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LatineResumo
Esta aula abre a última unidade do curso, que vai do que a derivada diz em um ponto ao que diz em um intervalo. Apresenta o percurso da unidade: o teorema de Weierstrass assegura que uma função contínua em um intervalo fechado e limitado atinge seu máximo e seu mínimo; o de Fermat os localiza onde a derivada se anula; os de Rolle, Lagrange e Cauchy convertem o sinal da derivada em informação sobre um intervalo inteiro, e deles saem a regra de L’Hôpital, a monotonia, os testes de extremos, a concavidade, a curvatura, a otimização e o método de Newton-Raphson. Reconstrói a história desses resultados, desde o método de Fermat para os máximos até o teorema de Darboux, em uma ordem quase inversa à da unidade; formula o problema que a percorre, a passagem do local ao global, e mostra com um exemplo nos números racionais que essa passagem depende da completude dos reais. Termina indicando onde se empregam essas aplicações em outros cursos do site e na ciência e na técnica.
Objetivos de aprendizagem
- Descrever o percurso da unidade e explicar o que demonstra cada aula e de que resultados prévios se serve.
- Explicar por que as conclusões globais sobre uma função, como a existência de um máximo, a monotonia ou a convergência de um método, exigem, além da derivada, a completude dos números reais.
- Situar em seu contexto histórico os resultados da unidade, desde o método de Fermat para os máximos até o teorema de Darboux, e distinguir a ordem em que foram descobertos da ordem em que se demonstram.
- Indicar onde intervêm as aplicações das derivadas em outros cursos e em aplicações científicas e técnicas.
Avaliação de entrada
Antes de percorrer a unidade, convém medir o ponto de partida. Esta autoavaliação não atribui nota: serve para saber onde se deter. As nove primeiras perguntas tratam, em ordem, das nove aulas de conteúdo da unidade, uma para cada, e medem a compreensão de seu resultado central (o que assegura, sob que hipóteses, o que não assegura), não um enunciado que se recorde; as mesmas destrezas voltam a ser medidas no final, na aula de síntese, com outros dados. As cinco últimas verificam o que esta unidade dá por sabido das duas precedentes: o teorema de Bolzano, o sinal da derivada em um ponto, a segunda derivada, a derivação implícita e os infinitésimos equivalentes.
Antes de começar a unidade, meça seu ponto de partida. É uma autoavaliação breve: não recebe nota e seu resultado fica guardado apenas no seu navegador.
Pergunta 1Em qual destes casos o teorema de Weierstrass assegura que a função atinge seu valor máximo no conjunto indicado?
A função é contínua e limitada, mas não é um intervalo limitado, e o teorema não se aplica. De fato, não há máximo: os valores se aproximam de sem atingi-lo.O intervalo não é fechado: falta-lhe o extremo do intervalo , onde estaria o máximo. Os valores se aproximam de sem atingi-lo.O intervalo é fechado e limitado, mas a função não é contínua em : seu limite pela esquerda é e seu valor é . Os valores se aproximam de sem atingi-lo.A função é contínua, por ser o valor absoluto de um polinômio, e o intervalo é fechado e limitado. O teorema não exige derivabilidade: não é derivável em , onde atinge seu mínimo, , e atinge seu máximo, , em .Pergunta 2Uma função é derivável em , com e para todo . O que se pode assegurar sobre ?
Supôs-se que a derivada vale em todo o intervalo; a hipótese apenas a limita. A função constante cumpre as condições e vale em .Limitou-se o valor em vez do incremento: a desigualdade do valor médio limita , não . A função cumpre as hipóteses e vale em .Não é preciso conhecê-la: o teorema do valor médio converte uma cota da derivada em uma cota do incremento, sem saber em que ponto o coeficiente angular da tangente iguala o da corda.Pelo teorema do valor médio, para algum de , e : é a desigualdade do valor médio. Os dois valores extremos são atingidos, com e com , de modo que não se pode assegurar nada mais.Pergunta 3Calcular .
A regra de L’Hôpital afirma que, se o quociente das derivadas tem limite, o das funções tem o mesmo; se não o tem, a regra não diz nada, e o limite pode existir.Esse fator oscila, mas é limitado, e vai multiplicado por , que tende a mais rápido que .Substituiu-se por , como se fosse um infinitésimo equivalente. A equivalência do seno com seu argumento vale quando o argumento tende a , e não tende a .Para próximo de , o quociente é : o primeiro fator tende a , e o segundo a , porque . A regra de L’Hôpital não decide: o quociente das derivadas, , não tem limite.Revisar: Regra de L’Hôpital
Pergunta 4É estritamente crescente em a função ?
O que impede a monotonia estrita não é a quantidade de zeros da derivada, mas que ela se anule em todo um intervalo; aqui os zeros estão isolados.Uma derivada positiva basta para crescer estritamente, mas não é necessária: é estritamente crescente em e sua derivada se anula em .O cosseno oscila, mas nunca desce mais rápido do que sobe: a derivada da soma, , nunca é negativa.A derivada se anula apenas nos pontos isolados , com inteiro. Pela proposição da monotonia estrita com derivada não negativa, é estritamente crescente em .Pergunta 5Uma função é contínua em e derivável em cada ponto de exceto em , e sua derivada só se anula em . Se , , , e , quais são seus valores máximo e mínimo absolutos em ?
Esqueceram-se os pontos em que a função não é derivável, que também são pontos críticos: em a função vale .Compararam-se apenas os valores nos extremos do intervalo; os extremos absolutos podem estar também nos pontos críticos do interior.Os valores nos candidatos bastam: a proposição assegura que os extremos absolutos são atingidos em algum deles, e dá todos os candidatos.Pela proposição dos extremos absolutos em um intervalo fechado e limitado, eles existem e são atingidos em , em ou em um ponto crítico: em , onde não há derivada, ou em , onde ela se anula. Basta comparar , , e ; o valor em , que não é um candidato, não intervém.Revisar: Máximos e mínimos de uma função
Pergunta 6Quais são os pontos de inflexão de ?
