Правило Лопиталя

Краткое содержание

В этом уроке доказывается правило Лопиталя: если $f$ и $g$ стремятся к $0$ , или если $g$ стремится к бесконечности, и отношение их производных имеет предел, то отношение $\frac{f}{g}$ имеет тот же предел. Доказательство применяет теорему Коши о среднем значении из предыдущего урока на промежутке с одним закреплённым концом и другим переменным; случай, когда знаменатель стремится к бесконечности, требует более тонкого рассуждения, которое ничего не требует от числителя. Правило верно с одной стороны от точки, в самой точке и на бесконечности и может применяться несколько раз подряд: так вычисляется предел $\frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^n}$ , когда первые производные $f$ обращаются в нуль в точке $a$ . Неопределённости вида $0 \cdot \infty$ , $\infty - \infty$ , $1^\infty$ , $0^0$ и $\infty^0$ сводятся к отношению. Урок показывает также, когда правило неприменимо или ничего не даёт, почему оно не годится для пределов, с помощью которых были вычислены производные, и как оно сочетается с эквивалентными бесконечно малыми.

Цели обучения

Доказывать правило Лопиталя для неопределённостей вида $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}$ с одной стороны от точки, в самой точке и на бесконечности, исходя из теоремы Коши о среднем значении.
Вычислять пределы в случае неопределённостей, сводя их к отношению, и применять правило несколько раз, убеждаясь при каждом применении, что его условия выполнены.
Распознавать, когда правило неприменимо или ничего не даёт: пределы, не являющиеся неопределённостями, отношения производных без предела, производные знаменателя, обращающиеся в нуль вблизи точки, и пределы, которые предполагаются при вычислении производных.
Сочетать правило с эквивалентными бесконечно малыми и с арифметическими свойствами пределов и выбирать в каждом случае кратчайший путь.

Неопределённость вида нуль на нуль

Следствие о пределе частного из урока об арифметических свойствах пределов требует, чтобы знаменатель имел предел, отличный от нуля. Если числитель и знаменатель оба стремятся к $0$ , то отношение может стремиться к любому числу, или к бесконечности, или не иметь предела: $\frac{3x}{x}$ стремится к $3$ , $\frac{x^2}{x}$ стремится к $0$ , а $\frac{x \sin \frac{1}{x}}{x}$ не имеет предела в точке $0$ . Поэтому говорят, что $\frac{0}{0}$ есть неопределённость: предел каждого члена не определяет предел отношения. Урок об эквивалентных бесконечно малых позволил найти многие из этих пределов, заменяя каждый множитель эквивалентным из таблицы; но разность вроде $x - \sin x$ не является произведением множителей из таблицы, и её слагаемые заменять нельзя.

Производная наводит на другой путь. Если $f(a) = g(a) = 0$ , если $f$ и $g$ дифференцируемы в точке $a$ и если $g'(a) \neq 0$ , то при делении числителя и знаменателя на $x - a$ отношение превращается в отношение разностных отношений, и следствие о пределе частного даёт:

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}{\frac{g(x) - g(a)}{x - a}} \to \frac{f'(a)}{g'(a)}

Но часто и $g'(a)$ равно нулю, или $f$ и $g$ не определены в точке $a$ . Правило Лопиталя заменяет значения производных в точке $a$ пределом их отношения вблизи $a$ . Инструментом служит теорема Коши о среднем значении из урока о теоремах Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши: если $f$ и $g$ непрерывны на $\icc{a}{b}$ , причём $a < b$ , и дифференцируемы в каждой точке $\ioo{a}{b}$ , и если $g'(x) \neq 0$ для всякого $x$ из $\ioo{a}{b}$ , то $g(b) \neq g(a)$ и существует $c$ в $\ioo{a}{b}$ , такое что $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$ . В отличие от двух применений теоремы Лагранжа, которые дали бы две различные точки, теорема Коши даёт одну и ту же точку для числителя и для знаменателя.

ТеоремаПравило Лопиталя для неопределённости вида нуль на нуль

Пусть $a < b$ , и пусть $f$ и $g$ суть функции, дифференцируемые в каждой точке $\ioo{a}{b}$ , причём $g'(x) \neq 0$ для всякого $x$ из $\ioo{a}{b}$ . Предположим, что $f(x)$ и $g(x)$ стремятся к $0$ при $x \to a^+$ и что

\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L

где $L$ есть действительное число, $\infty$ или $-\infty$ . Тогда $g(x) \neq 0$ для всякого $x$ из $\ioo{a}{b}$ и

\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = L

Доопределим $f$ и $g$ значением $0$ в точке $a$ и применим теорему Коши на $\icc{a}{x}$ : отношение $\frac{f(x)}{g(x)}$ есть отношение приращений, равное отношению производных в некоторой точке между $a$ и $x$ . Рисунок показывает при $f(x) = \sin x$ , $g(x) = e^x - 1$ и $a = 0$ точки $\left(g(t), f(t)\right)$ : отношение $\frac{f(x)}{g(x)}$ есть угловой коэффициент хорды, соединяющей начало координат с точкой, соответствующей $x$ , а отношение производных в точке $c$ есть угловой коэффициент параллельной касательной.

