Règle de L’Hôpital

La forme zéro sur zéro

Le corollaire de la limite d’un quotient, de la leçon sur les opérations sur les limites, exige que le dénominateur ait une limite non nulle. Si le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers $0$, le quotient peut tendre vers n’importe quel nombre, ou vers l’infini, ou n’avoir aucune limite : $\frac{3x}{x}$ tend vers $3$, $\frac{x^2}{x}$ tend vers $0$, et $\frac{x \sin \frac{1}{x}}{x}$ n’a pas de limite en $0$. C’est pourquoi on dit que $\frac{0}{0}$ est une forme indéterminée : la limite de chaque terme ne détermine pas celle du quotient. La leçon sur les infiniment petits équivalents a résolu beaucoup de ces limites, en remplaçant chaque facteur par un équivalent tiré de son tableau ; mais une différence comme $x - \sin x$ n’est pas un produit de facteurs du tableau, et ses termes ne peuvent pas être remplacés.

La dérivée suggère un autre chemin. Si $f(a) = g(a) = 0$, si $f$ et $g$ sont dérivables en $a$ et si $g'(a) \neq 0$, en divisant le numérateur et le dénominateur par $x - a$, on transforme le quotient en un quotient de taux d’accroissement, et le corollaire de la limite d’un quotient donne :

Mais souvent $g'(a)$ est nul lui aussi, ou $f$ et $g$ ne sont pas définies en $a$. La règle de L’Hôpital remplace les valeurs des dérivées en $a$ par la limite de leur quotient près de $a$. L’outil est le théorème des accroissements finis de Cauchy, de la leçon sur les théorèmes de Fermat, Rolle, Lagrange et Cauchy : si $f$ et $g$ sont continues sur $\icc{a}{b}$, avec $a < b$, et dérivables en tout point de $\ioo{a}{b}$, et si $g'(x) \neq 0$ pour tout $x$ de $\ioo{a}{b}$, alors $g(b) \neq g(a)$ et il existe un $c$ dans $\ioo{a}{b}$ tel que $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$. À la différence de deux applications du théorème de Lagrange, qui donneraient deux points distincts, le théorème de Cauchy donne un même point pour le numérateur et pour le dénominateur.

Il n’est pas nécessaire de savoir comment $c$ dépend de $x$, ni qu’il soit unique : il suffit qu’il soit situé entre $a$ et $x$. L’hypothèse $g' \neq 0$ est exigée sur tout l’intervalle $\ioo{a}{b}$, parce que le théorème de Cauchy l’utilise sur chaque $\icc{a}{x}$ ; comme la limite ne dépend que des valeurs proches, il suffit de trouver un intervalle $\ioo{a}{b}$ où elle soit satisfaite, si petit soit-il. Il ne suffit pas, en revanche, que la dérivée du dénominateur ne s’annule qu’en des points isolés qui s’accumulent au point, ou qui ne sont pas bornés si la variable tend vers l’infini, comme le montre le problème résolu 5. Si $f$ et $g$ sont définies sur un ensemble plus grand, on applique le théorème à leurs restrictions à $\ioo{a}{b}$, qui ont la même limite à droite en $a$.

Il en va de même à gauche, avec un intervalle $\ioo{b}{a}$, $b < a$, et $x \to a^-$ : il suffit d’appliquer le théorème à $f(-t)$ et à $g(-t)$ près de $-a$ à droite, par la proposition de translation et symétrie, de la leçon sur les limites à gauche et à droite ; la règle de dérivation en chaîne change le signe des deux dérivées et n’altère pas leur quotient. Si les hypothèses sont satisfaites des deux côtés de $a$, sur $\ioo{a - r}{a}$ et sur $\ioo{a}{a + r}$, le théorème reliant la limite à la limite à gauche et à la limite à droite, de cette même leçon, donne la limite lorsque $x \to a$ (si $L$ est infini, avec le même argument du plus petit des deux rayons). La fonction peut être définie en $a$ ou non ; sa valeur en ce point n’intervient pas.