Derivadas: síntese e desafios

Resumo

Esta aula encerra a unidade sobre as derivadas. Reúne numa só cadeia dedutiva o que as dez aulas da unidade demonstraram: a derivada como limite da razão incremental, suas três caracterizações equivalentes e as regras de derivação, obtidas todas da fatoração de Carathéodory sem dividir por quantidades que podem anular-se, junto com as derivadas das funções elementares e a regra da cadeia; o teorema do valor intermediário e a continuidade da inversa, que sustentam a derivada da função inversa, e a redução à exponencial natural das potências e exponenciais de qualquer base; e as derivadas sucessivas, a diferencial e as taxas de variação. Explica como a unidade se apoia na unidade anterior e em Álgebra e Geometria I e II, e como prepara as aplicações das derivadas. Termina com uma avaliação de saída, paralela à de entrada, e com dez desafios, mais difíceis que os problemas das aulas, cada um dos quais combina resultados de várias delas.

Objetivos de aprendizagem

Expor em ordem lógica as definições e os teoremas principais da unidade, indicando de que resultados anteriores depende cada um e em que demonstrações se reutiliza a fatoração de Carathéodory.
Distinguir o que a unidade admite do que demonstra, e reconhecer as hipóteses de cada resultado, como a da derivada da inversa ou a que a derivação implícita exige.
Relacionar os resultados da unidade com a unidade sobre os limites e a continuidade, com Álgebra e Geometria I e II e com as aplicações das derivadas.
Resolver problemas não rotineiros que combinam a definição de derivada, as regras, a regra da cadeia, o valor intermediário, a derivada da inversa, as potências de expoente variável, as derivadas sucessivas, a diferencial e as taxas de variação.

O que a unidade alcançou

A unidade inteira repousa numa ideia: a derivada é um limite, e a unidade anterior já havia fornecido tudo o necessário para calculá-lo e manejá-lo. Mas a razão incremental é uma divisão, e dividir por um incremento que pode anular-se é a fonte das demonstrações defeituosas. A caracterização de Carathéodory substitui a divisão por um produto, com um fator $\varphi$ contínuo em $a$ :

f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a), \qquad \varphi(a) = f'(a)

Com ela, demonstrar que uma função é derivável reduz-se a fatorar seu incremento com um fator contínuo, e a continuidade do fator é decidida pelos teoremas da unidade anterior. Assim se obtiveram as regras da combinação linear, do produto e do inverso, a regra da cadeia e a derivada da função inversa, cada uma citando os resultados anteriores em vez de refazê-las.

A definição e as regras

A aula sobre a derivada como limite chegou à mesma definição a partir da tangente e a partir da velocidade, e fixou onde ela tem sentido: num ponto do domínio que é ponto de acumulação dele. Escreveu a derivada como enunciado quantificado, definiu as derivadas laterais como limites laterais da razão incremental, as retas tangente e normal, a função derivada e a notação de Leibniz, e demonstrou que a derivada admite três formulações equivalentes: o limite da razão incremental, a aproximação $f(a + h) = f(a) + f'(a)h + \operatorname{o}(h)$ e a fatoração de Carathéodory. Desta última saiu em duas linhas que derivável implica contínua; o valor absoluto e a raiz cúbica mostraram que a recíproca é falsa. A aula sobre as regras de derivação demonstrou primeiro que a derivada só depende do que ocorre perto do ponto, e depois, combinando fatorações, as regras da combinação linear, do produto, do inverso e do quociente; com elas derivou as potências de expoente inteiro, os polinômios e as funções racionais, e decidiu a derivabilidade no ponto de junção de duas partes, onde as derivadas das fórmulas não bastam. A aula sobre as derivadas das funções elementares obteve as do seno e do cosseno a partir do limite trigonométrico fundamental e das fórmulas de adição, as da exponencial natural e de $\ln \abs{x}$ a partir dos limites notáveis, sem a regra da cadeia nem a regra da função inversa, e as das demais trigonométricas e das hiperbólicas com as regras. A aula sobre a regra da cadeia combinou duas fatorações, explicou por que a demonstração que divide por $g(x) - g(a)$ falha quando a função interna repete seu valor, cuidou do domínio da composição e escreveu a regra na notação de Leibniz, onde parece uma simplificação de frações sem o ser.

