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Topos Uranos
Français

Monotonie et critère de la dérivée première

Résumé

Cette leçon convertit le signe de la dérivée en information sur un intervalle tout entier. À l’aide du théorème des accroissements finis de Lagrange, elle démontre qu’une fonction à dérivée strictement positive sur un intervalle y est strictement croissante, et qu’une fonction à dérivée positive ou nulle y est croissante ; dans l’autre sens, la dérivée d’une fonction croissante est positive ou nulle, bien que celle d’une fonction strictement croissante puisse s’annuler, et la leçon caractérise quand cela se produit. On en tire l’inversibilité d’une fonction à dérivée strictement positive, le nom des candidats aux extremums locaux, les points critiques, et le critère de la dérivée première, qui décide s’il y a extremum d’après le changement de signe de la dérivée. Le théorème de Darboux, démontré à l’aide de ceux de Weierstrass et de Fermat, montre qu’une dérivée, même lorsqu’elle n’est pas continue, ne saute pas de valeurs : elle n’a pas de discontinuités évitables ni de saut, et, si elle ne s’annule pas sur un intervalle, elle n’y change pas de signe. La leçon se termine par des inégalités que l’on démontre en comparant des fonctions par leur dérivée, et elle tient ce que l’unité sur les dérivées a annoncé plusieurs fois sans pouvoir le démontrer.

Objectifs d’apprentissage

  1. Démontrer à l’aide du théorème des accroissements finis que le signe de la dérivée sur un intervalle décide de la monotonie, et reconnaître quand une fonction strictement croissante a une dérivée nulle en certains points.
  2. Déterminer les points critiques d’une fonction et décider à l’aide du critère de la dérivée première lesquels sont des extremums locaux, y compris les points sans dérivée.
  3. Démontrer le théorème de Darboux et l’utiliser pour montrer qu’une fonction présentant un saut n’est la dérivée d’aucune fonction sur un intervalle.
  4. Démontrer des inégalités entre fonctions en étudiant le signe de la dérivée de leur différence, et repérer quand cet argument serait circulaire.

Le signe de la dérivée et la monotonie

La proposition du signe de la dérivée en un point, de la leçon sur les taux de variation, compare chaque valeur proche de aa avec f(a)f(a), et rien de plus : la fonction x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x}, prolongée par 00 en 00, a pour dérivée 11 en 00 et n’est croissante sur aucun intervalle contenant 00. Pour obtenir une information sur un intervalle tout entier, il faut connaître le signe de la dérivée en tous ses points, et le théorème des accroissements finis, de la leçon sur les théorèmes de Fermat, Rolle, Lagrange et Cauchy, traduit cette connaissance en une comparaison de valeurs. On rappelle que, d’après la leçon sur les opérations sur les fonctions, d’Algèbre et géométrie I, une fonction ff est croissante sur un ensemble II si x<yx < y implique f(x)≤f(y)f(x) \leq f(y) pour tous ses points, et strictement croissante si cela implique f(x)<f(y)f(x) < f(y) :

(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)≤f(y)),(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)<f(y))(\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) \leq f(y)\right), \qquad (\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) < f(y)\right)

et décroissante ou strictement décroissante si cela implique f(x)≥f(y)f(x) \geq f(y) ou f(x)>f(y)f(x) > f(y).

ThéorèmeMonotonie par le signe de la dérivée

Soit ff continue sur un intervalle II et dérivable en chaque point intérieur de II.

  • Si f′(x)≥0f'(x) \geq 0 en chaque point intérieur xx de II, alors ff est croissante sur II ; si f′(x)>0f'(x) > 0 en chacun d’eux, elle est strictement croissante sur II.
  • Si f′(x)≤0f'(x) \leq 0 en chaque point intérieur xx de II, alors ff est décroissante sur II ; si f′(x)<0f'(x) < 0 en chacun d’eux, elle est strictement décroissante sur II.

Entre deux points quelconques, le théorème des accroissements finis donne à la différence des valeurs le signe de la dérivée en un point intermédiaire.