Доказательство

$F(a) = G(a) = 0, \qquad F'(t) = f'(t), \quad G'(t) = g'(t) \neq 0, \qquad a < t < x$
Пусть $F$ и $G$ суть функции, равные $f$ и $g$ на $\ioo{a}{b}$ и $0$ в точке $a$ . Пусть $x$ из $\ioo{a}{b}$ . Обе функции непрерывны на $\icc{a}{x}$ : в точке $a$ , потому что их пределы справа равны $0$ ; в остальных точках по теореме о том, что из дифференцируемости следует непрерывность, из урока о производной как пределе. В каждой точке $\ioo{a}{x}$ они дифференцируемы, с производными $f$ и $g$ , по лемме о локальном характере производной из урока о правилах дифференцирования.
$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{F(x) - F(a)}{G(x) - G(a)} = \dato{c}{\frac{f'(c)}{g'(c)}}, \qquad a < c < x$
По теореме Коши о среднем значении на $\icc{a}{x}$ имеем $G(x) \neq G(a)$ , то есть $g(x) \neq 0$ , и существует $c$ между $a$ и $x$ , такое что отношение приращений равно отношению производных в точке $c$ .
$a < x < a + \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x)}{g(x)} - L} = \abs{\frac{f'(c)}{g'(c)} - L} < \resaltar{\varepsilon}$
Пусть $L$ действительно и $\varepsilon > 0$ . По определению предела справа из урока об односторонних пределах существует $\delta > 0$ , которое можно взять меньшим или равным $b - a$ , такое что $\abs{\frac{f'(t)}{g'(t)} - L} < \varepsilon$ при $a < t < a + \delta$ . Если $a < x < a + \delta$ , то точка $c$ из второго этапа удовлетворяет условию $a < c < x < a + \delta$ . Если $L = \infty$ , то то же рассуждение с вызовом $N$ даёт $\frac{f(x)}{g(x)} > N$ ; если $L = -\infty$ , оно даёт $\frac{f(x)}{g(x)} < N$ .

Не нужно знать, как $c$ зависит от $x$ , и единственна ли эта точка: достаточно, чтобы она лежала между $a$ и $x$ . Условие $g' \neq 0$ требуется на всём промежутке $\ioo{a}{b}$ , потому что теорема Коши использует его на каждом $\icc{a}{x}$ ; так как предел зависит только от близких значений, достаточно найти промежуток $\ioo{a}{b}$ , на котором оно выполнено, сколь угодно малый. Зато недостаточно, чтобы производная знаменателя обращалась в нуль лишь в изолированных точках, которые накапливаются к данной точке или не ограничены, если переменная стремится к бесконечности, как показывает решённая задача 5. Если $f$ и $g$ определены на более широком множестве, теорема применяется к их сужениям на $\ioo{a}{b}$ , которые имеют тот же предел справа в точке $a$ .

То же верно слева, с промежутком $\ioo{b}{a}$ , $b < a$ , и при $x \to a^-$ : достаточно применить теорему к $f(-t)$ и $g(-t)$ вблизи $-a$ справа, по утверждению о сдвиге и отражении из урока об односторонних пределах; правило дифференцирования сложной функции меняет знак обеих производных и не меняет их отношения. Если условия выполнены с обеих сторон от $a$ , на $\ioo{a - r}{a}$ и на $\ioo{a}{a + r}$ , то теорема «Предел и односторонние пределы» из того же урока даёт предел при $x \to a$ (если $L$ бесконечно, то тем же рассуждением с меньшим из двух радиусов). Функция может быть определена в точке $a$ или нет; её значение там роли не играет.

ПримерТри применения подряд

Рассмотрим $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ . Числитель и знаменатель стремятся к $0$ , и производная знаменателя, $3x^2$ , не обращается в нуль вне $0$ . Отношение производных есть $\frac{1 - \cos x}{3x^2}$ , снова неопределённость вида $\frac{0}{0}$ , со знаменателем, производная которого $6x$ тоже не обращается в нуль вне $0$ ; а новое отношение, $\frac{\sin x}{6x}$ , стремится к $\frac{1}{6}$ по первому замечательному пределу:

\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \frac{1}{6}

Эту последовательность равенств читают справа налево: последний предел существует, и правило, применённое дважды, переносит его значение в обратном направлении. Написать первый знак равенства, ещё не зная, что второй предел существует, есть лишь способ записать вычисление, который оправдывается, когда оно завершено. Второй предел получается и из таблицы эквивалентных бесконечно малых, с помощью $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ ; первый нет.

Далее в этом уроке

Неопределённость вида бесконечность на бесконечность
Правило на бесконечности
Повторное применение
Другие виды неопределённостей
Когда правило неприменимо или ничего не даёт
Решённые задачи
Упростить, прежде чем применять правило снова
Произведение на бесконечности
Разность бесконечно больших
Степень вида единица в степени бесконечность
Когда производная знаменателя обращается в нуль
Задачи для самостоятельного решения
Подбор коэффициентов
Неопределённость нуль в степени нуль может равняться e
Ошибочное рассуждение
Приращение в сравнении с четвёртой степенью
Функция и её производная

Продолжите чтение с бесплатным аккаунтом

Создайте бесплатный аккаунт, чтобы прочитать этот урок полностью и первые уроки каждого курса, а также сохранять свой прогресс.

Создать аккаунт Войти

Получите доступ ко всему курсу

Продолжение этого урока доступно по подписке. Подписка открывает доступ ко всем урокам каждого курса, с задачами и доказательствами.