A continuidade, as inversas e os expoentes

A aula sobre o teorema do valor intermediário demonstrou o teorema de Bolzano com o supremo dos pontos onde a função é negativa e a conservação do sinal, e dele obteve o teorema do valor intermediário, que a imagem de um intervalo por uma função contínua é um intervalo e que a inversa de uma função contínua e estritamente monótona num intervalo é contínua; o método da bisseção converteu a demonstração num procedimento. A aula sobre a derivada da função inversa leu às avessas a fatoração de Carathéodory: se $f'(a) \neq 0$ , o fator não se anula, e seu inverso, composto com a inversa contínua, fatora o incremento da inversa; se $f'(a) = 0$ , a regra da cadeia impede que a inversa seja derivável. Com esse teorema derivou as trigonométricas inversas, as inversas hiperbólicas, as raízes e as potências de expoente racional, e derivou funções definidas implicitamente, supondo em cada caso que existem e são deriváveis. A aula sobre a variável no expoente reduziu tudo à exponencial natural, com $a^x = e^{x \ln a}$ e $\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ : derivou a exponencial e o logaritmo de qualquer base, as potências de expoente real e as de base e expoente variáveis, justificou a derivação logarítmica provando a derivabilidade antes de tomar logaritmos, e decidiu que $\pi^e < e^\pi$ com a tangente ao logaritmo que passa pela origem.

As derivadas sucessivas e as taxas de variação

A aula sobre as derivadas sucessivas e a diferencial definiu por recursão as derivadas de ordem superior, com seu domínio, e demonstrou por indução as fórmulas de ordem $n$ das potências, da exponencial, do seno e do cosseno, e a regra de Leibniz, que tem os coeficientes do binômio de Newton. Deu sentido separadamente a $\mathrm{d}y$ e $\mathrm{d}x$ : a diferencial $\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x$ é a única parte linear do incremento que difere dele numa quantidade desprezível em relação a $\Delta x$ ; usou-a para aproximar valores e para estimar a propagação dos erros, sem limitar o erro da aproximação, o que exige instrumentos posteriores. A aula sobre as taxas de variação leu a derivada como a rapidez com que muda uma grandeza: distinguiu a taxa média, a instantânea e a relativa, caracterizou o crescimento com taxa relativa constante, descreveu o movimento retilíneo com a velocidade, a rapidez e a aceleração, demonstrou o que diz o sinal da derivada em um ponto sobre os valores próximos, e nada mais, e fundou na regra da cadeia um método explícito para as taxas relacionadas.

O que se admite, o que se demonstra e o que fica

O balanço da unidade pode resumir-se assim:

Admitem-se o axioma da completude, que nesta unidade só o teorema de Bolzano usa diretamente, os teoremas da unidade sobre os limites e a continuidade e resultados demonstrados em Álgebra e Geometria: as fórmulas de adição, as identidades fundamentais, as propriedades das potências e dos logaritmos, a desigualdade $e^x \geq 1 + x$ , a monotonia das funções que definem as inversas, a indução e o binômio de Newton. Supõe-se, além disso, em cada caso, que uma equação define uma função derivável quando é derivada implicitamente.
Demonstram-se fatos que Álgebra e Geometria havia admitido ou anunciado: o teorema do valor intermediário, que a tangente ao gráfico de $e^x$ em $(0, 1)$ tem coeficiente angular $1$ e que $e$ é a única base cuja exponencial o tem; e a tangente, que para as cônicas se definia como a reta que toca a curva sem cortá-la, passa a definir-se para qualquer gráfico.
Reutilizam-se quatro instrumentos em vez de repetir argumentos: a fatoração de Carathéodory, o teorema de que derivável implica contínua, o caráter local da derivada e a conservação do sinal.
Fica para depois o que exige mais que a derivada em um ponto: o teorema do valor médio e o que dele decorre, a monotonia pelo sinal da derivada, os extremos, a regra de L’Hôpital e as cotas do erro da diferencial, na unidade seguinte; o polinômio de Taylor e a integral, em Cálculo II; e o teorema que garante as funções definidas implicitamente, no cálculo em várias variáveis.

A figura abaixo reúne os três trechos numa só cadeia. Cada nó da coluna é uma definição ou um teorema, numerado segundo a ordem lógica e unido por um arco aos elos precedentes que sua demonstração usa; ao redor flutuam os apoios, isto é, os princípios e os instrumentos a que a cadeia recorre repetidas vezes, cada um unido por um traço contínuo aos elos que nele se apoiam e por um traço pontilhado ao elo onde se estabelece, exceto os que provêm da unidade anterior ou de Álgebra e Geometria, que são desenhados como anéis. Ao clicar em um apoio, destacam-se todos os elos que o usam, e cada elo remete à aula em que é demonstrado.

