Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши

Краткое содержание

Этот урок переходит от того, что производная говорит в точке, к тому, что она говорит на промежутке. В нём определяются локальные экстремумы и доказывается теорема Ферма: если функция имеет локальный экстремум во внутренней точке своей области определения и дифференцируема в ней, то её производная обращается в нуль; доказательство опирается на утверждение о знаке производной в точке из урока о скорости изменения. Вместе с теоремой Вейерштрасса из предыдущего урока теорема Ферма даёт теорему Ролля; теорема Ролля, применённая к разности функции и её хорды, даёт теорему Лагранжа о среднем значении, согласно которой некоторая касательная параллельна хорде, а применённая к комбинации двух функций, даёт теорему Коши о среднем значении, с помощью которой следующий урок докажет правило Лопиталя. Из теоремы о среднем вытекают первые глобальные следствия: функция с нулевой производной на промежутке постоянна, две функции с одинаковой производной отличаются на постоянную, оценка производной даёт оценку приращений, между двумя корнями функции лежит корень её производной, а предел производной, если он существует, равен производной. Простые случаи показывают, что ни одно условие теорем нельзя отбросить.

Цели обучения

  1. Записывать с помощью кванторов, что такое локальный экстремум, и доказывать теорему Ферма, отличая даваемое ею необходимое условие от достаточного условия.
  2. Доказывать теоремы Ролля, Лагранжа о среднем значении и Коши о среднем значении, читать их по графику и показывать на контрпримерах, что их условия нельзя отбросить.
  3. Устанавливать с помощью теоремы о среднем, что функция с нулевой производной на промежутке постоянна, и получать неравенства и оценки погрешности из оценки производной.
  4. Подсчитывать корни уравнения, оценивая их число сверху с помощью теоремы Ролля и снизу с помощью теоремы Больцано.

Локальные экстремумы и теорема Ферма

Урок о теореме Вейерштрасса гарантирует, что функция, непрерывная на отрезке, достигает своего наибольшего и наименьшего значений, но не говорит где. Чтобы найти их, нужно понятие, которое смотрит только вблизи точки: значение может быть наибольшим среди близких, не будучи наибольшим из всех.

ОпределениеЛокальный экстремум и внутренняя точка

Пусть ff есть функция, определённая на множестве AA, а x0x_0 есть элемент множества AA. Говорят, что ff имеет локальный максимум в точке x0x_0, если существует δ>0\delta > 0, такое что ни одно значение ff в точках AA, удалённых от x0x_0 меньше чем на δ\delta, не превосходит f(x0)f(x_0), и что она имеет локальный минимум в точке x0x_0, если ни одно из этих значений не меньше f(x0)f(x_0):

(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−x0∣<δ→f(x)≤f(x0)),(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−x0∣<δ→f(x0)≤f(x))(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x_0) \leq f(x)\right)

Локальный экстремум есть локальный максимум или локальный минимум. Точка x0x_0 называется внутренней точкой множества AA, если существует r>0r > 0, такое что (x0−r,x0+r)⊆A\ioo{x_0 - r}{x_0 + r} \subseteq A.

Если ff достигает своего наибольшего значения на AA в точке x0x_0, в смысле предыдущего урока, то она имеет в этой точке локальный максимум, причём с любым δ\delta; обратное неверно. Рассмотрим f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. Так как 2−f(x)=(x+1)2(2−x)2 - f(x) = (x + 1)^2 (2 - x), выполняется f(x)≤2=f(−1)f(x) \leq 2 = f(-1) для всех x≤2x \leq 2: функция имеет в точке −1-1 локальный максимум, с δ=3\delta = 3, который не является её наибольшим значением на R\mathbb{R}, поскольку f(3)=18f(3) = 18. Внутренние точки промежутка суть все его точки, кроме принадлежащих ему концов; внутренние точки [a,b]\icc{a}{b} суть точки (a,b)\ioo{a}{b}. Локальный экстремум может находиться на краю: функция xx на [0,1]\icc{0}{1} достигает наименьшего значения в точке 00 и наибольшего в точке 11.

