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Topos Uranos
Português

Máximos e mínimos de uma função

Resumo

Esta aula reúne os resultados das precedentes em um método para encontrar os extremos de uma função. Chama absolutos o máximo e o mínimo de uma função em seu domínio, para distingui-los dos locais, e define os extremos estritos. Demonstra depois dois testes que decidem se um ponto com derivada nula é um extremo local sem estudar o sinal da derivada à sua volta: o da segunda derivada, que decorre do teste da primeira derivada, e o das derivadas sucessivas, que decorre da regra de L’Hôpital: se a primeira derivada que não se anula no ponto é de ordem par, há um extremo, e se é de ordem ímpar, não há. A segunda metade trata dos extremos absolutos. Em um intervalo fechado e limitado eles existem, pelo teorema de Weierstrass, e o teorema de Fermat os confina a uma lista de candidatos, os extremos do intervalo e os pontos críticos, entre os quais basta comparar valores. Em um intervalo aberto ou ilimitado podem não existir, e decidem-se com a monotonia ou com os limites nos extremos do intervalo; em particular, se uma função contínua em um intervalo tem um único ponto crítico e atinge nele um extremo local, esse extremo é absoluto.

Objetivos de aprendizagem

  1. Distinguir com quantificadores os extremos absolutos dos locais, e os estritos dos que não o são, e reconhecer cada caso em exemplos.
  2. Demonstrar os testes da segunda derivada e das derivadas sucessivas, e decidir com eles se um ponto com derivada nula é um máximo local, um mínimo local ou nenhuma das duas coisas, mesmo quando a segunda derivada se anula.
  3. Encontrar os extremos absolutos de uma função contínua em um intervalo fechado e limitado comparando seus valores nos extremos do intervalo e nos pontos críticos.
  4. Decidir se uma função atinge seus extremos absolutos em um intervalo aberto ou ilimitado, com a monotonia, com um único ponto crítico ou com os limites nos extremos do intervalo.

Extremos absolutos, locais e estritos

A aula sobre o teorema de Weierstrass definiu o máximo e o mínimo de uma função em um conjunto, e a aula sobre os teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy, os extremos locais, que só comparam o valor em um ponto com os valores próximos. Convém agora dar aos primeiros um nome que os distinga dos segundos, e precisar quando o valor no ponto é maior que todos os demais com que se compara, e não só maior ou igual.

DefiniçãoExtremos absolutos e extremos estritos

Sejam ff uma função definida em um conjunto AA e x0x_0 um elemento de AA. Diz-se que ff atinge em x0x_0 um máximo absoluto se atinge em x0x_0 seu máximo em AA, e um mínimo absoluto se atinge em x0x_0 seu mínimo em AA, no sentido da aula sobre o teorema de Weierstrass; um extremo absoluto é um máximo ou um mínimo absoluto. Um máximo absoluto ou local é estrito se f(x0)f(x_0) é maior que cada um dos outros valores com que se compara:

(∀x∈A)(x≠x0→f(x)<f(x0)),(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−x0∣<δ→f(x)<f(x0))(\forall x \in A)\left(x \neq x_0 \rightarrow f(x) < f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) < f(x_0)\right)

A primeira fórmula define o máximo absoluto estrito, e a segunda, o máximo local estrito; os mínimos estritos definem-se do mesmo modo, com f(x)>f(x0)f(x) > f(x_0).

Os extremos absolutos chamam-se também globais, e os locais, relativos. Todo extremo absoluto é local, com qualquer δ\delta, e todo extremo estrito é um extremo; as recíprocas são falsas. A função x3−3xx^3 - 3x atinge em −1-1 um máximo local que não é absoluto, como se viu na aula sobre os teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy. O cosseno atinge seu máximo absoluto em R\mathbb{R} em cada múltiplo de 2π2\pi; nenhum desses máximos é absoluto estrito, porque o valor 11 se repete, e cada um é local estrito, porque cos⁡x<1\cos x < 1 se 0<∣x−2kπ∣<2π0 < \abs{x - 2k\pi} < 2\pi. Uma função constante atinge em cada ponto um máximo e um mínimo absolutos, e nenhum é estrito. Em geral, se ff atinge em x0x_0 ao mesmo tempo um máximo e um mínimo local, é constante perto de x0x_0. O valor máximo absoluto, se existe, é único; um máximo absoluto estrito, além disso, é atingido em um só ponto.

Os extremos dependem do domínio. Se ff atinge um extremo em x0x_0 e BB é um subconjunto de AA que contém x0x_0, a restrição de ff a BB também o atinge, porque se compara com menos valores; a recíproca é falsa: x2x^2 atinge em [1,2]\icc{1}{2} seu mínimo absoluto em 11, e em R\mathbb{R} não tem em 11 nenhum extremo.