Apoios da cadeia

AAxioma da completude. Admite-se, desde Álgebra e Geometria I, que os reais formam um corpo ordenado completo: todo conjunto não vazio de reais limitado superiormente tem supremo. Admitido sem demonstração nesta unidade.
BHerança da unidade 1. Resultados demonstrados na unidade sobre os limites e a continuidade: a álgebra dos limites, com o limite de uma restrição e o de uma composição; os limites laterais; a continuidade, a das operações e a da composição; a continuidade das funções elementares e da inversa de uma função monótona cuja imagem é um intervalo; os limites de $\frac{\sin h}{h}$ , $\frac{1 - \cos h}{h}$ , $\frac{e^h - 1}{h}$ e $\frac{\ln(1 + h)}{h}$ em $0$ ; e o $\operatorname{o}$ pequeno e a equivalência. Admitido sem demonstração nesta unidade.
CConservação do sinal. Demonstrada na unidade sobre os limites e a continuidade: se $f$ tende em $a$ a um limite $L \neq 0$ , perto de $a$ a função tem o sinal de $L$ ; e se $f$ é contínua em $a$ com $f(a) \neq 0$ , perto de $a$ tem o sinal de $f(a)$ e não se anula. Admitido sem demonstração nesta unidade.
DHerança de Álgebra e Geometria. Resultados demonstrados em Álgebra e Geometria I e II: a indução, o binômio de Newton e a relação de Stifel; as fórmulas de adição e as identidades fundamentais trigonométricas e hiperbólicas; as propriedades das potências e dos logaritmos, a mudança de base e a desigualdade $e^x \geq 1 + x$ ; e a monotonia das restrições que definem as trigonométricas inversas e das funções hiperbólicas. Admitido sem demonstração nesta unidade.
EFatoração de Carathéodory. $f$ é derivável em $a$ , com $f'(a) = L$ , se e somente se existe $\varphi$ , contínua em $a$ , com $\varphi(a) = L$ e $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ em todo o domínio: para derivar basta fatorar o incremento, sem dividir. Estabelecido em: 3. Três caracterizações.
FDerivável implica contínua. Toda função derivável em um ponto é contínua nele; as regras usam isso para que o fator de Carathéodory resulte contínuo. Estabelecido em: 4. Derivável implica contínua.
GCaráter local. A derivada em $a$ não muda ao restringir a função a um conjunto do qual $a$ continua sendo ponto de acumulação, e só depende dos valores próximos de $a$ ; por isso se trabalha na interseção dos domínios ou num intervalo aberto. Estabelecido em: 5. Caráter local da derivada.