Démonstration

  1. f(y)−f(x)=f′(c)(y−x),x<c<yf(y) - f(x) = \dato{c}{f'(c)}(y - x), \qquad x < c < y

    Soient x<yx < y deux points de II. Comme II est un intervalle, il contient [x,y]\icc{x}{y}, où ff est continue, et les points de (x,y)\ioo{x}{y} sont des points intérieurs de II, où ff est dérivable. D’après le théorème des accroissements finis de Lagrange, il existe cc entre xx et yy tel que :

  2. f′(c)≥0→f(x)≤f(y),f′(c)>0→f(x)<f(y)f'(c) \geq 0 \rightarrow \resaltar{f(x) \leq f(y)}, \qquad f'(c) > 0 \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}

    Le facteur y−xy - x est strictement positif, de sorte que la différence a le signe de f′(c)f'(c) : si f′(c)≥0f'(c) \geq 0, elle est positive ou nulle, et si f′(c)>0f'(c) > 0, elle est strictement positive. Comme xx et yy étaient deux points quelconques de II avec x<yx < y, la fonction est croissante, ou strictement croissante.

  3. −f(x)≤−f(y)→f(x)≥f(y)-f(x) \leq -f(y) \rightarrow \resaltar{f(x) \geq f(y)}

    Si la dérivée est négative ou nulle, on applique ce qui précède à −f-f, qui est continue sur II et a pour dérivée −f′(x)-f'(x) en chaque point intérieur, d’après le théorème de la dérivée d’une combinaison linéaire, de la leçon sur les règles de dérivation. Dire que −f-f est croissante revient à dire que ff est décroissante.

La dérivée n’est exigée qu’aux points intérieurs ; aux extrémités qui appartiennent à l’intervalle, la continuité suffit. Ainsi, x\sqrt{x} est strictement croissante sur [0,∞)\ico{0}{\infty}, bien qu’elle ne soit pas dérivable en 00. Le théorème tient trois annonces de l’unité sur les dérivées. La leçon sur les dérivées des fonctions élémentaires a observé que la dérivée de la tangente, 1+tan⁡2x1 + \tan^2 x, est strictement positive, bien que la tangente ne soit pas croissante sur son ensemble de définition, qui n’est pas un intervalle ; sur chaque intervalle (−π2+kπ,π2+kπ)\ioo{-\frac{\pi}{2} + k\pi}{\frac{\pi}{2} + k\pi}, avec kk entier, le théorème la rend strictement croissante. La leçon sur la variable en exposant a calculé la dérivée x1x⋅1−ln⁡xx2x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}, qui est strictement positive sur (0,e)\ioo{0}{e} et strictement négative sur (e,∞)\ioo{e}{\infty} ; comme la fonction est continue sur (0,∞)\ioo{0}{\infty}, elle est strictement croissante sur (0,e]\ioc{0}{e} et strictement décroissante sur [e,∞)\ico{e}{\infty}. On retrouve ainsi la proposition du maximum de xx à la puissance 1x\frac{1}{x}, de cette leçon, et l’on compare de plus deux nombres situés du même côté de ee : comme e<3<4e < 3 < 4, on a 313>4143^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{4}}, c’est-à-dire 34>433^4 > 4^3. La même leçon a démontré que la dérivée de (1+1x)x\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x est strictement positive en tout x>0x > 0 : la fonction est strictement croissante sur (0,∞)\ioo{0}{\infty}.

PropositionLe signe de la dérivée d’une fonction monotone

Soit ff croissante sur un intervalle II et dérivable en un point intérieur aa de II. Alors f′(a)≥0f'(a) \geq 0. Si ff est décroissante, f′(a)≤0f'(a) \leq 0. Si la dérivée était strictement négative, la proposition du signe de la dérivée en un point placerait à droite de aa des valeurs strictement inférieures à f(a)f(a).

Démonstration

  1. x∈J, a<x<a+δ→f(x)<f(a)x \in J, \ a < x < a + \delta \rightarrow \dato{menor}{f(x) < f(a)}

    Soit r>0r > 0 tel que J=(a−r,a+r)J = \ioo{a - r}{a + r} soit contenu dans II, et soit FF la restriction de ff à JJ ; d’après le lemme du caractère local de la dérivée, de la leçon sur les règles de dérivation, FF est dérivable en aa et F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a). Supposons que f′(a)<0f'(a) < 0. D’après la proposition du signe de la dérivée en un point, appliquée à FF sur l’intervalle ouvert JJ, il existe δ>0\delta > 0 tel que :

