0$ يتحقق $x^{\frac{1}{x}} \leq e^{\frac{1}{e}}$ ، ولا تتحقق المساواة إلا إذا كان $x = e$ ، لأن اللوغاريتم يقع تحت مماسه $y = \frac{x}{e}$ ؛ وبوجه خاص، $\pi^e < e^\pi$ .
  تستعمل: 11. الأسية واللوغاريتم والزائدية. تستند إلى: D (إرث الجبر والهندسة). يُبرهن في: المتغير في الأس والاشتقاق اللوغاريتمي.
المقطع 3 المشتقات المتتالية ومعدلات التغير
- أن يعرّف المشتقات المتتالية وأن يبرهن بالاستقراء على صيغ المشتقة من الرتبة $n$ للقوى والدالة الأسية والجيب وجيب التمام، وعلى قاعدة لايبنتس.
- أن يعطي معنى منفصلًا لكلٍّ من $\mathrm{d}y$ و $\mathrm{d}x$ ، وأن يبرهن على أن التفاضل هو الجزء الرئيسي من التزايد، وأن يستعمله للتقريب ولتقدير الأخطاء، دون حدّها.
- أن يقرأ المشتقة بوصفها معدل تغير متوسطًا ولحظيًا ونسبيًا، وأن يصف بها الحركة على مستقيم.
- أن يحل مسائل المعدلات المرتبطة بقاعدة السلسلة وبطريقة صريحة.
1. المشتقات المتتالية. $f^{(0)} = f$ و $f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)'$ ، ومجال تعريف كلٍّ منها مكوّن من النقاط التي تكون عندها المشتقة المتقدمة عليها قابلة للاشتقاق؛ وإذا كانت $f$ و $g$ قابلتين للاشتقاق $n$ مرة على فترة مفتوحة، فإن $\left(\alpha f + g\right)^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)}$ .
  تستعمل: 6. التركيب الخطي والجداء. تستند إلى: D (إرث الجبر والهندسة), G (الطابع المحلي). يُبرهن في: المشتقات المتتالية والتفاضل.
2. المشتقات من الرتبة n. على $\ioo{0}{\infty}$ ، $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(x^r\right) = r(r - 1)\cdots(r - n + 1) \, x^{r - n}$ ؛ ولكل عدد حقيقي $x$ ، $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(e^{cx}\right) = c^n e^{cx}$ و $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(\sin x\right) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$ ؛ ومعاملات كثيرة حدود $f$ هي الأعداد $\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ .
  تستعمل: 8. القوى وكثيرات الحدود والدوال الكسرية, 13. التركيبات المألوفة, 19. الدالة الأسية واللوغاريتم للأساس a, 20. القوى ذات الأس الحقيقي والمتغير, 23. المشتقات المتتالية. تستند إلى: D (إرث الجبر والهندسة). يُبرهن في: المشتقات المتتالية والتفاضل.
3. قاعدة لايبنتس. إذا كانت $f$ و $g$ قابلتين للاشتقاق $n$ مرة على فترة مفتوحة، فكذلك $fg$ ، و $(fg)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n - k)}$ .
  تستعمل: 6. التركيب الخطي والجداء, 23. المشتقات المتتالية. تستند إلى: D (إرث الجبر والهندسة). يُبرهن في: المشتقات المتتالية والتفاضل.
4. التفاضل. إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$ ، فإن التزايد $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ يحقق $\Delta y = \mathrm{d}y + \operatorname{o}(\Delta x)$ ، مع $\mathrm{d}y = f'(a) \, \Delta x$ ، ولا تحققه أي دالة خطية أخرى في $\Delta x$ ؛ وإذا كان $f'(a) \neq 0$ ، فإن $\Delta y \sim \mathrm{d}y$ ؛ وإذا كان $w = f(u)$ ، فإن $\mathrm{d}w = f'(u) \, \mathrm{d}u$ .
  تستعمل: 3. ثلاثة توصيفات, 6. التركيب الخطي والجداء, 7. المقلوب وخارج القسمة, 12. قاعدة السلسلة. تستند إلى: B (إرث الوحدة 1). يُبرهن في: المشتقات المتتالية والتفاضل.
5. معدل نسبي ثابت. إذا كان $y(t) = y_0 e^{kt}$ ، مع $y_0 > 0$ و $k \neq 0$ ، فإن معدل التغير النسبي $\frac{y'(t)}{y(t)}$ يساوي $k$ في كل لحظة، و $y(t + T) = e^{kT} y(t)$ : تتضاعف الكمية، أو تنقص إلى النصف، في كل فترة زمنية مدتها $\frac{\ln 2}{\abs{k}}$ .
  تستعمل: 19. الدالة الأسية واللوغاريتم للأساس a. تستند إلى: D (إرث الجبر والهندسة). يُبرهن في: معدلات التغير والمعدلات المرتبطة.
6. إشارة المشتقة عند نقطة. إذا كانت $f$ معرّفة على فترة مفتوحة $I$ ، وقابلة للاشتقاق عند نقطة $a$ من $I$ ، و $f'(a) > 0$ ، فإنه يوجد $\delta > 0$ بحيث، لكل $x$ من $I$ ، $f(x) < f(a)$ إذا كان $a - \delta < x < a$ ، و $f(x) > f(a)$ إذا كان $a < x < a + \delta$ ؛ ولا يلزم أن تكون $f$ متزايدة بقرب $a$ . ومن هنا تزداد السرعة القياسية حين تكون للسرعة وللتسارع الإشارة نفسها.
  تستعمل: 1. تعريف المشتقة, 6. التركيب الخطي والجداء. تستند إلى: C (حفظ الإشارة). يُبرهن في: معدلات التغير والمعدلات المرتبطة.
7. المعدلات المرتبطة. إذا كانت $u$ قابلة للاشتقاق عند $t_0$ وكان $y(t) = g(u(t))$ ، مع $g$ قابلة للاشتقاق عند $u(t_0)$ ، فإن $y'(t_0) = g'(u(t_0)) \, u'(t_0)$ ؛ وكل عبارتين متساويتين في كل لحظة من فترة، قابلتين للاشتقاق عند $t_0$ ، لهما المشتقة نفسها عند $t_0$ .
  تستعمل: 12. قاعدة السلسلة. يُبرهن في: معدلات التغير والمعدلات المرتبطة.

نحو التطبيقات. تتوقف السلسلة حيث تكفّ المشتقة عن أن تكون موضوع الدراسة وتصير أداة: فالوحدة اللاحقة تبدأ بمبرهنة فايرشتراس للقيم القصوى؛ وتبرهن على مبرهنة فيرما بإشارة المشتقة عند نقطة، ومنها على مبرهنتي رول والتزايدات المنتهية، اللتين تحوّلان إشارة المشتقة إلى رتابة وتعطيان قاعدة لوبيتال والقيم القصوى والتقعر والحدود التي لا يملكها التفاضل؛ وتنتهي بطريقة نيوتن-رافسون، التي تستبدل بالمنحنى مماسه.

في بقية هذا الدرس

الوحدة داخل الدورة
تقييم الخروج
التحدّيات
جذر بميلين
ارتفاع برج
نهاية هي مشتقة لوغاريتمية
المنحنى الذي يكون فيه x أس y مساويًا لـ y أس x
مماسان مشتركان
الأفق من مصعد
مشتقات قوة لـ x تربيع ناقص واحد
مشتقات قوس الجيب عند الأصل
الدالة العكسية لـ x مضروبًا في الدالة الأسية لـ x
معادلة دالية دون مبرهنة التزايدات المنتهية