Trecho 1 A definição e as regras
- Definir a derivada num ponto de acumulação do domínio como o limite da razão incremental, com suas derivadas laterais, e escrevê-la como enunciado quantificado.
- Demonstrar a equivalência da razão incremental, da aproximação linear e da fatoração de Carathéodory, e deduzir que derivável implica contínua, mas não reciprocamente.
- Obter com fatorações, sem dividir por incrementos, as regras da combinação linear, do produto, do inverso e do quociente, e derivar polinômios, funções racionais e funções definidas por partes.
- Derivar as funções trigonométricas, a exponencial, o logaritmo e as hiperbólicas com os limites da unidade anterior, e suas composições com a regra da cadeia.
1. Definição de derivada. Se $a$ é um elemento do domínio $A$ de $f$ que é ponto de acumulação de $A$ , $f'(a) = L$ quando $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)$ ; equivalentemente, $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L$ .
  Apoia-se em: B (Herança da unidade 1). Demonstrado em: A derivada como limite de uma função.
2. Derivadas laterais. As derivadas laterais $f'_+(a)$ e $f'_-(a)$ são os limites laterais da razão incremental; se $a$ é ponto de acumulação do domínio pelos dois lados, $f$ é derivável em $a$ se e somente se as duas existem e são iguais, e se o é por um só lado, a derivada é a desse lado.
  Usa: 1. Definição de derivada. Apoia-se em: B (Herança da unidade 1). Demonstrado em: A derivada como limite de uma função.
3. Três caracterizações. São equivalentes: $f'(a) = L$ ; $f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h)$ quando $h$ tende a $0$ ; e a existência de uma função $\varphi$ , contínua em $a$ , com $\varphi(a) = L$ , tal que $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ para todo $x$ do domínio.
  Usa: 1. Definição de derivada. Apoia-se em: B (Herança da unidade 1). Demonstrado em: A derivada como limite de uma função.
4. Derivável implica contínua. Se $f$ é derivável em $a$ , é contínua em $a$ ; a recíproca é falsa: $\abs{x}$ e $\sqrt[3]{x}$ são contínuas em $0$ e não são deriváveis em $0$ .
  Usa: 2. Derivadas laterais, 3. Três caracterizações. Apoia-se em: B (Herança da unidade 1), E (Fatoração de Carathéodory). Demonstrado em: A derivada como limite de uma função.
5. Caráter local da derivada. Se $F$ é a restrição de $f$ a um conjunto $B$ que contém $a$ e do qual $a$ é ponto de acumulação, e $f$ é derivável em $a$ , então $F'(a) = f'(a)$ ; e se $B$ contém todos os pontos do domínio próximos de $a$ , $f$ é derivável em $a$ se e somente se $F$ o é.
  Usa: 1. Definição de derivada. Apoia-se em: B (Herança da unidade 1). Demonstrado em: Regras de derivação.
6. Combinação linear e produto. Se $f$ e $g$ são deriváveis em $a$ , também o são $\alpha f + g$ e $fg$ , com $(\alpha f + g)'(a) = \alpha f'(a) + g'(a)$ e $(fg)'(a) = f'(a) \, g(a) + f(a) \, g'(a)$ .
  Usa: 3. Três caracterizações, 4. Derivável implica contínua. Apoia-se em: B (Herança da unidade 1), E (Fatoração de Carathéodory), F (Derivável implica contínua). Demonstrado em: Regras de derivação.
7. Inverso e quociente. Se $f$ e $g$ são deriváveis em $a$ e $g(a) \neq 0$ , então $a$ é ponto de acumulação do domínio de $\frac{f}{g}$ , e valem $\left(\frac{1}{g}\right)'(a) = -\frac{g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}$ e $\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a) \, g(a) - f(a) \, g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}$ .
  Usa: 3. Três caracterizações, 4. Derivável implica contínua, 5. Caráter local da derivada, 6. Combinação linear e produto. Apoia-se em: B (Herança da unidade 1), C (Conservação do sinal), E (Fatoração de Carathéodory), F (Derivável implica contínua), G (Caráter local). Demonstrado em: Regras de derivação.
8. Potências, polinômios e funções racionais. Para todo inteiro $m \neq 0$ , a derivada de $x^m$ é $m x^{m - 1}$ em todo o seu domínio; todo polinômio é derivável em $\mathbb{R}$ , com a derivada termo a termo, e toda função racional é derivável em seu domínio.
  Usa: 1. Definição de derivada, 6. Combinação linear e produto, 7. Inverso e quociente. Apoia-se em: D (Herança de Álgebra e Geometria). Demonstrado em: Regras de derivação.
9. Derivada em um ponto de junção. Se $f$ coincide com $g$ à esquerda de $c$ e com $h$ à direita, com $g$ e $h$ deriváveis em $c$ , então $f$ é derivável em $c$ se e somente se $g(c) = f(c) = h(c)$ e $g'(c) = h'(c)$ ; comparar as derivadas das fórmulas não basta.