  2. f(a)≤f(a+ρ2)<f(a)→f′(a)≥0f(a) \leq f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) < f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) \geq 0}

    Soit ρ\rho le plus petit des nombres δ\delta et rr. Le point a+ρ2a + \frac{\rho}{2} appartient à JJ et est strictement supérieur à aa ; comme ff est croissante, sa valeur n’est pas strictement inférieure à f(a)f(a), ce qui contredit le premier temps. Par conséquent, f′(a)≥0f'(a) \geq 0. Si ff est décroissante, −f-f est croissante, et −f′(a)≥0-f'(a) \geq 0.

Pour une fonction dérivable en tous les points d’un intervalle ouvert, être croissante équivaut donc à avoir une dérivée positive ou nulle. L’implication dans l’autre sens ne s’étend pas à la monotonie stricte : x3x^3 est strictement croissante sur R\mathbb{R}, et sa dérivée s’annule en 00. La proposition explique aussi l’exemple du début : la leçon sur les taux de variation a trouvé, arbitrairement près de 00, des points où la dérivée de x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x} est strictement négative, et sur aucun intervalle qui les contient la fonction ne peut être croissante. Le défaut tient à ce que cette dérivée n’est pas continue en 00 ; si elle l’est, le signe en un point s’étend à un intervalle.

CorollaireDérivée strictement positive et continue en un point

Soit ff dérivable en chaque point d’un intervalle ouvert II, et soit aa un point de II en lequel f′f' est continue, avec f′(a)>0f'(a) > 0. Alors il existe un δ>0\delta > 0 tel que ff soit strictement croissante sur (a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta}. La dérivée conserve son signe près de aa, et le théorème s’applique sur l’intervalle où elle le conserve.

Démonstration

  1. ∣x−a∣<δ→f′(x)>0\abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{f'(x) > 0}

    Comme f′f' est continue en aa, sa limite en aa est f′(a)>0f'(a) > 0. D’après la proposition du caractère localement borné et de la conservation du signe, de la leçon sur la limite d’une fonction, il existe un δ>0\delta > 0, que l’on peut choisir de sorte que (a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta} soit contenu dans II, avec f′(x)>0f'(x) > 0 sur cet intervalle. Là, ff est dérivable, donc continue ; d’après le théorème, elle est strictement croissante.

Quand une fonction à dérivée positive ou nulle est-elle strictement croissante ? L’exemple de x3x^3 montre que la dérivée peut s’annuler en un point ; ce qu’elle ne peut pas faire, c’est s’annuler sur tout un intervalle.

PropositionMonotonie stricte à dérivée positive ou nulle

Soit ff continue sur un intervalle II et dérivable en chaque point intérieur de II, avec f′(x)≥0f'(x) \geq 0 en chacun d’eux. Alors ff est strictement croissante sur II si et seulement s’il n’existe aucun intervalle (p,q)\ioo{p}{q}, avec p<qp < q, contenu dans II, en tous les points duquel f′f' s’annule. En particulier, si f′f' ne s’annule qu’en un nombre fini de points, ff est strictement croissante sur II. Une fonction croissante qui n’est pas strictement croissante répète une valeur, et, entre les deux points où elle la répète, elle est constante.

Démonstration

  1. f′(x)=0,s<x<t→f(s)=f(t)f'(x) = 0, \quad s < x < t \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f(s) = f(t)}

    Supposons que f′f' s’annule en tous les points d’un intervalle (p,q)\ioo{p}{q} contenu dans II, et soient p<s<t<qp < s < t < q. Sur [s,t]\icc{s}{t}, la fonction est continue et a une dérivée nulle aux points de (s,t)\ioo{s}{t} ; d’après le corollaire de la dérivée nulle sur un intervalle, de la leçon sur les théorèmes de Fermat, Rolle, Lagrange et Cauchy, elle est constante sur [s,t]\icc{s}{t}, et elle n’est pas strictement croissante.

