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Topos Uranos
日本語

単調性と 1 階導関数による判定法

要約

この課は、導関数の符号を区間全体についての情報に変える。ラグランジュの平均値の定理を用いて、区間で導関数が正の関数はその区間で狭義単調増加であり、導関数が非負なら単調増加であることを証明する。逆に、単調増加関数の導関数は負にならないが、狭義単調増加関数の導関数は 0 になりうるので、それがいつ起こるかを特徴づける。そこから、導関数が正の関数の逆関数の存在、極値の候補の名前である臨界点、そして導関数の符号の変化によって極値の有無を判定する 1 階導関数による判定法が得られる。ワイエルシュトラスの定理とフェルマーの定理で証明されるダルブーの定理は、導関数が、連続でなくても、値を飛び越さないことを示す。すなわち、導関数は除去可能な不連続点も跳躍不連続点ももたず、区間で 0 にならなければ、そこで符号を変えない。最後に、関数を導関数によって比較して証明する不等式を扱い、導関数の単元が何度も予告しながら証明できなかったことを果たす。

学習目標

  1. 平均値の定理を用いて、区間における導関数の符号が単調性を決めることを証明し、狭義単調増加関数がいくつかの点で導関数 0 をもつのはどのような場合かを見分ける。
  2. 関数の臨界点を求め、導関数をもたない点も含めて、そのうちどれが極値をとる点かを 1 階導関数による判定法で判定する。
  3. ダルブーの定理を証明し、跳躍をもつ関数が区間上のどんな関数の導関数でもないことを示すのに用いる。
  4. 二つの関数の差の導関数の符号を調べて関数の間の不等式を証明し、その論法が循環論法になるのはどのような場合かに気づく。

導関数の符号と単調性

変化率の課の、1 点での微分係数の符号の命題は、aa の近くの各値を f(a)f(a) と比べるだけで、それ以上のことは言わない。関数 x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x} は、値 00 を点 00 で補って定義すると、微分係数 11（点 00 での）をもつが、00 を含むどの区間でも単調増加ではない。区間全体についての情報を得るには、そのすべての点で導関数の符号を知る必要があり、フェルマー・ロル・ラグランジュ・コーシーの定理の課の平均値の定理が、その知識を値の比較に翻訳する。「代数学と幾何学 I」の関数の演算の課によれば、関数 ff が集合 II で単調増加であるとは、そのすべての点について x<yx < y ならば f(x)≤f(y)f(x) \leq f(y) となることであり、狭義単調増加であるとは、そこから f(x)<f(y)f(x) < f(y) が従うことであった。

(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)≤f(y)),(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)<f(y))(\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) \leq f(y)\right), \qquad (\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) < f(y)\right)

また、単調減少または狭義単調減少であるとは、そこから f(x)≥f(y)f(x) \geq f(y) または f(x)>f(y)f(x) > f(y) が従うことである。

定理導関数の符号による単調性

ff は区間 II で連続であり、II の各内点で微分可能であるとする。

  • f′(x)≥0f'(x) \geq 0 が各内点 xx（II の内点）で成り立つならば、ff は II で単調増加である。そのような各点で f′(x)>0f'(x) > 0 ならば、II で狭義単調増加である。
  • f′(x)≤0f'(x) \leq 0 が各内点 xx（II の内点）で成り立つならば、ff は II で単調減少である。そのような各点で f′(x)<0f'(x) < 0 ならば、II で狭義単調減少である。

任意の 2 点の間で、平均値の定理は、値の差に、中間の点での微分係数の符号を与える。

証明

  1. f(y)−f(x)=f′(c)(y−x),x<c<yf(y) - f(x) = \dato{c}{f'(c)}(y - x), \qquad x < c < y

    x<yx < y を II の 2 点とする。II は区間なので [x,y]\icc{x}{y} を含み、そこで ff は連続である。また (x,y)\ioo{x}{y} の点は II の内点であり、そこで ff は微分可能である。ラグランジュの平均値の定理により、ある cc（xx と yy の間にある）が存在して、以下が成り立つ。

  2. f′(c)≥0→f(x)≤f(y),f′(c)>0→f(x)<f(y)f'(c) \geq 0 \rightarrow \resaltar{f(x) \leq f(y)}, \qquad f'(c) > 0 \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}

    因数 y−xy - x は正なので、差の符号は f′(c)f'(c) の符号に等しい。f′(c)≥0f'(c) \geq 0 ならば差は負でなく、f′(c)>0f'(c) > 0 ならば差は正である。xx と yy は II の任意の 2 点で x<yx < y を満たすものであったから、関数は単調増加、あるいは狭義単調増加である。

  3. −f(x)≤−f(y)→f(x)≥f(y)-f(x) \leq -f(y) \rightarrow \resaltar{f(x) \geq f(y)}

    導関数が正でない場合は、ここまでの議論を −f-f に適用する。この関数は II で連続であり、各内点で導関数 −f′(x)-f'(x) をもつ。これは微分法の公式の課の一次結合の微分法の定理による。−f-f が単調増加であることは、ff が単調減少であることを意味する。