  Usa: 2. Derivadas laterais, 4. Derivável implica contínua. Apoia-se em: B (Herança da unidade 1), F (Derivável implica contínua). Demonstrado em: Regras de derivação.
10. Funções trigonométricas. Para todo real $x$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x$ e $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x$ ; onde $\cos x \neq 0$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\tan x\right) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ ; e a cotangente, a secante e a cossecante derivam-se com o quociente e o inverso.
  Usa: 1. Definição de derivada, 6. Combinação linear e produto, 7. Inverso e quociente. Apoia-se em: B (Herança da unidade 1), D (Herança de Álgebra e Geometria). Demonstrado em: Derivadas das funções elementares.
11. Exponencial, logaritmo e hiperbólicas. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^x\right) = e^x$ em $\mathbb{R}$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{x}\right) = \frac{1}{x}$ em $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ , e as derivadas de $\sinh x$ , $\cosh x$ e $\tanh x$ são $\cosh x$ , $\sinh x$ e $\frac{1}{\cosh^2 x}$ .
  Usa: 1. Definição de derivada, 6. Combinação linear e produto, 7. Inverso e quociente. Apoia-se em: B (Herança da unidade 1), D (Herança de Álgebra e Geometria). Demonstrado em: Derivadas das funções elementares.
12. Regra da cadeia. Se $g$ é derivável em $a$ e $f$ , definida num conjunto que contém os valores de $g$ , é derivável em $g(a)$ , então $(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)$ ; a demonstração que divide por $g(x) - g(a)$ só vale quando $g'(a) \neq 0$ .
  Usa: 3. Três caracterizações, 4. Derivável implica contínua. Apoia-se em: B (Herança da unidade 1), C (Conservação do sinal), E (Fatoração de Carathéodory), F (Derivável implica contínua). Demonstrado em: Regra da cadeia para a derivada da composição de funções.
13. Composições usuais. A regra vale no domínio de $f \circ g$ quando $a$ é ponto de acumulação dele, o que ocorre se o domínio de $f$ contém um intervalo de centro $g(a)$ ; com ela, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\left(g(x)\right)^m\right) = m \left(g(x)\right)^{m - 1} g'(x)$ para todo inteiro $m \neq 0$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{g(x)}\right) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$ se $g(a) > 0$ , e $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin g(x)\right) = \cos g(x) \cdot g'(x)$ .
  Usa: 1. Definição de derivada, 5. Caráter local da derivada, 8. Potências, polinômios e funções racionais, 10. Funções trigonométricas, 12. Regra da cadeia. Apoia-se em: C (Conservação do sinal), F (Derivável implica contínua), G (Caráter local). Demonstrado em: Regra da cadeia para a derivada da composição de funções.
Trecho 2 A continuidade, as inversas e os expoentes
- Demonstrar com o supremo o teorema de Bolzano e, com ele, o do valor intermediário, que a imagem de um intervalo por uma função contínua é um intervalo e que a inversa de uma função contínua e estritamente monótona é contínua.
- Demonstrar a derivada da função inversa lendo às avessas a fatoração de Carathéodory, e derivar as trigonométricas inversas, as inversas hiperbólicas, as raízes e as potências de expoente racional.
- Derivar funções definidas implicitamente, distinguindo o cálculo da derivada da prova de que ela existe.
- Reduzir à exponencial natural as exponenciais e os logaritmos de qualquer base e as potências de expoente real ou de base e expoente variáveis, e justificar a derivação logarítmica.
1. Teorema de Bolzano. Se $f$ é contínua em $\icc{a}{b}$ e $f(a) < 0 < f(b)$ , ou $f(a) > 0 > f(b)$ , existe $c$ em $\ioo{a}{b}$ tal que $f(c) = 0$ .
  Apoia-se em: A (Axioma da completude), C (Conservação do sinal). Demonstrado em: Teorema do valor intermediário.
2. Teorema do valor intermediário. Se $f$ é contínua em $\icc{a}{b}$ , assume todo valor compreendido entre $f(a)$ e $f(b)$ ; portanto, a imagem de um intervalo por uma função contínua é um intervalo.
  Usa: 14. Teorema de Bolzano. Apoia-se em: B (Herança da unidade 1). Demonstrado em: Teorema do valor intermediário.
3. Continuidade da inversa. Se $f$ é contínua e estritamente monótona num intervalo $I$ , sua inversa é contínua no intervalo $f(I)$ .