ТеоремаТеорема Ферма

Пусть ff есть функция, определённая на множестве AA, а aa есть внутренняя точка AA. Если ff имеет в точке aa локальный экстремум и дифференцируема в aa, то f′(a)=0f'(a) = 0. Если бы производная была положительна, утверждение о знаке производной дало бы справа от aa, совсем близко, значения, большие f(a)f(a); если бы она была отрицательна, оно дало бы их слева. Рисунок показывает для f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x и её локального максимума в точке a=−1a = -1, почему ни один из двух наклонов невозможен.

Доказательство

  1. x∈A, ∣x−a∣<δ0→f(x)≤f(a),F′(a)=f′(a)x \in A, \ \abs{x - a} < \delta_0 \rightarrow \dato{max}{f(x) \leq f(a)}, \qquad \resaltar{F'(a) = f'(a)}

    Предположим сначала, что ff имеет в точке aa локальный максимум, с некоторым δ0>0\delta_0 > 0, и пусть r>0r > 0 таково, что интервал I=(a−r,a+r)I = \ioo{a - r}{a + r} содержится в AA. Пусть FF есть сужение ff на II. Всякое xx из AA с ∣x−a∣<r\abs{x - a} < r лежит в II; по лемме о локальном характере производной из урока о правилах дифференцирования FF дифференцируема в точке aa, причём с той же производной.

  2. f(a+ρ2)>f(a),f(a+ρ2)≤f(a)f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad \resaltar{f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a)}

    Если f′(a)>0f'(a) > 0, то утверждение о знаке производной в точке из урока о скорости изменения, применённое к FF на интервале II, даёт δ>0\delta > 0, такое что f(x)>f(a)f(x) > f(a) для всех xx из II с a<x<a+δa < x < a + \delta. Пусть ρ\rho есть наименьшее из чисел δ\delta, δ0\delta_0 и rr. Точка a+ρ2a + \frac{\rho}{2} лежит в II, удовлетворяет этому условию и удалена от aa меньше чем на δ0\delta_0: значение функции в ней было бы одновременно больше f(a)f(a) и не больше. Следовательно, случай f′(a)>0f'(a) > 0 невозможен.

  3. f(a−ρ2)>f(a),f(a−ρ2)≤f(a)→f′(a)=0f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) = 0}

    Если f′(a)<0f'(a) < 0, то то же утверждение, с обращёнными неравенствами между значениями, даёт δ>0\delta > 0, такое что f(x)>f(a)f(x) > f(a) для всех xx из II с a−δ<x<aa - \delta < x < a, и точка a−ρ2a - \frac{\rho}{2} приводит к тому же противоречию. Так как производная ни положительна, ни отрицательна, она равна нулю.

  4. (−f)′(a)=−f′(a)=0→f′(a)=0(-f)'(a) = -f'(a) = 0 \rightarrow \resaltar{f'(a) = 0}

    Если ff имеет в точке aa локальный минимум, то −f-f имеет в ней локальный максимум и дифференцируема в aa, с производной −f′(a)-f'(a), по теореме о производной линейной комбинации из урока о правилах дифференцирования. По уже доказанному эта производная равна нулю.

Теорема даёт необходимое, но не достаточное условие: x3x^3 имеет нулевую производную в точке 00 и не имеет в ней никакого локального экстремума, поскольку принимает отрицательные значения слева от 00 и положительные справа. Два других условия тоже нельзя отбросить. Если aa не является внутренней точкой, производная может не обращаться в нуль: функция xx на [0,1]\icc{0}{1} достигает наибольшего значения в точке 11, и её производная там, которая есть предел разностного отношения слева, поскольку область определения не содержит точек справа от 11, равна 11. Если ff не дифференцируема в aa, теорема ничего не говорит: ∣x∣\abs{x} достигает наименьшего значения в точке 00, где она не дифференцируема. Следовательно, локальные экстремумы функции ищут среди внутренних точек, в которых производная обращается в нуль, точек, в которых она не дифференцируема, и точек, не являющихся внутренними; урок о монотонности даст им название и признак, позволяющий решить, какие из них являются экстремумами. Решённая задача 1 урока о правилах дифференцирования отметила, что горизонтальные касательные к графику xx2+1\frac{x}{x^2 + 1} касаются его в точках наибольшего и наименьшего значений, и заранее сообщила, что это не совпадение: функция, дифференцируемая на R\mathbb{R} и достигающая наибольшего значения, достигает его во внутренней точке, где теорема Ферма обращает производную в нуль.