導関数が要求されるのは内点だけであり、区間に属する端点では連続性で足りる。たとえば、x\sqrt{x} は [0,∞)\ico{0}{\infty} で狭義単調増加であるが、00 で微分可能ではない。この定理は導関数の単元の三つの予告を果たす。初等関数の導関数の課は、正接の導関数 1+tan⁡2x1 + \tan^2 x が正であるのに、正接はその定義域で単調増加ではないことを注意した。定義域が区間でないからである。各区間 (−π2+kπ,π2+kπ)\ioo{-\frac{\pi}{2} + k\pi}{\frac{\pi}{2} + k\pi}（ただし kk は整数）では、定理により正接は狭義単調増加になる。指数にある変数の課は導関数 x1x⋅1−ln⁡xx2x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2} を計算した。これは (0,e)\ioo{0}{e} で正、(e,∞)\ioo{e}{\infty} で負である。関数は (0,∞)\ioo{0}{\infty} で連続なので、(0,e]\ioc{0}{e} で狭義単調増加、[e,∞)\ico{e}{\infty} で狭義単調減少である。これはあの課の、xx の 1x\frac{1}{x} 乗の最大値に関する命題を取り戻すうえに、ee の同じ側にある二つの数を比べる。e<3<4e < 3 < 4 なので 313>4143^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{4}}、すなわち 34>433^4 > 4^3 である。同じ課は、(1+1x)x\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x の導関数がすべての x>0x > 0 で正であることも証明した。この関数は (0,∞)\ioo{0}{\infty} で狭義単調増加である。

命題単調関数の導関数の符号

ff は区間 II で単調増加であり、内点 aa（II の内点）で微分可能であるとする。このとき f′(a)≥0f'(a) \geq 0 である。ff が単調減少ならば f′(a)≤0f'(a) \leq 0 である。 微分係数が負であれば、1 点での微分係数の符号の命題により、aa の右側に f(a)f(a) より小さい値が現れるはずである。

証明

  1. x∈J, a<x<a+δ→f(x)<f(a)x \in J, \ a < x < a + \delta \rightarrow \dato{menor}{f(x) < f(a)}

    r>0r > 0 を、J=(a−r,a+r)J = \ioo{a - r}{a + r} が II に含まれるようにとり、FF を ff の JJ への制限とする。微分法の公式の課の微分係数の局所性の補題により、FF は aa で微分可能で F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a) である。f′(a)<0f'(a) < 0 と仮定する。1 点での微分係数の符号の命題を FF に開区間 JJ で適用すると、ある δ>0\delta > 0 が存在して、以下が成り立つ。

  2. f(a)≤f(a+ρ2)<f(a)→f′(a)≥0f(a) \leq f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) < f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) \geq 0}

    ρ\rho を δ\delta と rr の小さいほうとする。点 a+ρ2a + \frac{\rho}{2} は JJ に属し、aa より大きい。ff は単調増加なので、その点での値は f(a)f(a) より小さくない。これは上で得た結論に矛盾する。したがって f′(a)≥0f'(a) \geq 0 である。ff が単調減少ならば、−f-f は単調増加であり、−f′(a)≥0-f'(a) \geq 0 である。

したがって、開区間のすべての点で微分可能な関数にとって、単調増加であることは導関数が非負であることと同値である。この逆は狭義単調性には拡張されない。x3x^3 は R\mathbb{R} で狭義単調増加だが、その導関数は 00 で 0 になる。この命題は冒頭の例も説明する。変化率の課は、00 にいくらでも近いところに、x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x} の導関数が負になる点を見つけたので、それらを含むどの区間でも関数は単調増加になりえない。欠陥は、その導関数が 00 で連続でないことにある。連続であれば、1 点での符号は区間に広がる。

系1 点で連続な正の導関数

ff は開区間 II の各点で微分可能であるとし、aa を II の点で、そこで f′f' が連続であり、f′(a)>0f'(a) > 0 であるものとする。このとき、ある δ>0\delta > 0 が存在して、ff は (a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta} で狭義単調増加である。 導関数は aa の近くで符号を保ち、定理はその符号が保たれる区間で適用される。

証明

  1. ∣x−a∣<δ→f′(x)>0\abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{f'(x) > 0}

    f′f' は aa で連続なので、aa での極限は f′(a)>0f'(a) > 0 である。関数の極限の課の局所有界性と符号の保存の命題により、ある δ>0\delta > 0 が存在し、(a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta} が II に含まれるようにとることができて、その区間で f′(x)>0f'(x) > 0 となる。そこで ff は微分可能であり、したがって連続である。定理により、狭義単調増加である。

導関数が非負の関数は、いつ狭義単調増加になるのか。x3x^3 の例は、導関数がある点で 0 になりうることを示す。できないのは、区間全体で 0 になることである。