  Usa: 15. Teorema do valor intermediário. Apoia-se em: B (Herança da unidade 1). Demonstrado em: Teorema do valor intermediário.
4. Derivada da função inversa. Se $f$ é contínua e estritamente monótona num intervalo $I$ com mais de um ponto e derivável em $a$ , com $f'(a) \neq 0$ , então $f^{-1}$ é derivável em $b = f(a)$ , e $\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}$ ; se $f'(a) = 0$ , $f^{-1}$ não é derivável em $b$ .
  Usa: 1. Definição de derivada, 3. Três caracterizações, 12. Regra da cadeia, 15. Teorema do valor intermediário, 16. Continuidade da inversa. Apoia-se em: B (Herança da unidade 1), E (Fatoração de Carathéodory). Demonstrado em: Derivada da função inversa e derivação implícita.
5. Inversas elementares e raízes. Em seus domínios de derivabilidade, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arcsin x\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arctan x\right) = \frac{1}{1 + x^2}$ e $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\operatorname{argsenh} x\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ ; $\sqrt[n]{x}$ é derivável em todo $x \neq 0$ de seu domínio e não em $0$ ; e $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{\frac{p}{q}}\right) = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q} - 1}$ em $\ioo{0}{\infty}$ .
  Usa: 8. Potências, polinômios e funções racionais, 10. Funções trigonométricas, 11. Exponencial, logaritmo e hiperbólicas, 13. Composições usuais, 17. Derivada da função inversa. Apoia-se em: B (Herança da unidade 1), D (Herança de Álgebra e Geometria). Demonstrado em: Derivada da função inversa e derivação implícita.
6. Exponencial e logaritmo na base a. Se $a > 0$ e $a \neq 1$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a$ e $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a}$ ; e se $u$ é derivável em um ponto, $e^{u(x)}$ também o é, com derivada $e^{u(x)} u'(x)$ , e se além disso $u$ não se anula nele, $\ln \abs{u(x)}$ também o é, com derivada $\frac{u'(x)}{u(x)}$ .
  Usa: 6. Combinação linear e produto, 11. Exponencial, logaritmo e hiperbólicas, 12. Regra da cadeia, 13. Composições usuais. Apoia-se em: D (Herança de Álgebra e Geometria). Demonstrado em: A variável no expoente e a derivação logarítmica.
7. Potências de expoente real e variável. Para todo real $r$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^r\right) = r x^{r - 1}$ em $\ioo{0}{\infty}$ ; e se $f$ , de valores positivos, e $g$ são deriváveis em $a$ , então $F(x) = \left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ é derivável em $a$ , com $F'(a) = \left(f(a)\right)^{g(a)} \left(g'(a) \ln f(a) + \frac{g(a) f'(a)}{f(a)}\right)$ .
  Usa: 6. Combinação linear e produto, 11. Exponencial, logaritmo e hiperbólicas, 12. Regra da cadeia, 19. Exponencial e logaritmo na base a. Apoia-se em: D (Herança de Álgebra e Geometria). Demonstrado em: A variável no expoente e a derivação logarítmica.
8. Derivação logarítmica. Se $f_1, \ldots, f_k$ são deriváveis em $a$ e não se anulam em $a$ , e $f_j$ é positiva quando $r_j$ não é inteiro, então $F = f_1^{r_1} \cdots f_k^{r_k}$ é derivável em $a$ , e $\frac{F'(a)}{F(a)} = r_1 \frac{f_1'(a)}{f_1(a)} + \cdots + r_k \frac{f_k'(a)}{f_k(a)}$ ; a derivabilidade se prova antes de tomar logaritmos.
  Usa: 4. Derivável implica contínua, 5. Caráter local da derivada, 6. Combinação linear e produto, 13. Composições usuais, 19. Exponencial e logaritmo na base a, 20. Potências de expoente real e variável. Apoia-se em: D (Herança de Álgebra e Geometria), F (Derivável implica contínua), G (Caráter local). Demonstrado em: A variável no expoente e a derivação logarítmica.
9. Pi elevado a e e e elevado a pi. Para todo $x > 0$ vale $x^{\frac{1}{x}} \leq e^{\frac{1}{e}}$ , com igualdade só se $x = e$ , porque o logaritmo fica abaixo de sua tangente $y = \frac{x}{e}$ ; em particular, $\pi^e < e^\pi$ .
  Usa: 11. Exponencial, logaritmo e hiperbólicas. Apoia-se em: D (Herança de Álgebra e Geometria). Demonstrado em: A variável no expoente e a derivação logarítmica.
Trecho 3 As derivadas sucessivas e as taxas de variação
- Definir as derivadas sucessivas e demonstrar por indução as fórmulas de ordem $n$ das potências, da exponencial, do seno e do cosseno, e a regra de Leibniz.