  2. s<x<t→f(s)≤f(x)≤f(t)=f(s)→f(x)=f(s)s < x < t \rightarrow f(s) \leq f(x) \leq f(t) = f(s) \rightarrow \dato{cte}{f(x) = f(s)}

    Dans l’autre sens, supposons que ff ne soit pas strictement croissante. D’après le théorème, elle est croissante, de sorte qu’il existe s<ts < t dans II avec f(s)=f(t)f(s) = f(t) ; toute valeur intermédiaire est encadrée par deux valeurs égales, et ff est constante sur [s,t]\icc{s}{t}.

  3. s<x<t→f′(x)=0s < x < t \rightarrow \resaltar{f'(x) = 0}

    Soit xx un point de (s,t)\ioo{s}{t}. La restriction de ff à (s,t)\ioo{s}{t} est constante, de dérivée nulle en xx ; d’après le lemme du caractère local de la dérivée, f′(x)=0f'(x) = 0. La dérivée s’annule sur tout l’intervalle (s,t)\ioo{s}{t}, contenu dans II. Si f′f' ne s’annule qu’en un nombre fini de points, il n’y a pas de tel intervalle, car tout intervalle (p,q)\ioo{p}{q} avec p<qp < q a une infinité de points.

La fonction x+sin⁡xx + \sin x, du problème résolu 1 de la leçon sur la dérivée de la fonction réciproque, a pour dérivée 1+cos⁡x≥01 + \cos x \geq 0, qui s’annule en l’infinité de points π+2kπ\pi + 2k\pi ; entre deux d’entre eux consécutifs, la dérivée est strictement positive, et aucun intervalle n’est formé de zéros. La proposition la rend strictement croissante sur R\mathbb{R}, ce que cette leçon avait obtenu à l’aide de la formule de la différence de deux sinus et qui y paraissait surprenant. Le même raisonnement admet un nombre fini de points sans dérivée : si ff est continue sur II et a une dérivée strictement positive en tous ses points intérieurs sauf en x1<⋯<xkx_1 < \dots < x_k, le théorème la rend strictement croissante sur chaque intervalle compris entre deux de ces points consécutifs (et sur les intervalles extrêmes), et les inégalités se combinent. Ainsi, x3\sqrt[3]{x} est strictement croissante sur R\mathbb{R}, bien qu’elle ne soit pas dérivable en 00. On ne peut pas supprimer la continuité (problème proposé 1).

CorollaireDérivée strictement positive et fonction réciproque

Soit ff continue sur un intervalle II ayant plus d’un point et dérivable en chaque point intérieur de II, avec f′(x)>0f'(x) > 0 en chacun d’eux, ou avec f′(x)<0f'(x) < 0 en chacun d’eux. Alors ff est strictement monotone sur II, son image J=f(I)J = f(I) est un intervalle et la réciproque f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I est continue ; en chaque point b=f(a)b = f(a), avec aa intérieur à II, la réciproque est dérivable, et (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}. Le théorème donne la monotonie stricte, qui est l’hypothèse du théorème de la dérivée de la fonction réciproque.

Démonstration

  1. x<y→f(x)<f(y),J=f(I)x < y \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}, \qquad J = f(I)

    D’après le théorème, ff est strictement croissante, ou strictement décroissante, sur II. D’après les corollaires de l’image d’un intervalle et de la continuité de la réciproque, de la leçon sur le théorème des valeurs intermédiaires, JJ est un intervalle et f−1f^{-1} est continue sur JJ.

  2. (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    Si aa est intérieur, ff est dérivable en aa avec f′(a)≠0f'(a) \neq 0, et le théorème de la dérivée de la fonction réciproque, de la leçon sur la dérivée de la fonction réciproque, donne la dérivée de f−1f^{-1} en b=f(a)b = f(a).

Les évaluations de l’unité sur les dérivées tenaient pour acquis que x5+xx^5 + x et x3+2x+1x^3 + 2x + 1 sont strictement croissantes sur R\mathbb{R} ; il suffit maintenant d’observer que leurs dérivées, 5x4+15x^4 + 1 et 3x2+23x^2 + 2, sont strictement positives. Et le défi de la réciproque de xexx e^x, dans la synthèse de cette unité, qui demandait de démontrer sans le signe de la dérivée que cette fonction est strictement croissante sur [−1,∞)\ico{-1}{\infty}, se règle maintenant en une ligne : elle y est continue et sa dérivée, (1+x)ex(1 + x) e^x, est strictement positive sur (−1,∞)\ioo{-1}{\infty}.