命題導関数が非負のときの狭義単調性

ff は区間 II で連続であり、II の各内点で微分可能で、その各点で f′(x)≥0f'(x) \geq 0 であるとする。このとき、ff が II で狭義単調増加であるための必要十分条件は、区間 (p,q)\ioo{p}{q}（ただし p<qp < q）で、II に含まれ、そのすべての点で f′f' が 0 になるものが一つも存在しないことである。特に、f′f' が有限個の点でしか 0 にならなければ、ff は II で狭義単調増加である。 単調増加だが狭義単調増加でない関数は、ある値を繰り返し、それを繰り返す 2 点の間で定数である。

証明

  1. f′(x)=0,s<x<t→f(s)=f(t)f'(x) = 0, \quad s < x < t \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f(s) = f(t)}

    f′f' が、区間 (p,q)\ioo{p}{q}（II に含まれる）のすべての点で 0 になると仮定し、p<s<t<qp < s < t < q とする。[s,t]\icc{s}{t} では関数は連続で、(s,t)\ioo{s}{t} の点で導関数が 0 である。フェルマー・ロル・ラグランジュ・コーシーの定理の課の、区間で導関数が 0 の系により、関数は [s,t]\icc{s}{t} で定数であり、狭義単調増加ではない。

  2. s<x<t→f(s)≤f(x)≤f(t)=f(s)→f(x)=f(s)s < x < t \rightarrow f(s) \leq f(x) \leq f(t) = f(s) \rightarrow \dato{cte}{f(x) = f(s)}

    逆に、ff が狭義単調増加でないと仮定する。定理により単調増加なので、ある s<ts < t（II の点）が存在して f(s)=f(t)f(s) = f(t) となる。中間の値はどれも二つの等しい値に挟まれ、ff は [s,t]\icc{s}{t} で定数である。

  3. s<x<t→f′(x)=0s < x < t \rightarrow \resaltar{f'(x) = 0}

    xx を (s,t)\ioo{s}{t} の点とする。ff の (s,t)\ioo{s}{t} への制限は定数であり、xx での微分係数は 0 である。微分係数の局所性の補題により f′(x)=0f'(x) = 0 である。導関数は区間 (s,t)\ioo{s}{t} 全体で 0 になり、この区間は II に含まれる。f′f' が有限個の点でしか 0 にならなければ、そのような区間はない。なぜなら、どの区間 (p,q)\ioo{p}{q}（ただし p<qp < q）も無限個の点をもつからである。

関数 x+sin⁡xx + \sin x は、逆関数の微分法の課の例題 1 の関数で、導関数 1+cos⁡x≥01 + \cos x \geq 0 をもち、これは無限個の点 π+2kπ\pi + 2k\pi で 0 になる。そのうち隣り合う 2 点の間では導関数は正であり、零点だけからなる区間はない。命題により、この関数は R\mathbb{R} で狭義単調増加である。あの課はこれを二つの正弦の差の公式で導き、そこでは意外に思われた。同じ論法は、導関数をもたない点が有限個あっても通用する。ff が II で連続で、x1<⋯<xkx_1 < \dots < x_k を除くすべての内点で正の導関数をもつならば、定理によって、それらの点のうち隣り合う 2 点の間の各区間で（また両端の部分でも）狭義単調増加となり、不等式はつながっていく。こうして x3\sqrt[3]{x} は R\mathbb{R} で狭義単調増加であるが、00 で微分可能ではない。連続性は省けない（練習問題 1）。

系正の導関数と逆関数

ff は 2 点以上を含む区間 II で連続であり、II の各内点で微分可能で、その各点で f′(x)>0f'(x) > 0 であるか、その各点で f′(x)<0f'(x) < 0 であるとする。このとき ff は II で狭義単調であり、その像 J=f(I)J = f(I) は区間で、逆関数 f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I は連続である。各点 b=f(a)b = f(a)（ただし aa は II の内点）で逆関数は微分可能であり、(f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)} である。 定理は狭義単調性を与え、それが逆関数の微分法の定理の仮定である。

証明

  1. x<y→f(x)<f(y),J=f(I)x < y \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}, \qquad J = f(I)

    定理により、ff は II で狭義単調増加または狭義単調減少である。中間値の定理の課の、区間の像の系と逆関数の連続性の系により、JJ は区間であり、f−1f^{-1} は JJ で連続である。

  2. (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    aa が内点ならば、ff は aa で微分可能で f′(a)≠0f'(a) \neq 0 であり、逆関数の微分法の課の逆関数の微分法の定理が、f−1f^{-1} の b=f(a)b = f(a) での微分係数を与える。

導関数の単元のテストは、x5+xx^5 + x と x3+2x+1x^3 + 2x + 1 が R\mathbb{R} で狭義単調増加であることを既知としていた。いまでは、それらの導関数 5x4+15x^4 + 1 と 3x2+23x^2 + 2 が正であることを見れば足りる。また、xexx e^x の逆関数に関する挑戦課題（その単元のまとめにある）は、導関数の符号を使わずにこの関数が [−1,∞)\ico{-1}{\infty} で狭義単調増加であることを証明するよう求めていたが、いまでは 1 行で解ける。この関数はそこで連続であり、その導関数 (1+x)ex(1 + x) e^x は (−1,∞)\ioo{-1}{\infty} で正である。