- Dar sentido separadamente a $\mathrm{d}y$ e $\mathrm{d}x$ , demonstrar que a diferencial é a parte principal do incremento e usá-la para aproximar e estimar erros, sem limitá-los.
- Ler a derivada como taxa de variação média, instantânea e relativa, e descrever com ela o movimento retilíneo.
- Resolver taxas relacionadas com a regra da cadeia e um método explícito.
1. Derivadas sucessivas. $f^{(0)} = f$ e $f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)'$ , com o domínio de cada uma formado pelos pontos em que a precedente é derivável; se $f$ e $g$ são $n$ vezes deriváveis num intervalo aberto, $\left(\alpha f + g\right)^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)}$ .
  Usa: 6. Combinação linear e produto. Apoia-se em: D (Herança de Álgebra e Geometria), G (Caráter local). Demonstrado em: Derivadas sucessivas e diferencial.
2. Derivadas de ordem n. Em $\ioo{0}{\infty}$ , $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(x^r\right) = r(r - 1)\cdots(r - n + 1) \, x^{r - n}$ ; para todo real $x$ , $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(e^{cx}\right) = c^n e^{cx}$ e $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(\sin x\right) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$ ; e os coeficientes de um polinômio $f$ são os números $\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ .
  Usa: 8. Potências, polinômios e funções racionais, 13. Composições usuais, 19. Exponencial e logaritmo na base a, 20. Potências de expoente real e variável, 23. Derivadas sucessivas. Apoia-se em: D (Herança de Álgebra e Geometria). Demonstrado em: Derivadas sucessivas e diferencial.
3. Regra de Leibniz. Se $f$ e $g$ são $n$ vezes deriváveis num intervalo aberto, também o é $fg$ , e $(fg)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n - k)}$ .
  Usa: 6. Combinação linear e produto, 23. Derivadas sucessivas. Apoia-se em: D (Herança de Álgebra e Geometria). Demonstrado em: Derivadas sucessivas e diferencial.
4. A diferencial. Se $f$ é derivável em $a$ , o incremento $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ cumpre $\Delta y = \mathrm{d}y + \operatorname{o}(\Delta x)$ , com $\mathrm{d}y = f'(a) \, \Delta x$ , e nenhuma outra função linear de $\Delta x$ o cumpre; se $f'(a) \neq 0$ , $\Delta y \sim \mathrm{d}y$ ; e se $w = f(u)$ , então $\mathrm{d}w = f'(u) \, \mathrm{d}u$ .
  Usa: 3. Três caracterizações, 6. Combinação linear e produto, 7. Inverso e quociente, 12. Regra da cadeia. Apoia-se em: B (Herança da unidade 1). Demonstrado em: Derivadas sucessivas e diferencial.
5. Taxa relativa constante. Se $y(t) = y_0 e^{kt}$ , com $y_0 > 0$ e $k \neq 0$ , a taxa de variação relativa $\frac{y'(t)}{y(t)}$ vale $k$ em todo instante, e $y(t + T) = e^{kT} y(t)$ : a grandeza duplica, ou se reduz à metade, em cada intervalo de duração $\frac{\ln 2}{\abs{k}}$ .
  Usa: 19. Exponencial e logaritmo na base a. Apoia-se em: D (Herança de Álgebra e Geometria). Demonstrado em: Taxas de variação e taxas relacionadas.
6. O sinal da derivada em um ponto. Se $f$ está definida num intervalo aberto $I$ , é derivável num ponto $a$ de $I$ e $f'(a) > 0$ , existe $\delta > 0$ tal que, para todo $x$ de $I$ , $f(x) < f(a)$ se $a - \delta < x < a$ , e $f(x) > f(a)$ se $a < x < a + \delta$ ; não se segue que $f$ seja crescente perto de $a$ . Daí que a rapidez aumente quando a velocidade e a aceleração têm o mesmo sinal.
  Usa: 1. Definição de derivada, 6. Combinação linear e produto. Apoia-se em: C (Conservação do sinal). Demonstrado em: Taxas de variação e taxas relacionadas.
7. Taxas relacionadas. Se $u$ é derivável em $t_0$ e $y(t) = g(u(t))$ , com $g$ derivável em $u(t_0)$ , então $y'(t_0) = g'(u(t_0)) \, u'(t_0)$ ; e duas expressões iguais em todo instante de um intervalo, deriváveis em $t_0$ , têm a mesma derivada em $t_0$ .
  Usa: 12. Regra da cadeia. Demonstrado em: Taxas de variação e taxas relacionadas.

Rumo às aplicações. A cadeia se detém onde a derivada deixa de ser o objeto de estudo e passa a ser um instrumento: a unidade seguinte começa com o teorema de Weierstrass sobre os valores extremos; demonstra o teorema de Fermat com o sinal da derivada em um ponto, e dele os de Rolle e do valor médio, que convertem o sinal da derivada em monotonia e dão a regra de L’Hôpital, os extremos, a concavidade e as cotas que a diferencial não tem; e termina com o método de Newton-Raphson, que substitui a curva por sua tangente.