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Topos Uranos
日本語

関数の極値と最大値・最小値

要約

この課は、それまでの課の結果を、関数の最大値・最小値と極値を求める方法にまとめる。定義域全体における関数の最大値と最小値を極大値・極小値と区別し、さらに狭義の最大値・最小値と狭義の極値を定義する。続いて、点のまわりで導関数の符号を調べることなく、導関数が 0 になる点で極値をとるかどうかを判定する二つの判定法を証明する。1 階導関数による判定法から得られる 2 階導関数による判定法と、ロピタルの定理から得られる高階導関数による判定法である。その点で 0 にならない最初の導関数が偶数階なら極値があり、奇数階なら極値はない。課の後半では最大値・最小値を扱う。有界閉区間では、最大値・最小値はワイエルシュトラスの定理によって存在し、フェルマーの定理がそれらを候補の一覧、つまり区間の端点と臨界点に限るので、その中で値を比べればよい。開区間や非有界区間では存在しないことがあり、単調性か区間の端点での極限によって判定する。特に、区間で連続な関数がただ一つの臨界点をもち、そこで極値をとるなら、その点でとる値は最大値または最小値である。

学習目標

  1. 量化子を用いて最大値・最小値と極値を区別し、狭義のものとそうでないものを区別し、具体的な関数でそれぞれの場合を見分ける。
  2. 2 階導関数による判定法と高階導関数による判定法を証明し、それらを使って、導関数が 0 になる点で極大値をとるか、極小値をとるか、どちらでもないかを、2 階導関数が 0 になる場合も含めて判定する。
  3. 有界閉区間で連続な関数の最大値・最小値を、区間の端点と臨界点での値を比べて求める。
  4. 関数が開区間や非有界区間で最大値・最小値をとるかどうかを、単調性、ただ一つの臨界点、または区間の端点での極限によって判定する。

最大値・最小値、極値、狭義の極値

ワイエルシュトラスの定理の課は集合における関数の最大値と最小値を定義し、フェルマー・ロル・ラグランジュ・コーシーの定理の課は、点での値を近くの値とだけ比べる極値を定義した。ここで、前者を後者と区別する名前をはっきりさせ、点での値が、比べるほかのすべての値より大きい場合、つまり大きいか等しいだけではない場合を明確にしておくのがよい。

定義最大値・最小値と、狭義の最大値・最小値および極値

ff を集合 AA で定義された関数とし、x0x_0 を AA の元とする。ff が x0x_0 で最大値をとるとは、x0x_0 で AA における最大値をとることをいい、最小値をとるとは、x0x_0 で AA における最小値をとることをいう。ここでの意味はワイエルシュトラスの定理の課と同じである。最大値・最小値とは最大値または最小値のことである。最大値または極大値が狭義であるとは、f(x0)f(x_0) が、比べるほかの各値より大きいことをいう：

(∀x∈A)(x≠x0→f(x)<f(x0)),(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−x0∣<δ→f(x)<f(x0))(\forall x \in A)\left(x \neq x_0 \rightarrow f(x) < f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) < f(x_0)\right)

第 1 の式は狭義の最大値を、第 2 の式は狭義の極大値を定義する。狭義の最小値と極小値も同様に、f(x)>f(x0)f(x) > f(x_0) を用いて定義する。

最大値・最小値は大域的最大値・最小値とも呼ばれ、極値は相対極値とも呼ばれる。最大値・最小値はどれも極値であり（δ\delta は任意でよい）、狭義の最大値・最小値や極値はどれもそれぞれ最大値・最小値や極値である。逆はどちらも成り立たない。関数 x3−3xx^3 - 3x が −1-1 でとる極大値は最大値ではない。このことはフェルマー・ロル・ラグランジュ・コーシーの定理の課で見た。余弦関数は R\mathbb{R} における最大値を 2π2\pi のすべての倍数でとる。これらの最大値はどれも狭義の最大値ではない。値 11 が繰り返し現れるからである。一方、どれも狭義の極大値である。cos⁡x<1\cos x < 1（ただし 0<∣x−2kπ∣<2π0 < \abs{x - 2k\pi} < 2\pi）だからである。定数関数は各点で最大値と最小値をとるが、どれも狭義ではない。一般に、ff が x0x_0 で極大値と極小値を同時にとるなら、x0x_0 の近くで定数である。最大値は、存在すれば一つしかない。狭義の最大値は、さらに一点でしかとらない。

最大値・最小値や極値は定義域に依存する。ff が x0x_0 で最大値・最小値や極値をとり、BB が AA の部分集合で x0x_0 を含むなら、ff の BB への制限もそこで同じものをとる。比べる値が少なくなるからである。逆は成り立たない。x2x^2 は [1,2]\icc{1}{2} において 11 で最小値をとるが、R\mathbb{R} においては 11 で最大値・最小値も極値もとらない。