Que se anule é necessário, mas não suficiente: é preciso que a concavidade mude, e mostra em que ela pode não mudar.São os pontos críticos, onde a tangente é horizontal. Um ponto de inflexão é um ponto onde a concavidade muda, e isso é decidido pela segunda derivada, não pela primeira.O teste da terceira derivada dá uma condição suficiente, e quando não se aplica não decide nada. Em ele se aplica: , que não é zero.A segunda derivada, , muda de sinal em ; em não, porque é negativa dos dois lados. Perto de a função é côncava de ambos os lados, e não é um ponto de inflexão, embora ali se anule .Pergunta 7Qual é a circunferência osculadora ao gráfico de no ponto ?
Tem a mesma tangente e o raio correto, mas se curva para o outro lado: seu centro está abaixo do ponto, e como , o centro de curvatura está acima dele.O número é a curvatura, não o raio: o raio de curvatura é seu inverso.Usou-se como raio, com o centro na vertical do ponto, o que só vale se a tangente é horizontal. Aqui o coeficiente angular é , e o fator não é .Com e , o raio é , e o centro está na normal, que é a reta , a essa distância do ponto e do lado para o qual o gráfico se curva: acima do ponto, porque .Revisar: Curvatura e raio de curvatura
Pergunta 8Quais são os pontos da parábola mais próximos do ponto ?
É o ponto mais baixo da parábola, mas não o mais próximo de : sua distância é , e a dos pontos de ordenada é . O ponto crítico de é um máximo local.Descartou-se a raiz negativa como se fosse um comprimento. É uma abscissa, que pode ser negativa, e o ponto simétrico em relação ao eixo vertical está à mesma distância.A proposição da distância de um ponto a um gráfico assegura o mínimo para uma função contínua em um intervalo que contém seus extremos, como : os pontos distantes estão longe, e o mínimo se busca em um intervalo fechado e limitado.Basta minimizar o quadrado da distância, , que atinge seu mínimo em pela proposição da distância de um ponto a um gráfico. Sua derivada, , se anula em e em , e o valor nestes dois, , é menor que .Revisar: Problemas de otimização
Pergunta 9A função é crescente e convexa em , e sua raiz é , próxima de . O que fazem as iterações de Newton-Raphson a partir de ?
À esquerda da raiz, a tangente de uma função convexa e crescente corta o eixo à direita da raiz, porque fica abaixo do gráfico. A aproximação monótona exige partir de um ponto onde é positiva.O teorema não se aplica a partir de , mas sim a partir de : o corolário mostra que a primeira iteração leva ao lado certo.Só a primeira iteração cruza a raiz; a partir de , todas as iterações ficam à sua direita.Em a função é negativa: é o lado errado. Pelo corolário do ponto de partida do lado errado, a primeira iteração cai onde é positiva, e a partir dela o teorema da convergência monótona dá iterações que decrescem em direção à raiz; a segunda é , próxima de .Revisar: O método de Newton-Raphson
Pergunta 10De unidades anterioresUma função é contínua em , com e . O que se pode assegurar?
O teorema assegura a existência, não a unicidade: cumpre as hipóteses e se anula em três pontos. Para a unicidade é preciso algo mais, por exemplo que a função seja estritamente monótona.Dois valores não decidem a monotonia: entre eles a função pode subir e descer, como .O ponto médio é o primeiro que a bisseção examina, mas a raiz pode estar em outro lugar: cumpre as hipóteses e se anula em .É o teorema de Bolzano: uma função contínua em um intervalo fechado e limitado, com valores de sinais opostos nos extremos do intervalo, se anula em algum ponto do interior.Revisar: Teorema do valor intermediário
Pergunta 11De unidades anterioresUma função está definida em um intervalo aberto que contém , e . O que se pode assegurar?
A derivada em um ponto não controla a monotonia ao redor: a função que vale se e em tem derivada em , e não é crescente em nenhum intervalo aberto que contenha .A proposição é local: só vale perto de . O seno tem derivada em , e vale em .A hipótese só fala da derivada em : pode não ser derivável nos pontos próximos, e ainda que o seja, sua derivada pode não ser contínua em .É a proposição do sinal da derivada em um ponto: a razão incremental conserva perto de o sinal de seu limite. Compara cada valor próximo com , não os valores próximos entre si.Pergunta 12De unidades anterioresCalcular para .
É , a primeira derivada: falta derivar mais uma vez.Falta a derivada da parcela de , que é .Multiplicaram-se as segundas derivadas dos fatores, . A segunda derivada de um produto não é o produto das segundas derivadas.Pela regra do produto, , e ao derivar outra vez, ; em o logaritmo se anula.Revisar: Derivadas sucessivas e diferencial
Pergunta 13De unidades anterioresA equação define perto do ponto uma função derivável , com . Quanto vale ?
Derivou-se como se fosse constante: falta o termo da regra do produto.Derivou-se como , sem multiplicar por : depende de , e a regra da cadeia dá .Perdeu-se o sinal ao isolar a incógnita: de sai .Ao derivar em relação a , com a regra do produto em e a regra da cadeia em , obtém-se ; no ponto fica .Pergunta 14De unidades anterioresCalcular .
Tomou-se como equivalente de ; o equivalente é .É o limite do quociente inverso: trocaram-se o numerador e o denominador.Essa forma só indica que o teorema do limite de um quociente não se aplica; o limite pode existir, e aqui existe.Quando , e ; ao substituir o numerador e o denominador por seus equivalentes, o quociente é .
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